二次函数的考试常见题型

二次函数的考试常见题型

题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法-

1.已知二次函数y=x2+4x．

(1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，

并指出函数图象的对称轴和顶点坐标

(2)求函数图象与x轴的交点坐标．

2.二次函数y=

1

2

(x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？

3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的顶点坐标．

题型二、抛物线的平移

1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x

轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的

解析式是？

2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且

过点B(3，0)

(1)求该二次函数的解析式．

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过

坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

3.抛物线y=

1

2

x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所

得的抛物线表达式是？

4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移

_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到.

5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,

它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中，

正确的是( )

A.先往左上方移动，再往左下方移动

B.先往左下方移动，再往左

上方移动

C.先往右上方移动，再往右下方移动

D.先往右下方移动，再往右

上方移动

题型三、二次函数图象的画法

1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，

3

2

）

(1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；

(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这

个二次函数的图象上．

2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，

(1)求出m的值并画出这条抛物线．。

(2)求它与x轴的交点和顶点的坐标

(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方?

(4)x取什么值时，y随x的增大而增大?

3.(江苏南通中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点，当x≥0时，

(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；

(3)利用抛物线y=ax2+bx+c的图象，写出x为何值时，y>0

题型四、二次函数的图象和性质

1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，

(1，0)．下列结论正确的是（）

A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大、’

B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C.存在一个负数x0，使得当x< x0时，函数值y随x的增大而减小；当

x>x0时，函数值y随x的增大而增大

D.存在一个正数x0，使得当x < x0时，函数值y随x的增大而减小；当

x> x0时，函数值y随x的增大而增大

2.已知二次函数y=-

1

2

x2-3x-

5

2

，设自变量的值分别x1，x2，x3，

且-3

3.若A(-

13

4

,y1)，B(-l，y2)，C(

3

5

,y3)为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三

点，则y1,y2,y3的大小关系是( )

题型五、二次函数解析式的求法

1.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=4时取得最小值-3，且它的图象与x轴

一个交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．（用至少2种方法）

2.已知抛物线过三点(1，0)，(0，-2)，(2，3)，求此抛物线的解析式．

3.已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且过点(1，10)，求此抛物线的解析式．

4.已知抛物线的对称轴为直线x=2，且过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线

的解析式.

5.已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点(2，8)，求此抛物线的

解析式.

题型六、由抛物线的位置确定解析式中系数的符号

1.如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c如图所示，

那么代数式b+c-a与0的关系是( )

A.b+c-a=0

B.b+c-a>o

C. b+c-a

D.不能确定

2. (天津中考题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5

个结论：①abc>0；②b0;④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m

为不等于1的实数).其中正确的结论有（）

A2个B3个C4个 D 5个

2.(四川南充中考题)图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点

A(-3，0)，对称轴为x=-1给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；

③a-b+c=0；④5a

A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

3.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是( )

A B C D

4.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )

A .ab>0，c>0 B. ab>0,c<0

C .ab<0，c>0 D. ab<0,c<0

5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M(b,

c

a

)在( )

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

6.(湖北武汉中考题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，

则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；

③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0．其中正确的有( )

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

7.(广东广州中考题)抛物线y=x2-2x+1与x轴的交点个数是( )

A 0

B l

C 2

D 3

8.(云南双柏中考题)在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx

的图象可能为( )

A B C D

题型七、二次函数与一元二次方程

1.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+l和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上

两个不同的点M、N，求a，b的值．

2.(天津中考题)已知抛物线y=

1

2

x2+x-

5

2

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

3.(江西中考题)已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图

所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为____

题型八、二次函数的应用

1.(辽宁大连中考题)(1)甲车在弯路上做刹车试验，数据如下表所示：

请用上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，在坐标系中画出甲车刹车

距离y(米)与速度x(千米／时)的函数图象，并求函数的解析式．

(2)在一个限速为40千米／时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时

刹车，但还是相撞了．事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米、l0.5

米，又知乙车的刹车距离y(米)与速度x(千米／时)满足函数y=

1

4

x，请你

就两车的速度方面分析相撞的原因

2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面AB宽1.6 m，涵洞

顶点O到水面的距离为1.2m，在图中建立直角坐标系，根据所建直角坐

标系写出抛物线的函数关系式

3.如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装

一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25 m．由柱子顶端A处的喷头向

外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂

亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．如

果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，

才能使喷出的水流不至于落到池外?

4.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的

价格销售，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210

件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元／件)的一次函数．

(1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问：销售价格定为多少

时，才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?

