完全平方公式解
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。
(1) ( 2)之间只差一个符号。
推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起， 构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、 填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、 解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公 式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式 计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评 】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式， 否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。
完全平方公式
完全平方公式x = (-b ±√(b^2-4ac))/2a其中，a、b、c是一元二次方程ax^2+bx+c=0中的系数。
通过使用完全平方公式，我们可以通过计算确定二次方程的根。
设一元二次方程为：ax^2+bx+c=0（其中a≠0，a，b，c是常数），将一元二次方程变形为平方的形式可以得到：ax^2 + bx +c = a(x^2 + (b/a)x) + c=a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)+c=a(x+b/2a)^2-a(b/2a)^2+c= a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + c= a(x + b/2a)^2 - (ab^2 - 4ac)/4a^2= a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a再整理上述方程，可以得到：a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a - c令4ac = b^2 - 4ac，上式可化简为：a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a - 4ac/4a= (b^2 - 4ac - 4ac)/4a= (b^2 - 8ac)/4a将等式两边同时开方，可得：√(a(x + b/2a)^2) = √((b^2 - 8ac)/4a)即：x + b/2a，= √(b^2 - 8ac)/2√a将式子中的绝对值去掉，得到：x + b/2a = ±√(b^2-4ac)/2ax = (-b ±√(b^2-4ac))/2a完全平方公式的意义是，我们可以通过计算二次方程的系数a、b、c，找到方程的根x。
如果判别式b^2-4ac大于零，则方程有两个不相等的实根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实根；如果判别式小于零，则方程没有实根，只有两个共轭复根。
这种通过完全平方公式求解方程的方法，可以广泛应用于数学、物理等领域的问题中。
举个例子来说明完全平方公式的应用。
假设有一个一元二次方程x^2-5x+6=0，我们可以将其系数代入完全平方公式中计算根的值：a=1，b=-5，c=6代入完全平方公式得：x=(-(-5)±√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)=(5±√(25-24))/2=(5±√1)/2=(5±1)/2=3,2因此，该一元二次方程的根为x=3，x=2总结来说，完全平方公式是解决一元二次方程的重要工具，它可以帮助我们确定二次方程的根以及计算顶点的坐标。
完全平方公式详解
完全平方公式详解考虑一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是已知系数，x 是未知变量。
首先，为了方便计算，我们将二次项系数a除以2，得到x^2+(b/2a)x+c/a=0。
接下来，我们将表达式的前两项平方，即(x+b/2a)^2展开这个平方，得到(x+b/2a)^2=x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2将这个平方形式代入原二次方程，得到(x+b/2a)^2+(b/2a)^2+c/a=0。
右侧的和式可以化简为[(b/2a)^2+c/a]，这是一个常数项。
现在，可以将公式用来解二次方程了。
我们只需要求出常数项[(b/2a)^2+c/a]，然后通过对其取负号平方根，得到两个解。
举例说明：考虑二次方程3x^2+4x+1=0。
首先，将其转化为标准形式，得到x^2+(4/3)x+1/3=0。
然后，我们计算常数项[(4/3)/2]^2+1/3=1/4+1/3=7/12接下来，我们取负号平方根，得到两个解：(4/3+√(7/12))和(4/3-√(7/12))。
除了解二次方程外，完全平方公式还常用于因式分解和简化表达式。
例如，考虑一个二次三项式x^2-8x+16这个三项式可以因式分解为完全平方的形式(x-4)^2通过使用完全平方公式，我们可以直接得到x-4=0，因此x=4是原方程的解。
此外，考虑另一个二次三项式x^2-2x+1这个三项式是一个完全平方的形式(x-1)^2通过使用完全平方公式，我们可以直接得到x-1=0，因此x=1是原方程的解。
总结：完全平方公式是解二次方程的一种常用方法，它通过变量的平方构造一个完全平方的二次多项式。
它的应用不仅限于解二次方程，还可以用于因式分解和简化表达式。
完全平方公式的推导过程相对简单，只需要将二次项平方并展开，然后代入原方程，化简即可求解。
完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。
它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。
首先，让我们来看看为什么这个公式成立。
我们将用代数的方法来证明它。
首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。
因此，我们证明了完全平方公式的正确性。
现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。
考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。
具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。
这在解决数学问题和方程时非常有用。
接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。
例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。
根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。
例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。
首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。
因此，我们需要找到适当的因式分解方法。
我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。
因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。
总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。
完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。
首先，我们要将二次方程写成平方的形式。
我们可以通过配方来完成这一步骤。
将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。
接下来，我们需要创建一个完全平方。
我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。
这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。
形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。
现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。
简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
注意到，左边的式子是两个平方的差。
这是一个重要的公式，称为平方差公式。
平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
然后，我们可以开始解方程。
首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。
接下来，我们继续化简。
