解析完全平方公式
七年级数学-第03讲 平方差与完全平方公式(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第03讲平方差与完全平方公式【考点梳理】考点1：完全平方公式1.2222)(bab a b a +±=±公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2.三项式的完全平方公式：bcac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++考点2：平方差公式22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：))((z y x z y x +--+【题型归纳】题型一：完全平方公式1．（2022·全国·七年级）下列关系式中，正确的是（）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2【答案】D 【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2是解题的关键．2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）运用完全平方公式()2222a b a ab b -=-+计算212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则公式中的2ab 是（）A ．12x B ．﹣x C ．x D ．2x【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算，然后和()2222a b a ab b -=-+对比即可解答.【详解】解：2222111122224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对比()2222a b a ab b -=-+可得-2ab =-x ，则2ab =x .故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键.3．（2022·广东东莞·八年级期末）如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式，那么k 的值为（）A ．6B ．9C ．32D ．94【答案】D 【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵x 2-3x +k （k 是常数）是完全平方式，∴x 2-3x +k =（x -32）2=x 2-3x +94，∴k =94．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4．（2021·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期末）要使24x kx ++是完全平方式，那么k 的值是（）A ．4k =±B ．4k =C ．4k =-D ．2k =±【答案】A 【分析】根据完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行求解即可．【详解】∵24x kx ++是完全平方式，∴2()42k =，解得：4k =±，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握常数项是一次项系数一半的平方．5．（2022·辽宁庄河·八年级期末）若2a b +=-，3ab =，则代数式22a ab b -+的值是（）A ．5-B ．13C ．5D ．9【答案】A 【分析】将2a b +=-两边平方，利用完全平方公式化简，把3ab =-代入求出22a b +的值，即可确定出所求式子的值．【详解】解：将2a b +=-两边平方得：222()24a b a b ab +=++=，把3ab =代入得：2264a b ++=，即222a b +=-，则22235a ab b -+=--=-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．（2022·重庆·八年级期末）如果216x mx ++是完全平方式，那么m 的值是（）A ．8B ．4C ．4±D ．8±【答案】D 【分析】先写出22816(4)x x x ±+=±，进一步求出m 的值，即可求解．【详解】解：∵22816(4)x x x ±+=±，且216x mx ++是完全平方式，∴8m =±；故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方式，掌握满足完全平方式的情况只有222a ab b ++和222a ab b -+两种，两种情况的熟练应用是解题关键．7．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）下列运算中，结果正确的是（）A ．824a a a ÷=B ．()222a b a b +=+C ．()2242a b a b =D ．()()2122a a a -+=-【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式的计算法则计算求解即可．【详解】解：A 、826a a a ÷=，计算错误，不符合题意；B 、()2222a b a ab b +=++，计算错误，不符合题意；C 、()2242a b a b =，计算正确，符合题意；D 、()()2212222a a a a a a a -+=+--=+-，计算错误，不符合题意；故选C ．本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．8．（2022·北京·八年级期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（）A．a2＋2a＋1B．a2－2a＋1C．a2＋1D．4a＋4【答案】A【分析】由题意根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及完全平方公式．9．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）若x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10B．－5C．5D．±5【答案】A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【详解】解：∵x2+mxy+25y2＝x2+mxy+（5y）2，∴mxy＝±2x×5y，解得：m＝±10．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．题型二：平方差公式11．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（）A．1B．32C．3D．不能确定【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：2(23)15x y += ，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y ∴+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y ∴+-+++-=，6412y x ∴⋅=，332xy ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）【答案】B 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键．13．（2022·河南川汇·八年级期末）如图，在边长为()x a +的正方形中，剪去一个边长为a 的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x ，a 的恒等式是（）．A ．()()22x a x a x a -=-+B ．()222x ax x x a +=+C ．()()222x a a x x a +-=+D ．()()222x a x a a x +-=+【答案】C 【分析】根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案．【详解】解：正方形中阴影部分的面积为22()x a a +-，平行四边形的面积为x （x +2a ），由此得到一个x ，a 的恒等式是()()222x a a x x a +-=+，故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．14．（2021·福建同安·八年级期中）若02021a =，2201920212020b =⨯-，202020212332c ⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则下列a ，b ，c 的大小关系正确的（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【答案】C 【分析】利用零次幂的含义求解a 的值，利用平方差公式求解b 的值，利用积的乘方的逆运算求解c 的值，再比较大小即可.