1-6-1完全平方公式1
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。
(1) ( 2)之间只差一个符号。
推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起， 构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、 填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、 解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公 式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式 计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评 】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式， 否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。
1-6 完全平方公式(分层练习)(解析版)
第一章整式的乘除1.6完全平方公式精选练习一、单选题1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知a、b不同的两个实数，且满足0ab>、2242a b ab+=-，当a b-为整数时，ab的值为（）A．34或12B．1C．34D．14或34A ．12xyB ．24xyC ．24xy -D ．12xy-【答案】C【分析】先利用完全平方公式去括号，再求值即可．【详解】解：22(23)(23)x y x y A -=++，222241294129x xy y x xy y A -+=+++，24A xy =-，故选：C ．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是掌握完全平方公式．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知2283a b a b =+-=，，则ab 的值为（）A ．32B ．3C ．﹣12D ．5222021202120222022b =-⨯+，在下列判断结果正确是（）．A ．a b >B ．a b<C ．a b=D ．无法判断【答案】C【分析】根据完全平方公式的变形，将b 化简，进而与a 比较即可求解【详解】解：202120221a =⨯+，222021202120222022b =-⨯+()22021202220212022=-+⨯202120221=⨯+，故a b =．故选C ．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（）A ．()222y x y xy x +=++B ．()2222y x y xy x +=++C ．()()22y x y x y x-=-+D ．()()22y x y x xy+--=4【答案】D【分析】此图形中，一个大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积．【详解】解：如图，大正方形的面积()2y x =+，小正方形的面积()2y x =-，四个长方形的面积4xy =，则由图形知，大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积，即()()22y x y x xy +--=4．故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．6．（2022秋·全国·八年级期末）图（1）是一个长为2a ，宽为2b a b （＞）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A ．abB ．()2+a b C ．()2a b -D ．22a b -【答案】C【分析】根据中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是+2a b b a b -=-，则面积是()2a b -．故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．二、填空题7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若22m m -=，那么()()()21223m m m -++-+的值为________．【答案】4【分析】先去括号，再合并同类项，然后把22m m -=代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】()()()21223m m m -++-+222143m m m =-++-+222m m =-，当22m m -=，原式()22224m m =-=⨯=，故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算()()55a b c a b c -++-=____________．【答案】2221025a b bc c -+-【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得．【详解】解：原式()()55a b c a b c ⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦()225a b c =--()2221025a b bc c =--+2221025a b bc c =-+-，故答案为：2221025a b bc c -+-．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记乘法公式是解题关键．9．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）24x kx -+是完全平方式，则k =____________．【答案】4±【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+即可得．【详解】解：22242x kx x kx -+=-+ 是完全平方式，()22222x kx x ∴-+=±，22444x kx x x ∴-+=±+，4k ∴=±，故答案为：4±．【点睛】本题考查了完全平方式，熟记公式是解题关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如果()22164x mx x -+=+，那么m =______．【答案】8-【分析】把右边的完全平方公式展开，根据多项式相等，比较两边对应项的系数，即可求得m 的值．【详解】解：()228164x x x +=++ ，2281616mx x x x ∴+++-=，8m ∴-=，8m ∴=-，故答案为：8-．【点睛】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键．三、解答题11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：(1)()()24322a a a a ++⋅；(2)()()()2322x x x +++-．【答案】(1)418a ；(2)2265x x ++．【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算法则展开，再合并同类项即可．（2）根据乘法公式展开，再合并同类项即可．【详解】（1）解：()()24322a a a a ++⋅44416a a a =++418a =；（2）解：()()()2322x x x +++-22694x x x =+++-2265x x =++．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．12．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）先化简，再求值：()()()2311x x x -++-，其中=1x -．【答案】610x -+，16【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：原式22691x x x =-++-610x =-+当=1x -时，原式()()611016=-⨯-+=．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．