二次函数常见题型(含问题详解)

中考二次函数常见题型

考点1：二次函数的数学应用题

1. （2011，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n 取最小值时，m·n的最大值为。

【答案】36

2.（2011，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.

（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，

①试求出当n=3时a的值；

②直接写出a关于n的关系式.

∴所求抛物线解析式为248

133

y x x =-

++；……4分 （3）①当n =3时，OC=1，BC =3， 设所求抛物线解析式为2

y ax bx =+，

过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △CBD ， ∴13

OD OC CD BC ==,

设OD =t ，则CD =3t ， ∵222

OD CD OC +=，

∴222

(3)1t t +=， ∴1101010

t =

=, ∴C （

1010，31010

）, 又 B （10，0），

∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得

010********.10

1010a b a b ?=+?

?=+?

?，

解得:a =103-； ……2分 ②21

n a n

+=-. ……2分

3. （2011日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =

x

k

相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

x

y

O A

B

C

D

（2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）把点B （－2，－2）的坐标，代入y =x

k

， 得：－2=

2

-k

，∴k =4． 即双曲线的解析式为：y =

x

4

． 设A 点的坐标为（m ，n ）。∵A 点在双曲线上，∴mn =4．…① 又∵tan ∠AOx =4，∴

n

m

=4， 即m =4n ．…② 又①，②，得：n 2=1,∴n =±1.

∵A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4） 把A 、B 点的坐标代入y=ax 2+b x ，得：??

?-=-+=b

a b a 242,

4解得a =1，b =3；

∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y =4， 代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x －4=0，解得x 1=－4，x 2=1（舍去）． ∴C 点的坐标为（－4，4），且AC =5， 又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=

2

1

×5×6=15 ； （3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积. 过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ．

因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（－4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.

解方程组?

??+=+=,122,32x y x x y 得???==,18,3y x 所以点D 的坐标是（3，18）

4. （2011，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ．

(1)求△OAB 的面积；

(2)若抛物线22

y x x c

=--+经过点A．

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的部（不包括△OA B的边界），求m的取值围（直接写出答案即可）．

【答案】解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，

∴AB=2，OB＝4，

∴11244

22

OAB

S AB OB

?

=??=??=

(2)①把点A的坐标（－2，4）代入22

y x x c

=--+，

得2

(2)2(2)4

c

---?-+=，∴c＝4

②∵22

24(1)4

y x x x

=--+=-++，

∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），

∴m的取值围为l

5．（2011，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点

．．

A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个

动点

．．

，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

【答案】解：⑴设抛物线的解析式为21(0)

y ax a

=+≠，

Q抛物线经过()1,0

A，01,1

a a

∴=+=-，

x

y

A

P

1

O

C

.

.

.