【详解】解： 020211,a ==()()222220192021202020201202012020=2020120201,b =⨯-=-+---=-()202020212020202023233331,3232222c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而311,2-<<,b ac \<<故选C 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，平方差公式的应用，积的乘方运算的逆运算，先计算,,a b c 的值再比较大小是解本题的关键.15．（2022·黑龙江肇源·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）【答案】B 【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．16．（2022·天津红桥·八年级期末）下列计算正确的是（）A ．22224a b a b +=+（）B ．2225225104x y x xy y -=-+（）C ．2221122x y x xy y-=-+（）D ．221111123439x x x +=++（）【答案】D 【分析】根据完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A.22224+4a b a ab b +=+（），故不正确；B.2225225204x y x xy y -=-+（），故不正确；C.2221124x y x xy y -=-+（），故不正确；D.221111123439x x x +=++（），正确；故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2是解答本题的关键．17．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）若2210a b -=，2a b -=，则a b +的值为（）A ．5B ．2C ．10D ．无法计算【答案】A 【分析】利用平方差公式：()()22a b a b a b -=+-进行求解即可．【详解】解：∵2a b -=，()()2210a b a b a b -=+-=，∴5a b +=，故选A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．18．（2022·吉林通榆·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a（a－b）＝a2－abC．b（a－b）＝ab－b2D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）【答案】D【分析】观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可写出一个正确的等式．【详解】解：根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中阴影部分面积=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故选D．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．19．（2021·河南原阳·八年级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（x－y）（－x＋y）B．（－x＋y）（－x－y）C．（－x－y）（x－y）D．（x＋y）（－x＋y）【答案】A【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、（x−y）（−x＋y）＝−（x−y）（x−y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；【点睛】考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【答案】A【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．【详解】解：如图所示，右边阴影部分面积为：22a b -，左边阴影部分面积为：()()a b a b +-，由阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b +-=-，故选A ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．【双基达标】1．（2021·福建南安·八年级期中）若x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k 的取值是（）A ．5B ．±5C ．10D ．±10【答案】D【解析】两个完全平方式：222a ab b ±+，利用完全平方式的特点可得答案.【详解】解： x 2＋kx ＋25225,x kx =++而x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，2510,k \=贝=故选D【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方式的特点求解完全平方式中的字母系数是解题的关键.2．（2021·四川江油·八年级阶段练习）已知x ²-2mx +9是完全平方式，则m 的值为（）A ．±3B ．3C ．±6D ．6【答案】A【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知x 2-2mx +9是完全平方式，∴m =3或m =-3，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．3．（2021·河南·郑州外国语中学九年级期中）无论a ，b 为何值代数式226112a b b a +++-的值总是（）A ．非负数B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【解析】【分析】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．解：原式22(21)(69)1a ab b =-+++++22(1)(3)1a b =-+++，2(1)0a - ，2(3)0b +，22(1)(3)10a b ∴-+++>，即原式的值总是正数．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．4．（2021·全国·八年级课时练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．2249-y x B ．4149-x C ．42--m n D ．21()94+-p q 【答案】C【解析】【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．【详解】解：A 、2249-y x ＝（y ＋7x ）（y −7x ），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；B 、4149-x ＝（17＋x 2）（17−x 2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；C 、−m 4−n 2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；D 、21()94+-p q ＝（12p ＋12q ＋3）（12p ＋12q −3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．5．（2021·湖南双峰·七年级期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A ．()()a b a b --+B ．(2x 3y)(2x 3)z +-C ．()()x y x y ---D ．()()m n n m --【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()()a b a b --+不能用平方差进行计算，故不符合题意B.(2x 3y)(2x 3)z +-不能用平方差进行计算，故不符合题意C.()()x y x y ---能用平方差公式进行计算的是22()()x y x y y x ---=-，D.()()m n n m --不能用平方差进行计算，故不符合题意故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2022·全国·七年级）已知：13x x +=，则221x x+=____．【答案】7【解析】【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：13x x += ，21()9x x∴+=，22129x x ++=2217x x ∴+=，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．7．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）若a +b =8，ab =-5，则()2a b -＝___________【答案】84【解析】【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．