初三二次函数常见题型及解题策略
二次函数常见题型及解题策略
1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=
2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：???
??++22
B A B A y y x x ，
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：
① 用?和参数的其他要求确定参数的取值围；
② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x 的一元二次方程()0122
2
＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）
例：若抛物线()3132
+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物
线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于x 的方程2
3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；
当0≠m 时，()032
≥-=?m ，()m m x 213?±-=
，m
x 3
21-=、12=x ；
综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线22
-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122
；
∴ ???=-=+-0
1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；
∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122
不论m 为何值，方程恒成立）
小结．．
：关于x 的方程b ax =有无数解????==0
b a
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。
（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得
AN MN BM ++之和最小。
（3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2
）与一次函数（h kx y ＋＝）
（1）解方程组???h
kx y c
bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。
（2）解方程组???h
kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02
＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点的个数
有两个交点 ? 0＞? 仅有一个交点 ? 0=? 没有交点 ? 0＜?
10、方程法
（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用
xOy 中，抛物线2
44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，
与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。 (1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；
(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐 标和此时△QAA '的面积。
在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
+2y ax ax c =+的图像与y
轴交于点3 0，
C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。
（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；
（2） 点M 是第二象限抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的两部分，
求出此时点M 的坐标；
（3） 点P 是第二象限抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？
并求出此时点P 的坐标。
xOy 中，抛物线x x m
y 222
-=与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C 。 （1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（2）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E （0，2），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M 在直线OB 上，且使得AMC ?的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。
4、（2012东城二模第23题）已知关于x 的方程2
(1)(4)30m x m x -+-+=。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值围；
（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2
(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两
点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二次函数的考试常见题型
二次函数的考试常见题型 题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法- 1.已知二次函数y=x2+4x． (1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式， 并指出函数图象的对称轴和顶点坐标 (2)求函数图象与x轴的交点坐标． 2.二次函数y= 1 2 (x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？ 3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 题型二、抛物线的平移 1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的 解析式是？ 2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且 过点B(3，0) (1)求该二次函数的解析式． (2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过 坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 3.抛物线y= 1 2 x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所 得的抛物线表达式是？ 4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移 _____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到. 5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中, 它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中， 正确的是( ) A.先往左上方移动，再往左下方移动 B.先往左下方移动，再往左 上方移动 C.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右 上方移动 题型三、二次函数图象的画法 1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0， 3 2 ） (1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象； (2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这 个二次函数的图象上． 2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点， (1)求出m的值并画出这条抛物线．。 (2)求它与x轴的交点和顶点的坐标 (3)x取什么值时，抛物线在x轴上方? (4)x取什么值时，y随x的增大而增大? 3.(江苏南通中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点，当x≥0时， (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c的图象，写出x为何值时，y>0 题型四、二次函数的图象和性质 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)， (1，0)．下列结论正确的是（） A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大、’ B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C.存在一个负数x0，使得当x< x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x>x0时，函数值y随x的增大而增大 D.存在一个正数x0，使得当x < x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x> x0时，函数值y随x的增大而增大 2.已知二次函数y=- 1 2 x2-3x- 5 2 ，设自变量的值分别x1，x2，x3， 且-3
初三二次函数常见题型及解题策略
二次函数常见题型及解题策略 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物 线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
二次函数常见题型(含问题详解)
中考二次函数常见题型 考点1：二次函数的数学应用题 1. （2011，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n 取最小值时，m·n的最大值为。 【答案】36 2.（2011，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值； （2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式.
∴所求抛物线解析式为248 133 y x x =- ++；……4分 （3）①当n =3时，OC=1，BC =3， 设所求抛物线解析式为2 y ax bx =+， 过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △CBD ， ∴13 OD OC CD BC ==, 设OD =t ，则CD =3t ， ∵222 OD CD OC +=， ∴222 (3)1t t +=， ∴1101010 t = =, ∴C （ 1010，31010 ）, 又 B （10，0）， ∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得 010********.10 1010a b a b ?=+? ?=+? ?， 解得:a =103-； ……2分 ②21 n a n +=-. ……2分 3. （2011日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y = x k 相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； x y O A B C D
中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；
二次函数各种题型汇总
二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题 （一）用对称比较大小 例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x 2-3/2＞3/2-x 1 ＞0，比较y 1 与y 2 的大小 解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x 1＞0，x 2 -3/2＞0，所以x 1 在对称轴的左侧，x 2 在对称 轴的右侧， 由已知条件x 2-3/2＞3/2-x 1 ＞0，得：x2到对称轴的距离大于x 1 到对称轴的距离，所以y 2 ＞ y 1 （二）用对称求解析式 例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。 解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 1=－1－3=－4，x 2 =－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）； 设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。 所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4 （三）用对称性解题 例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
中考数学题型专项训练：二次函数与最值问题(含答案)
二次函数与最值问题 1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于 A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D. (Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标; (Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为7 4 ,最大值为4,求a,b应 满足的条件; (Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3, 得－9＋6(m－2)＋3=0, 解得m=3, 则二次函数为y=－x2＋2x＋3,
∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D的坐标为(1,4); (Ⅱ)把y=7 4 代入y=－x2＋2x＋3中, 得7 4 =－x2＋2x＋3, 解得x1=－1 2,x2= 2 5 , 又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－1 2 ≤a≤1. 当a=－1 2时,1≤b≤ 2 5 , 当－1 2＜a≤1时,b= 2 5 ; (Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3,
∴点C坐标为(0,3). 当△PDC是等腰三角形时,分三种情况: ①如解图①,当DC=DP时, 由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称, ∴点P坐标为(2,3); ②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H, 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N, ∵HD=HC=1,PC=PD, ∴HP是线段CD的垂直平分线. ∵HD=HC,HP⊥CD, ∴HP平分∠MHN,
二次函数的翻折规律和题目
翻折规律 1 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 操练： 5.（2014?娄底27．（10分））如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题： （1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？ （2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；′ （3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？
初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题
二次函数知识点 12. 二次函数的性质 函数 二次函数y ax bx c =++2 a 、 b 、 c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常 数，a ≠0） a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0
图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向 下无限延伸 (1)抛物线开口向 上，并向上无限 延伸 (1)抛物线开口向 下，并向下无限 延伸 性 (2)对称轴是x＝- b a2， 顶点是 （- - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ - b a2， 顶点是 （ - - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） 质 (3)当x b a <- 2时，y随x 的增大而减小；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而增大(3)当 x b a <- 2时，y随x 的增大而增大；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而减小 (3)当x h <时，y 随x的增大而减 小；当x＞h时， y随x的增大而增 大。 (3)当x＜h时，y 随x的增大而增 大；当x＞h时， y随x的增大而 减小 (4)抛物线有最低点，当 x b a =- 2时，y有最小 值，y ac b a 最小值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最高点，当 x b a =- 2时，y有最大 值， y ac b a 最大值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最低 点，当x＝h时， y有最小值 y k 最小值 = (4)抛物线有最高 点，当x＝h时， y有最大值 y k 最大值 = 二次函数练习 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4
人教版九年级数学二次函数经典题型
B x 人教版九年级数学二次函数 1. 抛物线3)2(2 +-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=， b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 二次函数考查重点与常见题型 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ） 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题 和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3 5=x ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键． 例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 二次函数常见题型 1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ） 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3 5=x ，求这条抛物线的解析式。 4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴 交点的纵坐标是－32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二次函数考查重点与常见题型 1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 已知以x为自变量的二次函数y = (m - 2)x2 +m2 -m- 2的图像经过原点，则m的值是. 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐 标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y = kx + b的图像在第 一、二、三象限内，那么函数y = kx2 +hx 一1的图 像大致是( ) 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题，如: 已知一条抛物线经过(0,3), (4,6)两点，对称轴为x = \求这条抛物线的解析式。 3 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题, 如： 已知抛物线y = ax2 +bx + c (a/0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵 (1)确定抛物线的解析式：(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 山抛物线的位置确定系数的符号 例1 (1)二次函数y = ax2+bx + c的图像如图1,则点M (b,$)在() a A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知二次函数y=ax2+bx+c (a夭0)的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同 号；②当x=l和x二3时，函数值相等;③4a+b二0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键. 二次函数题型分类总结 题型1、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2 +5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 5、已知函数y=(m －1)x 21 m +5x －3是二次函数，求m 的值。 题型2、二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2 +k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2 +bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2 ＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2 －6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2 ＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_______. 10．已知二次函数y=x 2 －2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 题型3、函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质 1．抛物线y=x 2 +4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x 2 －12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2 +8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4 5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2 －3x+5，试求b 、c 的值。 6．把抛物线y=－2x 2 +4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。 7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 题型4、函数y=a(x －h)2的图象与性质 1．填表： 二次函数各种题型汇总 一、利用函数的对称性解题 （一）用对称比较大小 例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y1与y2的大小 解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x2-3/2＞0，所以x1在对称轴的左侧，x2在对称 轴的右侧， 由已知条件x2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，所以y2＞y1 （二）用对称求解析式 例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此 抛物线的解析式。 解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离 为6，所以两交点的横坐标分别为： x1=－1－3=－4，x2=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）； 设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。 所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4 （三）用对称性解题 例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标 为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2， 因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5 例2、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（） A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3） 解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。 设点B的横坐标为x B ，∵点A的坐标为（0，3），所以，（0+x B）/2=2，x B=4 ∴B点坐标为（4，3） 例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若 其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少 二次函数常考题型与解析 一．选择题（共12小题） 1．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（） A．x 1=0，x 2 =6 B．x 1 =1，x 2 =7 C．x 1 =1，x 2 =﹣7 D．x 1 =﹣1，x 2 =7 2．点P 1（﹣1，y 1 ），P 2 （3，y 2 ），P 3 （5，y 3 ）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象 上，则y 1，y 2 ，y 3 的大小关系是（） A．y 3＞y 2 ＞y 1 B．y 3 ＞y 1 =y 2 C．y 1 ＞y 2 ＞y 3 D．y 1 =y 2 ＞y 3 3．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系的图象大致为（） A． B． C． D． 4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10… y…40﹣2﹣204…下列说确的是（） A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣ 5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（） A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤ 7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（） A．4 B．6 C．8 D．10 8．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（） A．或1 B．或1 C．或D．或 9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（） A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜1二次函数常见题型含答案
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