我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。
最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是完全平方公式的最终形式。
需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。
对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。
总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。
完全平方公式20题
完全平方公式20题完全平方公式又称二次方程式，是一类非常重要的数学公式，在各大学生的考试中也占有很大的比重。
以下是完全平方公式20题，我们可以用它来提高我们的数学水平。
1.算：x - 2x - 15 = 0解：首先，我们将方程式化为完全平方公式：x - 2x + 1 - 16 = 0令一元二次方程式的左边a、b、c的值如下：a = 1b = -2c = -16根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{2 sqrt{4 + 64}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
2.算：2x - 25 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{5 sqrt{25 - 0}}{2})= (frac{5 5}{2})= 2.5 2.5因此，x = 2.5 x = -2.5。
3.算：3x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 + 108}}{6})= (frac{-4 10}{6})= -2 5因此，x = -7 x = 3。
4.算：x - 2x - 6 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{2 sqrt{4 + 24}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
5.算：2x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 - 36}}{4})= (frac{-4 4}{4})= -2 2因此，x = -1 x = 3。
6.算：5x + 7x + 3 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-7 sqrt{49 - 60}}{10})= (frac{-7 sqrt{-11}}{10})因为有负数在平方根内，因此没有实数根。
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
完全平方公式解法
完全平方公式解法完全平方公式是解决一元二次方程的一种方法，它可以帮助我们求解方程的根。
所谓一元二次方程，就是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
完全平方公式的表达式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中±表示两个解，√表示开平方，b^2-4ac是判别式。
下面我们来详细介绍一下完全平方公式的使用方法。
我们需要确定方程中的a、b、c的值。
这些值可以由题目中直接给出，或者通过观察方程得到。
接下来，我们计算判别式b^2-4ac的值。
判别式的值可以判断方程的解的情况：如果判别式大于0，说明有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，说明有一个实数解；如果判别式小于0，说明没有实数解，只有复数解。
然后，我们根据判别式的值来求解方程的根。
如果判别式大于0，我们可以使用完全平方公式的正负两个根来求解；如果判别式等于0，我们只需要使用完全平方公式的一个根来求解；如果判别式小于0，我们需要使用复数来表示方程的根。
我们将求解出来的根带入原方程，验证我们的答案是否正确。
下面我们通过一个例子来演示一下完全平方公式的使用方法。
例子：解方程x^2-6x+8=0。
我们可以看出a=1，b=-6，c=8。
接下来，计算判别式b^2-4ac的值，即(-6)^2-4*1*8=36-32=4。
由于判别式大于0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据完全平方公式，我们有x=(-(-6)±√4)/(2*1)。
化简得到x=(6±2)/2，即x=4或x=2。
我们将求解出来的根带入原方程验证一下。
将x=4带入方程得到4^2-6*4+8=0，等式成立；将x=2带入方程得到2^2-6*2+8=0，等式成立。
因此，我们得出结论，方程x^2-6x+8=0的解是x=4和x=2。
通过以上例子，我们可以看到完全平方公式简化了一元二次方程的求解过程，提高了求解的效率。
掌握了完全平方公式，我们可以更轻松地解决一元二次方程的问题。
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完全平方公式讲解第一部分概念导入1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；2．学生计算3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。
（1）（2）之间只差一个符号。
推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2注意：（2）中n 2的指数2与公式中b 2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”． ［例2］计算（1）（－m －n ）2 （2）（－5a －2）（5a ＋2）点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m 与－n 是同号，所以公式中的2ab 取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．解：（1）（－m －n ）2＝（－m ）2＋2·（－m ）（－n ）＋（－n ）2＝m 2＋2mn ＋n 2（2）（－5a －2）（5a ＋2）＝－（5a ＋2）（5a ＋2）＝－（5a ＋2）2＝－（25a 2＋20a ＋4）＝－25a 2－20a －4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算．［例3］计算（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m －n 与m ＋n 相乘，再将所得结果m 2－n 2与中间括号里的m 2－n 2相乘，可利用完全平方公式．解：（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）＝（x 2－4xy ＋4y 2）－（x 2－y 2）＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2＝－4xy ＋5y 2（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）＝（m －n ）（m ＋n ）（m 2－n 2）＝（m 2－n 2）（m 2－n 2）＝（m 2）2－2·m 2·n 2＋（n 2）2＝m 4－2m 2n 2＋n 4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），将此题转化为平方差公式进行计算．解法一：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2＝（x 2＋xy ＋42y ）－（x 2－xy ＋42y ）＝x 2＋xy ＋42y －x 2＋xy －42y＝2xy解法二：［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a ＋b ）（a －b ）的形式，利用平方差公式进行简化运算．关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！ 随堂练习一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．（a －1）2=a 2－2a+1C ．a 6÷a 3=a 2D ．（a 4）5=a 92．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A ．（x+y ）2=x 2+y 2B ．（x －y ）2=x 2－y 2C．（－x+y）2=x2－2xy+y2D．（－x－y）2=x2－2xy+y23．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是（）A．（x－y）2B．（－x－y）2C．－（x+y）2D．－（x－y）2 4．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m的值是（）A．16 B．4 C．－4 D．4或－4 二、填空题5．（－x－2y）2=_____．