【详解】∵a +b =8，ab =-5∴()2a b -=()24a b ab +-=64-4×（-5）=84故答案为：84．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形．8．（2022·全国·七年级）若（x 2＋y 2＋1）（x 2＋y 2﹣1）＝48，则x 2＋y 2＝___【答案】7【解析】【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x 2＋y 2的值．【详解】解：因为（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣1）＝48，所以（x 2+y 2）2﹣12＝48，所以（x 2+y 2）2＝49，x 2+y 2＝±7（负值舍去）．故答案为：7．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．9．（2022·全国·七年级）已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3(1)求（x ＋1）（y ＋1）的值；(2)求x 2＋y 2的值．【答案】(1)112-(2)164【解析】【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．(1)（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1=-3+12+1=112-；(2)（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy =164+，=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．10．（2021·福建同安·八年级期中）计算：（1）()22436310a a a a ⋅+--（2）()()()211a a a a +-+-【答案】（1）0；（2）21a +【解析】【分析】（1）分别计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）先计算多项式乘以多项式，结合平方差公式进行简便运算，再合并同类项即可.【详解】解：（1）()22436310a a a a ⋅+--6669100a a a =+-=（2）()()()211a a a a +-+-2221a a a =+-+=21a +【点睛】本题考查的是幂的运算，合并同类项，整式的乘法运算，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.【高分突破】1．（2021·黑龙江·无八年级期末）已知x +y =4，xy =3，则x 2+y 2的值为（）A ．22B ．16C ．10D ．4【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．【详解】解：()2222242316610x y x y xy +=+-=-⨯=-=．故选择C ．【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．2．（2022·陕西陇县·八年级期末）下列运算正确的是（）A ．428a a a =·B ．224()xy xy =C ．623y y y ÷=D ．222()2x y x xy y --=-+-【答案】D【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式分别计算得出答案．【详解】解：A 、426=a a a g ，故此选项错误；B 、2224()xy x y =，故此选项错误；C 、624÷=y y y ，故此选项错误；D 、222()2x y x xy y --=-+-，正确；【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a+b B．（a-b）2C．ab D．a2－b2【答案】B【解析】【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．4．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）下列等式中，一定成立的是（）A．(x - y)2 = (y - x)2B．(x + 6)(x - 6) = x2 - 6C．(x + y)2 = x2 + y2D．(x - y)2 = x2 + 2xy + y2【解析】【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式判断各选项即可．【详解】解：A .22()()x y y x -=-成立，故选项A 正确；B .2(6)(6)36x x x +-=-，选项B 不成立；C .222()2x y x xy y +=++，选项C 不成立；D .222()2x y x xy y -=-+，选项D 不成立；故选：A【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．5．（2021·全国·七年级期中）已知M 、N 表示两个代数式，M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），则M 与N 的大小是（）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据作差法进行比较即可；【详解】解：∵M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），∴M -N =（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1）-（2x +y ）（2x ﹣y ），=x 2-1-2y 2+2y -2-4x 2+y 2，=-3x 2-y 2-3＜0，∴M ＜N ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了整式加减应用，涉及平方差公式等运算，熟练掌握相关运算法则、准确计算是解题的关键．6．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）若实数m ，n 满足m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，则m ﹣2﹣n 0＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用完全平方公式分别对等式中的m 、n 配方得到2211()3()022m n -++=，根据平方式的非负性求出m 、n 的值，再代入求解即可．【详解】解：由m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，得：m 2﹣m +3n 2+3n +1＝0，∴2211()3()044m m n n -++++=，即2211()3()022m n -++=，∵21()02m -≥，213()02n +≥，∴102m -=，102n +=，解得：m ＝12，12n =-，∴m －2﹣n 0＝201122-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝4-1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式的求值、完全平方公式、平方式的非负性、负整数指数幂、零指数幂，会利用完全平方公式求解是解答的关键．7．（2021·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）若a ＋b ＝3，ab ＝1，则（a ﹣b ）2＝________．【答案】5【解析】【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【详解】解：∵a +b =3，ab =1，∴（a +b ）2=9，则a 2+2ab +b 2=9，∴a 2+b 2=9-2=7；（a -b ）2=a 2-2ab +b 2=7-2=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．8．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）对于任意实数，若规定a b ad bc c d=-，则当2250x x --=时，121x x x +=-____．【答案】4【解析】【分析】先根据题意化简212211x x x x x +=---，将2250x x --=变形为225x x -=，再整体代入即可求解．【详解】解：由题意得()()212112211x x x x x x x x +=+--=---，∵2250x x --=，∴225x x -=，∴原式221=51=4x x ---．故答案为：4【点睛】本题考查了新定义问题，平方差公式，整体思想等知识，理解题意，将121x x x +-化简是解题关键．9．（2022·重庆·八年级期末）已知ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ．（1）求x +y 和x ﹣y 的值；（2）运用完全平方公式，求x 2+y 2的值．