完全平方公式
完全平方公式
专题五 完全平方公式【新知讲解】1.基本公式：完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b2.2.完全平方的变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+- （2）()2222a b a b ab +=-+（3）()()222222a b a b a b ++-=+ （4）()()224a b a b ab +--= 3．思想方法：类同于平方差公式.【探索新知】问题导入：()222a b a b +=+ 成立吗？（一）()2a b +=1．运算推导：2．图形理解：（二）()2a b -=1. 运算推导：2. 图形理解：()()2222a b a b b a b -=-+- A 组 基础知识【例题精讲】例1.利用完全平方公式计算：（1）()22a b -+ （2）()2m n --例2.利用完全平方公式计算（1）(a+b+c)² （2）(a+b-c)² （3）(a-b-c)²例3.化简：()()()()22342343232x x x x +++-++-+例4.已知：4,2a b ab +==-.求：（1）22a b + 的值；（2）()2a b -的值.例5．已知1x x +=3.（1）求221x x +的；（2）求441x x +的值.例6.计算下列各题（顺用公式）：()3a b +例7. 计算下列各题（逆用公式）： （1）26a a ++＿＿= ()2a +（2）241x ++＿＿=（ 2) （3）已知2249x axy y -+ 是一个完全平方式，则a 的值为________________. 例8.（变形用公式）：若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
B 组 能力提升a b1.已知：231x x -+=0.（1）求:221x x+的值；（2）求:441x x +的值. 2.已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11x y +的值.3.用完全平方公式进行计算：（1）2202 （2）22974.化简：()()22a b c d a b c d +++++--C 组 拓展训练1.配方法：已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值.2.若 2x y -=，224x y +=，求 20022002x y +的值.3.求证：()()22a b c d a b c d ++-++-++()()22a b c d a b c d -+++--- =()22224a b c d +++4.已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值.。
完全平方公式
完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。
推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
证明完全平方公式
证明完全平方公式
完全平方公式是数学中常用的一种公式，它可以把一个多项式转化为一个完全平方形式。
证明过程如下:
设一个多项式为a(x) = bx + c,
则a(x)^2 = (bx + c)^2 = b^2 x^2 + 2bxc + c^2
可以看出，a(x)^2 = b^2 x^2 + 2bxc + c^2 的形式是一个完全平方形式。
所以，我们可以把a(x) = bx + c 写成(bx + c/2)^2 + (c^2 - b^2*c/4) 的形式，这就是完全平方公式的证明。
完全平方公式可以帮助我们更方便的求解一些数学问题，例如方程求解、求根公式等。
总之,完全平方公式是一种有用的数学公式，可以帮助我们更方便的求解一些数学问题。
另外，完全平方公式还有一个重要应用就是可以将一个二次不等式转化成一个标准形式。
例如：ax^2 + bx + c > 0 ，可以转化为（x+p）^2 + q^2 >0 的形式，其中p = -b/2a, q = sqrt(b^2 - 4ac) / 2a。
这样就可以更方便的求解这个不等式的解集。
完全平方公式是一种非常重要的数学工具，在很多领域都有广泛的应用。
总之，完全平方公式是一种有用的数学公式，可以帮助我们更方便的求解一些数学问题，在很多领域都有广泛的应用。
完全平方公式20种变形
完全平方公式20种变形【最新版】目录1.完全平方公式的基本形式2.完全平方公式的 20 种变形3.变形实例及解题方法正文【1.完全平方公式的基本形式】完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以表示为两个一次多项式的平方和。
其基本形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2【2.完全平方公式的 20 种变形】在实际解题过程中，完全平方公式可以衍生出 20 种变形，具体如下：1.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^22.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^24.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^25.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^26.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^27.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^28.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^29.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^410.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^411.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^212.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^213.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^214.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^215.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^216.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^217.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^418.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^419.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^220.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2【3.变形实例及解题方法】以第一种变形为例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2假设 a = 3, b = 2，代入公式得：(3+2)^2 = 3^2 + 2*3*2 + 2^2= 25 = 9 + 12 + 4可见，公式左边的 (3+2)^2 等于右边的 9 + 12 + 4。
完全平方公式（完整知识点）