6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，则B=_____．7．若a－b=3，ab=2，则a2+b2=______．8．（_____－13y）2=94x2－xy+______；（_____）2=916a2－6ab+_____．三、解答题9．利用完全平方公式计算：（1）20082；（2）782．10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－1 3．11.利用公式计算：196212.某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？13.已知x+y=1，求12x2+xy+12y2的值．14.已知a+1a=5，分别求a2+21a，（a－1a）2的值15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，•则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．16.小明在计算2222009200820092007200920092+-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？17．已知：a ＋b ＝－5，ab ＝－6，求a 2＋b 2．18.利用公式计算：992－119.计算 （1）)1)(1(+-ab ab ； （2）)32)(32(---x x ；（3）1022； （4）992.（5）)1)(1(-+++b a b a ；（6）2)2(p n m +-.20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?21.当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a---+=-=时，求的值22.求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数23.观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.24.已知2294y Mxy x+-是一个完全平方式,求M 的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?答案一、1．B2．C 点拨：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以A 不正确；（x －y 2=x 2－2xy+y 2，所以B 不正确；（－x+y ）2=（－x ）2+2（－x ）·y+y 2=x 2－2xy+y 2，所以C 正确；（－x －y ）2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以D 也不正确，故选C ．3．D4．D 点拨：因为（x －4）2=2－8x+16，所以若（x －4）2=x 2－8x+m 2成立，则m 2=16，从而得m=±4，故选D ．二、5．x 2+4xy+4y 2 点拨：（－x －2y ）2=[－（x+2y ）] 2=（x+2y ）2=x 2+4xy+4y 2．6．48xy 点拨：B=（3x+4y ）2－（3x －4y ）2=9x 2+24xy+16y 2－（9x 2－24xy+16y 2）•=•9x 2+•24xy+16y 2－92+24xy －16y 2=48xy ．7．13 点拨：因为a －b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a －b ）2+2ab=32+2×2=9+4=13．8．32x ；19y 2；34a －4b ；16b 2三、9．解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（80－2）2=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．10．解：（2x －1）（x+2）－（x －2）2－（x+2）2=2x 2+4x －x －2－（x 2－4x+4）－（x 2+4x+4）=2x 2+3x －2－x 2+4x －4－x 2－4x －4=3x －10．当x=－13时，原式=3×（－13）－10=－1－10=－11． 11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）2，利用完全平方公式计算． 解：1962① ＝（200－4）2 ②＝2002－2×200×4＋42＝40000－1600＋16＝38416说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．解：原正方形面积：a 2现正方形面积：（a －3）2面积减少了a 2－（a －3）2＝a 2－（a 2－6a ＋9）＝a 2－a 2＋6a －9＝（6a －9）（cm 2）答：面积减少了（6a －9） cm 2．13.解：因为x+y=1，所以（x+y ）2=1，即x 2+2xy+y 2=1． 所以12x 2+xy+12y 2=12（x 2+2xy+y 2）=12×1=12． 点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．14.因为a+1a =5，所以a 2+21a =（a+1a ）2－2·a·1a =52－2=23，所以（a －1a ）2=a 2+21a －2·a·1a =23－2=21．点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a 2+b 2=（a+b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a －b ）2+4ab ，（a －b ）2=（a+b ）2－4ab 等等．15.解：设这个正方形花坛的边长为x 米，依题意列方程得，（x+3）2－x 2=39，•即x 2+6x+9－x 2=39，6x=30，x=5．答：这个正方形花坛的边长为5米．点拨：适当引进未知数，•根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．16．解：知道，做法如下：2222009200820092007200920092+-=22220092008(200920081)(200920081)2-++- =222200920082009200822009200812009200822009200812-⨯+++⨯+- =2220092008220092008⨯=12．点拨：由200920072=（20092008－1）2，200920092=（20092008+1）2，运用完全平方公式化简即可．17.点拨：同时存在a ＋b ，ab ，a 2＋b 2的公式为完全平方公式（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可．注意：Ⅰ．不要分别求出a 和b ，运算繁琐．Ⅱ．若已知a ＋b （或a －b ），ab ，a 2＋b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab当a ＋b ＝－5，ab ＝－6时原式＝（－5）2－2×（－6）＝25＋12＝37．18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算. （4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ； （2）)32)(32(---x x= )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--； （3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+； （4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（5）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（6）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+ =2222228484449b ab a b ab a b a-+=-+--； 当时，1,1=-=b a 222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.22.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍. 证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n =n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).24.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x±=229124y xy x +±得: 12±=-M . ∴12±=M答:M 的值是±12. 25.【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯ =277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.。