【答案】（1）x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）13【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据完全平方公式解答即可．【详解】解：（1）因为ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ，所以ax +y ＝a 5，ax ﹣y ＝a ，所以x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）因为x +y ＝5，x ﹣y ＝1，所以（x +y ）2＝25，（x ﹣y ）2＝1，所以x 2+2xy +y 2＝25①，x 2﹣2xy +y 2＝1②，①+②，得2x 2+2y 2＝26，所以x 2+y 2＝13．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式．解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则，以及完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2．10．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a 2﹣b 2＝24，2a +b ＝6，则2a ﹣b ＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【答案】（1）22()()a b a b a b -=+-；（2）①4；②20100．【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出224(2)(2)a b a b a b =+--，代入求值即可；②利用平方差公式将22200199-写成(200199)(200199)=200199+⨯-+，以此类推，然后化简求值．【详解】解：（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积()()a b a b +-，所以，得到公式22()()a b a b a b -=+-故答案为22()()a b a b a b -=+-．（2）①∵22224(2)(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-∴(2)(2)=24a b a b +-又∵2a +b ＝6，24a b ∴-=故答案为4．②222222222001991981974321-+-+⋯+-+-(200199)(200199)(198197)(198197)(43)(43)(21)(21)=+⨯-++⨯-+⋯++⨯-++⨯-2001991981974321=+++⋯++++20100=【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
完全平方公式
完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。
推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
高考数学中的完全平方公式运用
高考数学中的完全平方公式运用高考数学中的完全平方公式是指$x^2+2abx+b^2=(x+a)^2$和$x^2-2abx+b^2=(x-a)^2$两个公式的应用。
这里的$a,b$为实数。
这个公式是一种因式分解方法，可以将一个二次函数的平方差分解为两个一次函数的平方。
下面将通过实例，详细介绍完全平方公式在高考数学中的运用。
首先，我们来看一个最简单的例子，求解$x^2+6x+9$。
根据完全平方公式，我们可以将$x^2+6x+9$分解为$(x+3)^2$。
这里$a=3,b=3$，代入公式即可得到原式。
接下来，我们来看一个更加复杂的例子，求解$x^2+5x-14$。
这个二次函数无法直接通过提取公因式、配方法等基本方法进行因式分解，但可以通过完全平方公式进行分解。
首先，我们可以通过观察发现，$5x$项的系数为5，其两倍为10。
而余项为$-14$，其平方根为$\sqrt{14}$。
因此，我们可以令$a=5,b=\sqrt{14}$，代入完全平方公式即可得到$(x+5)^2-(\sqrt{14})^2=(x+5)^2-14$。
至此，我们已将原二次方程分解为了$(x+5)^2-14$。
在实际计算中，可以进一步把$(x+5)^2-14$化简成标准形式$x^2+10x+11$。
同样，我们也可以通过完全平方公式进行二次函数的乘法运算。
例如，计算$(x+3)(x+5)$。
根据完全平方公式，我们可以将$(x+3)(x+5)$展开为$x^2+8x+15$。
这里$a=4,b=3$，代入公式，将得到$(x+3)(x+5)=(x+4)^2-1$。
除了以上的基础应用，完全平方公式还能够在高考数学中推导一些重要的公式，比如二次函数的最值问题以及图像问题。
下面以一个例子进一步说明。
问题：若函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$(2,-3)$和$(4,5)$，求$a,b,c$的值。
解析：由于图像经过给定两个点，那么这两个点满足二次函数的方程。
完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
完全平方公式【知识梳理】一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）【考点剖析】一．完全平方公式（共21小题）1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b﹣3c）2＝．【分析】原式可化为[（a﹣2b）﹣3c]2，再应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：（a﹣2b﹣3c）2＝[（a﹣2b）﹣3c]2＝（a﹣2b）2﹣6c（a﹣2b）+9c2＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．6．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．7．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．8．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．9．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．10．（2022秋•黄浦区期中）计算：（a﹣b+2c）2＝．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6＝﹣2x2﹣25x+31．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．12．（2022秋•浦东新区期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误；②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误；③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误；④a2+4a2＝5a2，原计算错误．所以小刚做对的题数是0个，故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．13．（2022秋•浦东新区期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则a2+b2＝．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了完全平方公式和立方差公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区期中）已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为．【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式＝10（x2+y2）+12xy，再进行配方得到原式＝10（x+y）2﹣8xy，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2＝10x2+12xy+10y2＝10（x2+y2）+12xy＝10（x+y）2﹣8xy，当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．故答案为：304．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可．【解答】解：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy+4x2＝8x2．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．（2022秋•嘉定区期中）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（17+13）÷2＝15；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（17﹣13）÷4＝1．