5.（山东日照中考题）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积

之比，即t=

M

S

建筑面积

用地面积

，为了充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需

求，并适当地控制建筑物的高度，一般地，容积率t不小于1且不大于8．一

房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）

与容积t的关系可近似地用如图(1)中的线段l来表示；1m2建筑面积上的

资金投入Q(万元)与容积率t的关系可近似地用如图(2)中的一段抛物线c

来表示

(1)试求图(1)中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；

(2)求出图(2)中抛物线段c的函数关系式．

6.(1)把二次函数解析式y=-

3

4

x2+

3

2

x+

9

4

化成y=a(x-h)2+k的形式．

(2)写出抛物线y=-

3

4

x2+

3

2

x+

9

4

的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是

由哪一条形如y=ax2的抛物线经过怎样的变换得到的．

(3)如果抛物线y=-

3

4

x2+

3

2

x+

9

4

中，x的取值范围是0≤x≤3，请画出图

象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情景(如喷水、掷物、投篮

等)

7.(陕西课改卷中考题)王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm

的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角

梯形板子如图(1)，王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将

两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重

合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域如图(2)，由于受材

料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。

(1)求FC的长。

(2)利用图(2)求出裁出的矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为

多少时，矩形的面积y(cm2)最大，最大面积是多少．

(3)若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

8.(河北课改卷中考题)某食品零售店为某食品厂代销一种面包，未售出的

面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，

每天卖出160个.在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每

天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.设

这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角)

(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与每天卖出的面包个数；

(2)求y与x之间的函数关系式；

(3)当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大，

最大利润为多少?

9.(山东中考题)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档

次(即最低档次)的产品一天生产76件，每件利润为10元，每提高一个档

次，利润每件增加2元．

(1)每件利润为16元时，此产品质量在第几档次?

(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件.若

生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，

求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，

该工厂生产的是第几档次的产品?

10.(江苏南京中考题)在一块长方形镜面玻璃的四周分别镶上与它的边长

相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的

价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还

需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米.

(1)求y与x之间的关系式．

(2)如果制作这面镜子共花了165元，求这面镜子的长和宽.

11.一个涵洞呈抛物线形，它的截面如图所示.测得当水面宽AB=1.6 m时，

涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离水面1.5 m处，涵洞宽ED是多

少?是否会超过1m?

12.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分

别在两直角边上．

(1)设矩形的一边AB=x m(0

(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y取最大值，最大值是多少?

题型九、关于二次函数的阅读理解问题

1.(辽宁大连中考题)阅读材料，解答问题

阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取

值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．

例如：抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1，①

即y=(x-m)2+2m-1，②

∴抛物线的顶点坐标为(m，2m-1)．

设x=m③，

y=2m-1 ④

当m的值变化时，x，y的值也随之变化．因而y值也随x值的变化

而变化

将③代入④，得y=2x-1．⑤

可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系

式：y=2x-1．

(1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是_________，其中运用了

___________公式；由③④得到⑤所用的数学方法是____________.

(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+1顶点的

纵坐标y与横坐标x之间的关系式．

2.(山东临圻中考题)我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数

y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图

象的函数表达式是：y=3(x+2)2-4，：

类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换

(1)将y=

1

x

的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为

________.再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为_________.

(2)函数y=

1

x

x

+

的图象可由y=

1

x

的图象向_____平移____个单位长度得到；

y=

1

2

x

x

-

-

的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?

(3)一般地，函数y=

x b

x a

+

+

(ab≠0,且a≠b)的图象可由哪个反比例函数的图

象经过怎样的变换得到?

题型十、关于二次函数的开放型问题

1. (广东中考题)如图，点A在抛物线y=

1

4

x2上，过点A作与x轴平行的

直线交抛物线于点B，延长AO、BO分别与抛物线y=-

1

8

x2相交于点C、

D，连接AD、BC、CD，设点A的横坐标为m，且m>0．

(1)当m=1时，求点A、B、D的坐标-

(2)当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直?

(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论。

2.（湖北宜昌课改卷中考题）如图，点O是坐标原点，点A(n，0)是x轴

上一动点(n<0)，以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且

OB=2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE．过点A的

直线y=kx+m交y轴于点F，FB=FA,抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且

和直线AF交于另一点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M。

(1).求k的值．

(2).点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的

面积的比值是否改变?说明你的理由．

3.(广东中考题)已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A(x1，0)、

B(x2，0)(x1

线与y轴的交点．

(1).求a、b的值．

(2).分别求出直线AC和BC的解析式．

(3).若动直线y=m(0

轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形?若存在，求出点P的

坐标；若不存在，说明理由．

题型十一、关于二次函数的探索型问题

1.(湖南湘潭中考题)已知：如图，抛物线

x2

x轴分

别交于A、B两点，与y轴交于C点，圆M经过原点O及点A、C，点D

是劣弧OA上一动点(D点与A、O不重合)．

(1).求抛物线的顶点E的坐标；

(2)求圆M的面积；

(3)连接CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，

试探究当点D运动到何处时，直线GA与圆M相切，并请说明理由

2.如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+l与x轴交于A、B两点，且A点在x轴

的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.

(1)求m的取值范围．

(2)若a：b=3：1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．

(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上

是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍?若存在，求出P

点坐标；若不存在，请说明理由．

3.(福建中考题)如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知

BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

(1)求抛物线的对称轴．

(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式

(3)探究：若点P是抛物线对称轴上的在x轴下方的动点，是否存在△PAB

是等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说

明理由.

4(山东烟台中考题)如图，已知抛物线l1:y=x2-4的图像与x轴交于A、C两

点．

(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式．

(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，

A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：点D在l2

上．

(3)探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形

ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在，分别判断面积取最大值

和最小值时它是何种特殊平行四边形，并求出其面积；若不存在，请说明

理由．