一、填空题1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知5x y a a a ⋅=，()4xy a a =，则x y +=________，xy =______，22x y +=__________．【答案】5417【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，即可求出x y +和xy 的值，再根据完全平方公式即可求出22x y +的值．【详解】解：∵5x y a a a ⋅=，()4xy a a =，∴5x y +=，4xy =，∴()2222252417x y x x y y =+-=-=+⨯，故答案为：5，4，17．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+．2．（2022秋·湖北·八年级统考期末）已知：0x >，1x x-=1x x +＝_____．【详解】解：∵1x x-=，0x >∴1x x +==是完全平方式，则的值为______．【答案】9或1-##1-或9【分析】根据完全平方公式的特点：首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央求解即可．【详解】解：∵()22425x m x +-+是完全平方式，∴()2425m x x -=±⨯，整理得：2810m -=或2810m -=-，解得9m =或1m =-，故答案为：9或1-．【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如222a ab b ±+这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知2810m m -+=，则22128m m m -+=______．5．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）（1）已知，，则的值为______．（2）已知()249x y +=，2227x y +=，则()2x y -的值为______．（3）已知x 满足()()222022202412x x -+-=，则()22023x -的值为______．【答案】3955【分析】（1）将22xy +变形为()+-22xy xy ，再代入已知条件计算即可；（2）将22x y +变形为()+-22x y xy ，再代入已知条件，即可求出xy 值，将()2x y -变形为()24x y xy +-，代入即可求解．（3）将()()222022202412x x -+-=变形为()()22202312023112x x -+++-=，则()()22202311202312x x -++--=⎡⎤⎣⎦，将2023x -看做成一个整体，化简即可求得()22023x -的值．【详解】解：（1）∵7x y +=，5xy =，∴22x y +()22x y xy=+-2725=-⨯39=，故答案为：39；（2）∵()249x y +=∴22249x xy y ++=∵2227x y +=，∴11xy =，∴()2x y -222x xy y =-+()24x y xy=+-49411=-⨯故答案为：5；（3）∵()()222022202412x x -+-=，∴()()22202312023112x x -+++-=，()()22202311202312x x -++--=⎡⎤⎣⎦，()()()()222023220231122023202312x x x x -+-++--+-=，()222023212x -+=，()220235x -=，故答案为：5．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解题的关键．二、解答题6．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知3a b +=，4ab =-，求下列各式的值．(1)2()a b -；(2)225a ab b -+．【答案】(1)25(2)37【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；（2）利用完全平方公式变形，将式子用含a b +、ab 的式子表示，再代入求解．【详解】（1）解：224a b a b ab-=+-（）（）()2344=-⨯-25=（2）解：2222527a ab b a ab b ab-+=++-27a b ab=+-（）9(28)=--37=【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．7．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．（3）已知1139273m m ⨯⨯=，求m 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）表示出相邻两个奇数为：21n +，23n +，列出他们平方的差进行计算即可；（2）表示相互两个奇数为：21n +，21m +，列出他们平方的差进行计算即可；（3）将9m ，27m 转化为底数为3的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘方运算即可．【详解】（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）设：这两个奇数为：21n +，23n +（注：设为2n -1，2n +1也可以）()()222321n n ++-()224129441n n n n =++-++88n =+则：()8881n n +=+是8的倍数，∴相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．设：这两个奇数为：21n +，21m +()()222121n m +-+()22441441n n m m =++-++224444n n m m=+--则：()222244444n n m m n n m m +--=+--是4的倍数，∴任意两个奇数的平方的差是4的倍数．（3）已知1139273m m ⨯⨯=，求m 的值．()()23113333mm⨯⨯=1231133m m ++=12311m m ++=2m =．【点睛】本题考查完全平方公式的运算及同底数幂的乘法和幂的乘方的运算，熟练运用公式及法则是解决问题的关键．8．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长是______；(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，并写出三个代数式()2a b +，()2a b -，ab 之间的等量关系；(3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若10x y +=，16xy =，求x y -的值；(4)根据（2）中的等量关系，直接写出1m m+和1m m -之间的关系；若2410m m -+=，分别求出1m m +和21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)a b-(2)方法一：()2a b -，方法二：()24a b ab +-，()()224a b a b ab -=+-或()()224a b a b ab +=-+(3)6±(4)1m m +的值为4，21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12【分析】（1）图2中，大正方形的边长为：a b +，横着看，a b +是由两个b 和阴影正方形的边长构成，相减便得阴影正方形边长；（2）方法一：图1中已求出阴影正方形的边长，边长乘边长即为面积；方法二：图2长方形面积减图2非阴影部分面积，即为阴影部分面积；（3）运用（2）中关系可得()()224x y x y xy -=+-，代入求解即可；（4）将m 视为a ，1m 视为b ，按照上述结论即可解决．【详解】（1）解：阴影部分的正方形的边长为：a b b b a b +--=-，故答案为：a b -；（2）阴影部分的面积：方法一：利用整体思想，边长为()a b -的正方形其面积为()2a b -，方法二：利用分割思想，阴影部分面积=边长为()a b +的大正方形面积-4个长为a 宽为b 的。
2023-2024学年-北师大版数学七年级下册-1.-6-完全平方公式
新课探究
（a + b）2 = a2 + 2ab + b2 用自己的语言叙 述这一公式！
两个数的和的平方，等于这两个数的平 方和加这两个数乘积的 2 倍.
再举两例验证你的发现． （1）（2x + y）2 ; （2）（3a – 2b）2 .