【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．17．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²＝2x²+7xy﹣15y²．【点评】本题考查整式的运算，正确使用多项式乘多项式的运算法则和完全平方差公式是求解本题的关键．18．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．19．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣＝3，求x2+和x4+的值．【分析】把该式子两边平方后可以求得x2+的值，再次平方即可得到x4+的值．【解答】解：∵x﹣＝3，（x﹣）2＝x2+﹣2∴x2+＝（x﹣）2+2＝32+2＝11．x4+＝（x2+）2﹣2＝112﹣2＝119．【点评】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1与完全平方公式来进行解题．20．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣y＝2，xy＝80，求x2+y2的值．【分析】利用完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（2分）∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy（2分），当x﹣y＝2，xy＝80时，x2+y2＝22+2×80＝164．（3分）若有其他方法，可参照答案，给分．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy是解决问题的关键．21．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考：计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：47接近整十数50，50﹣47＝3；第二步：取50的一半25，25﹣3＝22；第三步：32＝9第四步：把第二、三步综合起来，472＝（25﹣3）×100+32＝2209．（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1492＝（﹣）×100+2＝2401．（2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．（50﹣n）2＝（﹣）×100+2．（3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．（4）写出利用这个公式计算562＝3136的过程．（5）计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×（6+1）＝42；第二步：3×7＝21第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式．（6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．【分析】（1）根据材料中的方法计算即可；（2）同理可得结论；（3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论；（4）代入（2）中的公式可得结论；（5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；（6）根据多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1；第四步：把第二、三步综合起来，492＝（25﹣1）×100+12＝2401．故答案为：25，1，1；（2）（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2．故答案为：25，n，n；（3）∵左边＝2500﹣100n+n2，右边＝n2﹣100n+2500，∴左边＝右边，∴（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2；（4）562＝（50+6）2＝（25+6．（5）写出上述过程所依据的计算公式：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；故答案为：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；（6）∵左边＝（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝（10a+b）（10a﹣b+10）＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b＝100a2+100a+10b﹣b2，右边＝a（a+1）×100+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2，∴（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）22．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．23．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）A．4n B．3n C．3n+1D．2n+2【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．故选：C．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．24．（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（2a+b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（）A．B．C．4a2+b2D．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解．【解答】解：（）2＝＝++，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键．25．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案为：4a2+4ab+b2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．26．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于b的等式．【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A ．()()4774x y y x −−− B ．()()4774x y x y −−+ C ．()()4774x y y x −−+ D ．()()4747x y x y −+【答案】C【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】A ：()()4774(47)(47)x y y x x y x y −−−=−−+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B ：()()()()47744774x y x y x y x y −−+=−++，不能用完全平方公式运算，不符合题意；C ：()()()2477447x y y x x y −−+=−+，能用完全平方公式运算，符合题意；D ：()()4747x y x y −+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校联考期中）已知5x y +=−，3xy =，则22x y +=（ ）【答案】C【分析】根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵5x y +=−，3xy =， ∴()()2222252325619x y x y xy +=+−=−−⨯=−=，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）①()23320x x x −+⋅=；②222()2x y x xy y −−=−+；③248236x x x ⋅=；④22()()x y x y x y −−+=−A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．【详解】解：①()2523630x x x x x −++=⋅≠，原计算错误；②22222()22x y x xy y x xy y −−=++≠−+，原计算错误；③24682366x x x x ⋅=≠，原计算错误；④()22222(2)()x y x y y xy x y x x y =−−+=−+−≠−−−，原计算错误．综上，四个计算都是错误的， 故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．4．