完全平方公式
完全平方公式
专题五 完全平方公式【新知讲解】1.基本公式：完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b2.2.完全平方的变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+- （2）()2222a b a b ab +=-+（3）()()222222a b a b a b ++-=+ （4）()()224a b a b ab +--= 3．思想方法：类同于平方差公式.【探索新知】问题导入：()222a b a b +=+ 成立吗？（一）()2a b +=1．运算推导：2．图形理解：（二）()2a b -=1. 运算推导：2. 图形理解：()()2222a b a b b a b -=-+- A 组 基础知识【例题精讲】例1.利用完全平方公式计算：（1）()22a b -+ （2）()2m n --例2.利用完全平方公式计算（1）(a+b+c)² （2）(a+b-c)² （3）(a-b-c)²例3.化简：()()()()22342343232x x x x +++-++-+例4.已知：4,2a b ab +==-.求：（1）22a b + 的值；（2）()2a b -的值.例5．已知1x x +=3.（1）求221x x +的；（2）求441x x +的值.例6.计算下列各题（顺用公式）：()3a b +例7. 计算下列各题（逆用公式）： （1）26a a ++＿＿= ()2a +（2）241x ++＿＿=（ 2) （3）已知2249x axy y -+ 是一个完全平方式，则a 的值为________________. 例8.（变形用公式）：若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
B 组 能力提升a b1.已知：231x x -+=0.（1）求:221x x+的值；（2）求:441x x +的值. 2.已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11x y +的值.3.用完全平方公式进行计算：（1）2202 （2）22974.化简：()()22a b c d a b c d +++++--C 组 拓展训练1.配方法：已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值.2.若 2x y -=，224x y +=，求 20022002x y +的值.3.求证：()()22a b c d a b c d ++-++-++()()22a b c d a b c d -+++--- =()22224a b c d +++4.已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值.。
完全平方公式20种变形
完全平方公式20种变形【最新版】目录1.完全平方公式的基本形式2.完全平方公式的 20 种变形3.变形实例及解题方法正文【1.完全平方公式的基本形式】完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以表示为两个一次多项式的平方和。
其基本形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2【2.完全平方公式的 20 种变形】在实际解题过程中，完全平方公式可以衍生出 20 种变形，具体如下：1.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^22.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^24.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^25.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^26.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^27.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^28.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^29.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^410.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^411.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^212.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^213.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^214.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^215.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^216.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^217.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^418.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^419.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^220.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2【3.变形实例及解题方法】以第一种变形为例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2假设 a = 3, b = 2，代入公式得：(3+2)^2 = 3^2 + 2*3*2 + 2^2= 25 = 9 + 12 + 4可见，公式左边的 (3+2)^2 等于右边的 9 + 12 + 4。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。
完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。
首先，我们要将二次方程写成平方的形式。
我们可以通过配方来完成这一步骤。
将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。
接下来，我们需要创建一个完全平方。
我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。
这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。
形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。
现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。
简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
注意到，左边的式子是两个平方的差。
这是一个重要的公式，称为平方差公式。
平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
然后，我们可以开始解方程。
首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。
接下来，我们继续化简。
我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。
最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是完全平方公式的最终形式。
需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。
对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。
总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。
完全平方公式
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与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存 在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这 个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整 数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于 另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方 程和判断整式乘除运算结果的重要依据。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
完全平方公式计算法则
完全平方公式计算法则咱今天就来好好唠唠完全平方公式计算法则。
话说我以前教过一个学生叫小明，那可真是个有趣的孩子。
有一次上课，我正讲着完全平方公式，这小家伙一脸懵，眼睛瞪得圆圆的，好像我在讲外星语言。
咱们先来说说这完全平方公式到底是啥。
完全平方公式啊，就俩：(a + b)² = a² + 2ab + b²还有 (a - b)² = a² - 2ab + b²。
这公式看起来简单，用起来可得小心。
比如说，给你个式子 (3 + 2)²，那按照公式就得这么算：先看第一个 a = 3 ， b = 2 ，代入公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²，就是 3² + 2×3×2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25 。
再比如 (5 - 3)²，这里 a = 5 ， b = 3 ，套进公式 (a - b)² = a² - 2ab + b²，就是 5² - 2×5×3 + 3² = 25 - 30 + 9 = 4 。
咱可别小看这公式，用处大着呢！像在解决几何问题的时候，要是求一个正方形边长增加或者减少后的面积变化，用完全平方公式就能轻松搞定。
我还记得小明后来自己做题的时候，有一道是这样的：一个长方形的长是 x + 2 ，宽是 x - 2 ，求它的面积。
这要是不会完全平方公式，那可就抓瞎啦。
但要是会用，先算出长乘以宽，就是 (x + 2)(x - 2) ，这可以用平方差公式算出是 x² - 4 。
还有一次考试，有个题是已知 (x + y)² = 25 ，xy = 3 ，求 x² + y²的值。
这就得灵活运用完全平方公式啦。
因为 (x + y)² = x² + 2xy + y²，把已知条件带进去，就是 25 = x² + 2×3 + y²，所以 x² + y² = 25 - 6 = 19 。
完全平方公式的定义
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种有用的数学工具，可以用来解决多个方程。
它是一个常见的抽象表示形式，由四个变量X、a、b、c和d组成，它的表达式为：X^2+aX+b=cX+d。
这里的X表示一个未知数，a、b、c和d分别表示四个常数。
如果所有变量都是定值（即a,b,c和d都是非零常数），则将上述公式视为一元二次方程（也就是完全平方方程）。
在求解它时，首先必须将它化成一般形式ax²+bx+c=0。
然后应用平方根公式（即X=−b±√b²−4ac2a）来解决这个问题。
此外，如果该方程有不止一个根（即b²-4ac是正数时），则要考虑所有根的情况。
对于复杂的多项式问题来说，使用完全平方公式能够很好地减少问题的复杂度。
例如在求解三次多项式中的根时可以将三次多项式化成三个不含x³成分的完全平方形式。
考虑到这些优势和特性，它成为了很多学生和工作者在数学中使用的一个重要工具。
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号中相同的项为 a，相反的项为 b，只须把题中相同的
项都填入第一个括号，把相反的项 (从同一个括号中择
取) 都填入第二个括号.