（1）（2x + y）2 =（2x + y）（2x + y） = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2
2
4
（2）（2xy+ 1 x）2
5
=
4x2y2
+
4 5
x2y
1
+ 25 x2
（3）（n + 1）2 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1
2. 化简求值：(2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5. 其中 x = – 5.
解 (2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5 = 2x2 – 4x + x – 2 – x2 + 2x – 1 + 5 = x2 – x + 2 当 x = – 5 时， 上式= (– 5)2 – (– 5) + 2 = 25 + 5 + 2 = 32.
(a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数 分别是 1， 3， 3， 1.
二次根式的混合运算 (1)
解题方法
本题解题的关键是先利用乘法分配律进行计算，再乘除，后将同类
二次根式进行加减。
乘法分配律： + = + .
加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
应用练习
3.3 化简：2
−2
−
3−2
2
−
7−1
0
1
+
.
2− 3
应用练习
3.4 化简： 12 +
1 −2
3
− −2
0
+ − 2
2
−
3−3 .
应用练习
3.5 计算：
2012 − 1
0
+
1 −1
−
3
−
2−2 −
1
.
2+1
应用练习
3.6 化简：
3−2
2015
∙
3+2
2016
− − 2
0
+ −
1 −1
①加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
②乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
除法法则： ÷ =
≥ 0, > 0
知识讲解
三、相关知识点
①二次根式的性质:(1)
②分母有理化： (1)
1
(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.
易错点：
例题讲解
2.计算：
完全平方公式30道题
完全平方公式30道题一、完全平方公式基础计算（10道题）1. 计算(a + 3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a=a，b = 3。
所以(a+3)^2=a^2+2× a×3 + 3^2=a^2 + 6a+9。
2. 计算(x 5)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=x，b = 5。
所以(x 5)^2=x^2-2× x×5+5^2=x^2-10x + 25。
3. 计算(2m+1)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 2m，b=1。
所以(2m + 1)^2=(2m)^2+2×2m×1+1^2=4m^2 + 4m+1。
4. 计算(3n 2)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 3n，b = 2。
所以(3n-2)^2=(3n)^2-2×3n×2+2^2 = 9n^2-12n + 4。
5. 计算(a + b)^2，其中a = 2x，b=3y解析：先将a = 2x，b = 3y代入完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，得到(2x+3y)^2=(2x)^2+2×2x×3y+(3y)^2=4x^2 + 12xy+9y^2。
6. 计算(m n)^2，其中m = 5a，n=2b解析：把m = 5a，n = 2b代入完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5a，b = 2b，所以(5a-2b)^2=(5a)^2-2×5a×2b+(2b)^2=25a^2-20ab + 4b^2。
7. 计算(4x+3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 4x，b = 3。
14.2.2第1课时完全平方公式 课件 2024-—2025学年人教版数学八年级上册
课堂训练
4.（2021•台湾）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ C ）
A．2482+248×52+522=3002 B．2482-248×48-482=2002 C．2482+2×248×52+522=3002 D．2482-2×248×48-482=2002
课堂训练
5.（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值 为 -7 ． 【解析】（2x+4y）2=4x2+16xy+16y2，∴-2（m-1）=16，解得m=-7.故
2
解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2
=-2x.
当x=
1 2
时，原式=-2×（
1 2
）=1．
课堂训练
8.利用乘法公式计算：982-101×99.
解：原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1 =-395.
课堂训练
9.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值． 解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy ∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式及其结构特征.（重点） 2.理解完全平方公式的探索及推导过程，灵活应用完全平方公 式进行计算和解决实际问题.（难点）
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
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榆中三中“自学议论引导”教学法导学稿
七年级班
学法指导自学议论归纳
学习过程
一、创设情境，独立自学
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
2.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ;
公式的结构特点：
3. 应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式.
4..观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
（m+3）2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9
（2+3x）2=(2+3x)(2+3x)=4+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2
二、群体议论，质疑解疑
1.再举两例验证你的发现.
2.你能用自己的语言叙述这一公式吗？
3.你能用图1-5解释这一公式吗？
三、相机引导，探索发现
活动内容：1. (a －b )2=？你是怎样做的？.
2.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？
3.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式.
结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；
右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.
四、达标测试，拓展拔高
例1： 用完全平方公式计算：
(1) (2x −3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn −a )2
五：巩固提高
（1）计算：
2)221(y x - ；2)512(x xy + ；(n +1)2－n 2 ；(4x +0.5)2 ；(2x 2－3y 2)2 （2）纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a −1)2＝2a 2−2a +1;
(2) (2a +1)2＝4a 2 +1；
(3) (-a −1)2＝-a 2−2a −1.
五、布置作业，复习巩固 习题习题1.11 1、2题
课后反思：
教研组 教研室
b
b a a
图1-5。