（2022秋·七年级单元测试）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a ，宽为b ，a b ＞）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中，正确的有（ ）.① ()228a b −=；② 26ab =；③ 2280a b +=；④ 2264a b −= A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】A【分析】根据拼图得出，（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=26，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b ，中间的小正方形的边长为a-b ，∴（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=132284−=26，故①，②正确，∴a2+2ab+b2=132，∴a2+b2=132-2×26=80，故③正确， 由于（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，而a ＞b ，∴，∴a2-b2=（a+b ）（a-b ）=④不正确， 故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提．5．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为cm a ，若它的边长增加5cm ，则新正方形面积增加了（ ）2cm ．A ．25B ．10aC ．255a +D ．2510a +【答案】D【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：22(5)1025a a a +−=+，即新正方形的面积增加了()2510a +2cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）已知：3a b c ++=，2223a b c ++=，则201120112011a b c ++的值是（ ） A ．0 B ．3C ．20052D ．200532⋅【答案】B【分析】根据已知，得到()()222230a b c a b c ++−+++=，再利用完全平方公式，得出()()()2221110a b c −+−+−=，然后根据平方的非负性，求得1a b c ===，代入计算即可求出201120112011ab c ++的值．【详解】解：3a b c ++=，2223a b c ++=，()()2222332330a b c a b c ∴++−+++=−⨯+=，()()()2222121210a ab bc c ∴−++−++−+，()()()2221110a b c ∴−+−+−=，10a ∴−=，10b −=，10c −=， 1a b c ∴===，0201201120112111201120111111113a b c ∴++=+=++=+，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出()()()2221110a b c −+−+−=是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个答案即可）【答案】6x （答案不唯一）【分析】利用完全平方公式解答即可．【详解】解：()2296131x x x ++=+．故答案为：6x （答案不唯一）【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．8．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为__________． 【答案】6±【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故6k =±． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，6k ∴=±故答案为：6±．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：二次三项式239x mx −+是一个完全平方式，则 m =__________． 【答案】2±【分析】由于m 的正负未知，根据完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，从而得到2m =±．【详解】解：由完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，36m ∴−=±，解得2m =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟记并理解完全平方公式是解决问题的关键．10．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知3a b +=，2ab =，则代数式22a b +的值为_______． 【答案】5【分析】首先将22a b +变形为2()2a b ab +−，然后代入求解即可．【详解】∵3a b +=，2ab =，∴22a b +2()2a b ab =+−2322=−⨯5=．故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将22a b +变形为2()2a b ab +−．11．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）已知6a b +=，2220a b +=，则ab 的值为________． 【答案】8【分析】先把6a b +=两边进行平方，再根据2220a b +=，即可得到ab 的值．【详解】解：∵6a b +=，2220a b +=，∴222()236a b a b ab +=++=，即20236ab +=，∴8ab =， 故答案为：8．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．【答案】2【分析】根据题意可知，12m m +=，将等式左右两边同时平方即可求出221m m +的值． 【详解】∵12m m +=， ∴21()4m m +=， ∴22124m m ++=， ∴2212m m +=【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记完全平方公式的常见变形公式是解此类题的关键． 13．（2023·上海·七年级假期作业）已知3x y −=，2229x y +=，那么xy =________． 【答案】10【分析】根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵3x y −=，2229x y +=，∴()()222292920x y x y xy −−+=−=−=−∴10xy =， 故答案为：10．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．【答案】 14 194【分析】根据完全平方公式得出2221112x x x x x x ⎛⎫+=+−⋅⋅⎪⎝⎭，代入求出即可；根据完全平方公式得出2424211x x x x ⎛⎫+=+− ⎪⎝⎭ 2212x x ⋅⋅，代入求出即可．【详解】解： 14x x +=，∴2116x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴221216x x ++=，∴22114x x +=∴2221196x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4412196x x ++=∴441194x x +=．故答案为：14；194．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，能正确运用完全平方公式进行变形是解答此题的关键，注意：完全平方公式为()2222a b a ab b +=++和()2222a b a ab b −=−+．本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累1x x +的变化方式．15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若216x ax ++是一个完全平方式，则实数a 的值为___________ 【答案】8±/8−或8/8或8−【分析】根据完全平方式的一般形式222a ab b ±+求解即可．【详解】解：216x ax ++是一个完全平方式，248ax x x ∴=±⋅=±， 8a ∴=±,故答案为：8±．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．【答案】7【分析】将方程两边同时除以字母x ，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解． 【详解】解：将方程2310x x −+=两边同时除以字母x 得：130x x −+=，13x x ∴+=21()9x x ∴+=22129x x ∴++=2217x x ∴+=故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．17．