解： 【点拨】对于例 2 这类乘法，若两个括号内的项全部相 同或相反，则不可用平方差公式，而可用完全平方公式. 三、课堂训练
学生独立思考，自 主完成练习。教师 给予讲评，教师要 重点关注学生是否 掌握完全平方公式 的结构特征。 学生要学会应用完 全平方公式特征的 口诀进行解题。
（a－b）2=a2－2ab+b2 3．归纳完全平方公式的特征：
（1）左边为两个数的和或差的平方；
（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的 2
倍．
4.【例 1】运用完全平方公式计算：
⑴ 4m n2 ；
⑵ 992
【解析】
(1) 4m n2
(2) 992 (100 1)2
【点拨】4m展2开后2 的4式m子 n有三n2项，能合10并00的0要 2合0并0 .1
的体验，亲身
（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；
经历了数学魅
（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2，或［x+
力所在.注意完
（y－z）］2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式计算；
全平方公式中
思考
容易出现的问
⑴（a+b）2 与（－a－b）2 相等吗？为什么?
题，让学生掌
（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．
（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab
－ab+b2=a2－2ab+b2．
这里是对前边 进行的运算的 复习，目的是 让学生通过观 察、归纳，鼓 励他们发现这 个公式的一些 特点，如公式 左右边的特 征，便于进一 步应用公式计 算 公式的推导既 是对上述特例 的概括，更是 从特殊到一般 的归纳证明， 在此应注意向 学生渗透数学
⑵（a－b）2 与（b－a）2 相等吗？为什么?
握。
⑶（a－b）2 与 a2－b2 相等吗？为什么?
设计意图
6．添括号：∵4+5+2 与 4+(5+2)的值相等;4-5-2 与
4-(5+2)的值相等.所以可以写出下列两个等式: (1)4+5+2=4+(5+2) (2)4-5-2=4-(5+2)
左边没括号,右边有括号,也就是添了括号,•同学们可 不可以总结出添括号法则来呢? 添括号其实就是把去 括号反过来。
（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．
教师让学生用自己 的语言叙述所发现
答案：（1）p2+2p+1； （2）m2+4m+4； （3）p2－2p+1； （4） 的规律，允许学生之
m2－4m+4．
间互相补充，教师不 急于概括．
二、探究新知
1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。
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年级 教学媒体
知识 教 技能 学 目 过程 标 方法
情感 态度
教学重点
八年级 课 题
完全平方公式
课 型 新授
多媒体
1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一 步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．
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【例 2】计算： x 2y 3x 2y 3；
【解析】若用平方差公式，原式应= ( )2 ( )2 .根
据公 式特 点，两 个括
x 2 y 3x 2 y 3
x 2 (2 y 3) 2 x 2 4 y 2 12 y 9
学生利用多项式与 多项式相乘的法则 进行计算，观察计算
（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；
结果，寻找一般性的
（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；
结论，并进行归纳 教师让学生利用多
（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；
项式的乘法法则进 行推理.
教学程序及教学内容 添括号法则是:
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项
都不变符号;•如果括号前面是负号,括到括号里的各项 都改变符号.
也是:遇"加"不变,遇"减"都变.
学生认真总结并适 当练习。 教师适当讲解，学 生要理解解题过 程。
让学生掌握添 括号法则。 正确的将平方 差公式和完全 平方公式结合
2.归纳完全平方公式
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或
减）它们的积的 2 倍，即 教学程序及教学内容
（a+b）2=a2+2ab+b2，
师生行为
设计意图
学生分组讨论，合 的思想方法：特
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起来应用。 有意识地培养 学生的创新能 力． 学生通过练习， 巩固刚刚学习 的新知识，在此 基础上，加深知 识的应用。
5．利用16完m全2 平8m方n公式n2计算：
9801
（1）（－x+2y）2；
（2）（－x－y）2；
作交流，归纳完全 平方公式的特征。 部分学生板演，然 后学生交流分析过 程：此题需灵活运 用完全平方公式。 学生思考，教师点 拨。 学生在做题时，不 要鼓励他们直接套 用公式，而应让学 生理解每一步的运 算理由。 .学生分组讨论,最 后总结。
进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意 识地培养学生的创新能力．
(a±b)2＝a2±2ab＋b2 的推导及应用．
教 学 难 点 完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习旧知 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？
师生行为
例—归纳—猜 想—验证一用 数学符号表示． 在学习过程中， 例题的设置是 由浅入深，让 每个学生感到 学有所成，感 受到学习数学 的乐趣.整个过 程贯穿完全平 方公式的结构
（3）（x+y－z）2；
特征及由一般
解析：（1）题可转化为（2y－x）2 或（x－2y）2，再运
到特殊的思想
用完全平方公式；