完全平⽅公式（完整知识点）完全平⽅公式完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。
该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了⼀次项②混淆公式（与平⽅差公式）③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。
学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和（或差）的平⽅，等于它们的平⽅和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.完全平⽅公式⼝诀前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形（习题）变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（⼆）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。
所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套⽤公式计算。
完全平方公式的证明方法
完全平方公式的证明方法完全平方公式是数学中重要的一个概念，它可以用来求解一元二次方程。
完全平方公式可以写作：ax2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，x是未知数。
首先，我们来看看如何证明完全平方公式。
首先，我们假设完全平方公式是正确的，即ax2 + bx + c =首先，我们使用洛必达法则来证明完全平方公式，洛必达法则可以将一元二次方程转换为完全平方公式。
首先，我们将x2 + bx + c写成(x + b/2)2 + c - b2/4的形式，然后将x2 + bx + c 写成(x + b/2 - √(b2/4 - c))(x + b/2 + √(b2/4 - c))，这样就得到了完全平方公式。
接下来，我们来证明完全平方公式的有效性。
由于完全平方公式是一元二次方程的一种特殊形式，我们可以使用数学归纳法来证明它的有效性。
假设ax2 + bx + c =0，则有：1. 当a = 0时，ax2 + bx + c =0，此时完全平方公式无效；2. 当a ≠ 0时，ax2 + bx + c =0，此时可以用完全平方公式解决，即x = -b/2 ± √b2/4-c/a；3. 根据2，可以得出当a ≠ 0时，ax2 + bx + c = 0的解为x = -b/2 ±√b2/4-c/a，即完全平方公式有效。
由此可见，完全平方公式是有效的，它可以用来解决一元二次方程。
总结完全平方公式是一元二次方程的一种特殊形式，它可以用来求解一元二次方程。
本文通过洛必达法则和数学归纳法证明了完全平方公式的有效性。
完全平方公式的使用可以让我们更加轻松地解决一元二次方程，从而为我们的数学研究提供了便利。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用完全平方公式是数学中一个重要的公式，利用它可以快速计算一个二次多项式的解，也可以应用于各种数学和科学领域中。
一、完全平方公式的定义完全平方公式表明，任意一个二次多项式都可以表示为一个完全平方加上一个常数项。
具体地讲，对于形如ax²+bx+c的二次多项式，其完全平方公式为：ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a其中，x是未知数，a、b、c均为实数且a不等于0。
二、完全平方公式的应用1. 求二次函数的零点对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，可以利用完全平方公式解出其根。
ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a = 0解得：x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a这就是二次函数的根，也叫做零点。
2. 计算几何中的面积利用完全平方公式，可以计算各种几何图形的面积。
比如，对于一个正方形，其对角线的长度可以表示为边长的根号2倍，即：d = a√2其中，a为正方形的边长。
根据勾股定理，任意一个直角三角形的斜边也可以用完全平方公式表示。
3. 计算概率完全平方公式还可以应用于概率计算中。
比如，正态分布的概率密度函数服从下面的公式：f(x) = 1/√(2πσ²) * e^-(x-μ)²/2σ²其中，e是自然对数的底数，μ是正态分布的均值，σ²是方差。
这个公式中的(x-μ)²可以用完全平方公式表示为一个完全平方加上一个常数项。
4. 计算物理量在物理中，完全平方公式也有巨大的应用价值。
比如，牛顿第二定律可以表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体所受的加速度。
根据质能方程E=mc²，物体的质量也可以用能量的形式表示为E/c²。
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完全平方公式
一、教学目的要求：
1、使学生掌握完全平方公式，并能熟练的进行乘法运算。
2、通过例题的讲解，习题的练习，使学生掌握代换的思想方法，并培养学生灵活
的运用公式解决问题的能力。
二、重点、难点
1、掌握完全平方公式的特点，牢固的记住住公式
2、解答具体问题会运用公式，关键是正确的计算公式中两个数乘积的两倍的项。
三、教学方法
观察、探讨法
四、教具计算机
五、教学过程
复习提问
1、运用多项式的乘法法则计算：（结果用计算机展示）
（1）（a+b）(a+b); (2)(a-b)(a-b).
2、叙述平方差公式
导入新课
上一节课，我们学习了第一个乘法公式------(a+b)(a-b)=a2-b2 ,这一节课，我们在学习两个很重要的乘法公式，就是完全平方公式。
（计算机展示课题：完全平方公式）
（1）从刚才板演的结果，引导学生得出公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2 ;
这里，第一个公式是基本的，第二个公式可以由第一个公式导出。
如(a-b)2=[a+(-b)]2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
（2）语言叙述，让学生用语言叙述公式内容，经过教师补充修正，把完整准确的叙述写在黑板上：
两数和（或差）的平方，加上（或减去）它们的积的两倍。
.
首方加尾方，两倍平方中间放。
注意：公式的字母可以是数，也可以单项式或多项式。
例题1 运用完全平方公式计算。
（计算机展示）
（1）（4a2-b2）
(2)(y+o.5)2
练习（1）课本第127页第1，2，3题（指生板演，共同订正）
例题2 运用完全平方公式计算。
（计算机展示）
（1）1022
（2）1992
练习（2）课本第130 页（A）第1 题（1）、（3）、（5）、（7）（指生板演，共同订正）
达标测试：
1．（a+b）2=
用语言叙述为：。
2．（a-b）2=a2+b2+ 。
3．判断：（1）(a-b)2=(b-a)2( )
(2) (a+b)2-(a-b)2=4ab ( )
4. 选择：（1）对任意自然数n，多项式（n+7）2-n2能够（）
（A）被2整除（B）被7整除
（C）被n整除（D）被n+7整除
(2)已知x+1/x=2,则x2+1/x2的值是（）
（A）2 （B）6 （C）4 （D）10
5．计算：
（1）4992（2）11.112
6．已知a+b=4，ab=3，求（a-b）2的值。
课堂小结：
（计算机展示）
1．强调指出完全平方公式的来龙去脉，掌握公式的结构特点，防止学生把这两个公式和混淆。
2．运用公式做题时，学生往往“把2ab”这一项中的丢掉，要强调2的由来。
3．运用公式做题时，先引导学生考察题目是否符合条件，若不应先变形再应用。
四．课外作业
课本130页第1题（2）、（4）、（6）、（8）。