（2023·上海·七年级假期作业）如果25m m +=，那么代数式的()()222m m m −++值为___________． 【答案】14【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解：()()222m m m −++22244m m m m =−+++ 2224m m =++∵25m m +=，∴原式()2=24=254=14m m ++⨯+．故答案为：14．【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++，解决问题：已知x 、y 、z 满足2224y x z ++=，求()()()222x y y z z x −+−+−的最大值是______． 【答案】12【分析】根据已知条件化简()()()222x y y z z x −+−+−，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解．【详解】∵2224y x z ++=， ∴()()()222x y y z z x −+−+−222222222x y y z z x xy yz xz =+++++−−−()2222x y z xy yz xz =++−−−()82xy yz zx =−++；∵()2222222x y z x y z xy xz yz++=+++++，∴()()2222222xy xz yz x y z x y z ++=+++−+∴原式=()22228x y z x y z +++−++()212x y z =−++， ()2x y z ++≥，∴原式12≤．故原式的最大值是12； 故答案为：12．【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．三、解答题【答案】222x y +，42【分析】根据完全平方公式展开，单项式乘以多项式把括号去掉，合并同类项，代入求值即可．【详解】解：22()[2()]x y x x x y −−−+22222(22)x xy y x x xy =−+−−− 2222222x xy y x x xy =−+−++222x y =+，把12x =，=2y −代入得，原式222211122(2)244242x y ⎛⎫=+=⨯+−=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（2022秋·上海·七年级校考期末）计算：()()()224321x x x +−−−． 【答案】97x −【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【详解】解：()()()224321x x x +−−224386441x x x x x =−+−−+−97x =−．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键． 21．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：230.2． 【答案】912.04【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：230.2()2300.2=+22302300.20.2=+⨯⨯+900120.04=++912.04=【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握2222a b a ab b ±=±+（）是解题的关键． 22．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）解方程：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+． 【答案】32x =【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可．【详解】解：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+，2221441233x x x x x +−−−+=−，14123x x −−+=−， 23x −=−，解得：32x =．【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键．【答案】正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为268cm ．【分析】先根据题意列出长方形ABCD 关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．【详解】解：设长方形ABCD 的长为cm a ，则宽为cm b ， ∵长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为216cm ， ∴1016a b ab +==，，正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为22a b +，∵()()2222221021668cma b a b ab+=+−=−⨯=．∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为268cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．24．（2023·上海·七年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了452cm，这时原来边长是多少呢？【答案】6cm；9cm【分析】设原来正方形的边长为x cm，根据：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm，列出方程即可求解；同样的方法即可解答边长减少问题．【详解】设原来正方形的边长为x cm．则()22345x x+=+，解得：6x=．∴正方形原来的边长为6cm．设原来正方形的边长为y cm，则()22345y y−=−，解得：9y=．∴正方形原来的边长为9cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式在实际问题中的运用，正确理解题意、得出方程是解题的关键．【答案】(1)12(2)①6；②17 (3)92【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x ）、（5-x ）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积1S 、2S ，得到2218AC BC +=，结合22()6AC BC +=，推出9AC BC =，再去计算阴影部分面积．（1）∵8x y +=，∴22()8x y +=，22264x xy y ++=， 又∵2240x y +=， ∴22264()xy x y =−+＝64－40＝24，∴12xy =；（2）①222(4)(4)2(4)x x x x x x −+=−+−−＝16－10＝6；②222(4)(5)[(4)(5)]2(4)(5)x x x x x x −+−=−−−+−−＝2(1)28−+⨯＝17；（3）∵AB ＝6，∴22()6AC BC +=，∴22236AC AC BC BC ++=，又∵1218S S +=，∴2218AC BC +=，∴9AC BC =，∵BC ＝CF ， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．26．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）·（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．。
平方差公式完全平方公式计算
平方差公式完全平方公式计算1.平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式的原理可以通过展开左边的式子来进行证明：(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2通过平方差公式，可以简化计算平方数之差的过程。
下面通过一个例题进行说明。
例题1：求解：25^2-16^2解析：利用平方差公式，可以将这个表达式转化成乘法形式。
(25+16)(25-16)=41*9=369因此，25^2-16^2=3692.完全平方公式完全平方公式是一种用于计算一个多项式的平方的公式。
其表达形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式的原理也可以通过展开左边的式子来进行证明：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2完全平方公式的应用范围非常广泛，下面通过一个例题进行说明。
例题2：求解：(3+x)^2解析：利用完全平方公式，可以得到：(3+x)^2=3^2+2*3*x+x^2=9+6x+x^2因此，(3+x)^2=9+6x+x^23.平方差公式的应用例题3：求解：36a^2-25b^2解析：利用平方差公式，可以得到：36a^2-25b^2=(6a)^2-(5b)^2=(6a+5b)(6a-5b)因此，36a^2-25b^2=(6a+5b)(6a-5b)。
4.完全平方公式的应用完全平方公式可以用于计算多项式的平方，例如计算一个二次多项式的平方，或计算两个代数式的平方和。
下面通过一个例题进行说明。
例题4：求解：(2x+3)^2解析：利用完全平方公式，可以得到：(2x+3)^2=(2x)^2+2*2x*3+3^2=4x^2+12x+9因此，(2x+3)^2=4x^2+12x+9总结：平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，用于计算平方的差和完全平方。
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解析完全平方公式完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
现我结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、理解公式左右边特征（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；（二）学会用文字概述公式的含义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．（三）这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．（四）两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲：1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。
4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。
三、掌握运用公式常规四变（一）、变符号：例1：运用完全平方公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）；（二）、变项数：例2：计算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算．（三）、变结构例3：运用公式计算：（1）（x＋y）·（2x＋2y）；（2）（a＋b）·（－a－b）；（3）（a－b）·（b－a）分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即（1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；（2）（a＋b）·（－a－b）= －（a＋b）?；（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?（四）、简便运算例4：计算：（1）9992 （2）100.12分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。
即：（1）。
四、学会公式运用中三拓展1、公式的混用例5：计算：（l）（x+y+z）（x+y-z）（2）（2x-y+3z）（y-3z-2x）分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。
即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=…（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x +（y-3z）]=…2、公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。
例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。
求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a－b）2分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。
即：（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab=…（2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=…3、公式的逆用：例7：计算：分析：本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，不妨把公式倒过来用可得：==4总之，在学习完全平方公式时关键是记住公式形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重勤练习，适时积累典例，定能收到良好的效果。
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
现我结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、理解公式左右边特征（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；（二）学会用文字概述公式的含义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．（三）这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．（四）两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲：1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。
4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。
三、掌握运用公式常规四变（一）、变符号：例1：运用完全平方公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）；（二）、变项数：例2：计算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算．（三）、变结构例3：运用公式计算：（1）（x＋y）·（2x＋2y）；（2）（a＋b）·（－a－b）；（3）（a－b）·（b－a）分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即（1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；（2）（a＋b）·（－a－b）= －（a＋b）?；（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?（四）、简便运算例4：计算：（1）9992 （2）100.12分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。
即：（1）。
四、学会公式运用中三拓展1、公式的混用例5：计算：（l）（x+y+z）（x+y-z）（2）（2x-y+3z）（y-3z-2x）分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。
即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=…（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x +（y-3z）]=…2、公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。
例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。
求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a－b）2分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。
即：（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab=…（2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=…3、公式的逆用：例7：计算：分析：本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，不妨把公式倒过来用可得：==4总之，在学习完全平方公式时关键是记住公式形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重勤练习，适时积累典例，定能收到良好的效果。
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
现我结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、理解公式左右边特征（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；（二）学会用文字概述公式的含义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．（三）这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．（四）两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。