完全平方公式(1)
完全平方公式(1)
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于 它们的平方和,加上(减去)
它们的积的2倍
(2) (a-b)2等于什么？
小颖写出了如下的算式：
（a-b)2 =[a+(-b)] 2
a2 2 • a • b b2
a2 2ab b2
她是怎么想的？ 你能继续做下去吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
(3) (2ab-1) 2 =4a2 b2 -42ab+1
(4) (- a-b) 2 =-a²a+²-2aabb+b2
练习1：运用完全平方公式计算：
(1)( 1 x 2 y)2 (2)(2xy 1 x)2
2
5
(3)(-2x+5y)2； (4)(-2m-3n)2
列各式中哪些可运用完 全平方公式进行计算(C )
A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m-n)
2.下列各式中不能运用完全 二全项相平式同方与或公二两式项项式都进相互行乘为计，相算若反的两数是项，(完则 ) A用.完(3全a-1平)(方3a公-1式) ，B若.(一x+项y相)(-同y+、x)
练习2：运用完全平方公式计算：
(1)(2 3a2 )(2 3a2 )
(2) －(5+2x)2 (3) (x-2y)(2y-x) (4) (3a+2b)(-3a-2b)
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
完全平方公式(1)
2 (a-b)
完全平方公式的数学表达式：
2 (a+b) (a+b)22= =a a22 +2ab+b +b2 +2ab
2 2 2 2 2 2 (a b) = a 2ab+b (a-b) = a +b - 2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
p2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
完全平方公式
回顾 & 思考
平方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
公式的结构特征: 左边是 右边是 两数和与这两数差的积. 相同项的平方减去相反项的平方
２.计算下列各题:
1.(2 x 3)(2 x 3) = 4 x 2 9 2.(3x y)(3x y) = y 2 9 x2
2
2
2
2 (a+b) =
2 a 2 a
2 +2ab+b
公式特点：
2 (a-b) =
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿
《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。
2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。
掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。
（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。
（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。
能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。
3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。
4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。
直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。
并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。
最后通过变式训练进行练习和巩固。
二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。
本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。
对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。
为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。
三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。
数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。
本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。
15.2.2完全平方公式(1)(特色班) 教案
15.2.2 完全平方公式1【课题】：完全平方公式1【设计与执教者】：邝维煜纪念中学朱绍恩邮箱：zsezhu@【教学时间】：【学情分析】：（适用于特色班）学生已经掌握了同类项的定义、合并同类项法则的正确应用、多项式乘以多项式法则；学生已经能够整理出公式的右边形式。
这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。
【教学目标】：（一）教学知识点1．完全平方公式的推导及其应用．2．完全平方公式的几何解释．（二）能力训练要求1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．（三）情感与价值观要求在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．【教学重点】：完全平方公式的推导过程及应用．【教学难点】：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【教学突破点】：【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境，激发兴趣请同学们探究下列问题：（出示投影片）广药一队俱乐部为鼓励球员积极进攻，设立进球奖励，一场球赛中进一个球，俱乐部就奖励全队一万元，进两个球，俱乐部就给每个球奖两万元，进三个球，俱乐部就给每个球奖三万元，…（1）第一场广药一队进了a个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（2）第二场广药一队进了b个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（3）第三场广药一队上半场进了a个球，下半场进了b个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（4）球队第三场的进球数与前两场的进球数总和相同，请问球队第三场得到的奖金数与前两场他们得到的奖金总数相等吗？自主探究，积极抢答：（1）第一天俱乐部一共给了球队a2万元奖金．（2）第二天俱乐部一共给了球队b2万元奖金．（3）第三天俱乐部一共给了球队（a+b）2万元奖金．（4）球队第三天得到的奖金总数与前两天他们得到的奖金总数比较，应用减法．即：（a+b）2 —（a2+b2）万元我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．老师需及时表扬学生的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．从学生熟悉的实例引入，体现了数学知识源于生活，调动学生学习的积极性。
完全平方公式(1)
完全平方公式（1）一、教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理水平。
2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。
3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。
4、经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程,进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下基础。
二、教学重难点教学重点；完全平方公式的准确应用。
教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活使用公式实行计算。
三、教学和活动过程：1、整个教学过程叙述：教材“完全平方公式”内容共含两课时。
本节是其中的第一课时，需40分钟完成。
2、具体教学过程设计如下：〈一〉、提出问题[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗?(x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试：(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，〈二〉、分析问题1、[学生回答] 分组交流、讨论多项式的结构特点(2m+3n)2= (2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，(2m-3n)2= (2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，（1）原式的特点。
两数和的平方。
（2）结果的项数特点。
等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。
（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。
2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.4、完全平方公式的几何背景：用不同的形式表示图形的总面积并实行比较，你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2你能使用公式计算下列各式吗?(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。
新_1.6_完全平方公式(1)教案
1.6 完全平方公式（1）一、定向示标：1．经历探究完全平方公式的过程，掌握完全平方公式的结构特征。
2. 能运用完全平方公式进行简单的计算。
二、自学指导：1、用多项式乘法法则计算：（1）（m+3）（2）(2+3x)（3）（m-3）（4）(2-3x)2、观察以上算式及其运算结果，据你的发现猜想：（1） （2） . 3、用多项式乘法法则计算验证你的猜想：（1）(a+b) （2）(a-b)即：两数和的平方，等于它们的 和，加上它们乘积的 倍．两数差的平方，等于它们的 和，减去它们乘积的 倍．三、合作探究：1．指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）（2）（3）2．利用完全平方公式计算：（1）（2x-3） （2）（4x+5y）（3）（mn-a）(4) (-2x+1)2(5) (-1-2x)2（6）（n+1）-n四、当堂训练：利用完全平方公式计算：（1）（x-2y）（2）（2xy+x）(3) (-cd+)2(4)(-2t-1)2 五、探究总结：1．完全平方公式. （1） （2） .2.结构特点：(1)左边是二项式的平方，即两数和或差的 ；（2）右边是三项，即这两数的 和加上或减去它们乘积的 倍.3.语言描述：两数和或差的 ，等于这两数的 和加上或减去它们乘积的 倍.4. 利用完全平方公式时要注意：（1）准确确定a和b（2）对照公式的两边, 做到不丢项、不弄错符号（3）2ab不要少乘2。
六、达标检测：（题目另附）达标检测题利用完全平方公式计算：（1）（2x+5y）（2）（m-）(3) (x+y)2 (4) (7ab+2)2。
1.6_完全平方公式 (1)(2)
a，b怎样确定？
2 102
2 =(100+2)
2 2 =100 +2×100×2+2
=10000+400+4
=10404
2 197
2 =(200-3) 2 2 =200 -2×200×3+3
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算：
(1) (2)
2 96 2 203
例3计算:(2)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解:
2 (2)(x+5) -(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括 号。
例3 计算：(3)(a+b+3)(a+b-3)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2
归纳
(a±b)2=a2±2ab＋b2
完全平方公式的结构特征：
公式的左边是两数的和（或差）的平方， 右边是这两个数的平方和加上（减去）这两个数 的积的2倍。
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积在中央。 注意：公式中的字母 a，b 可以是单项式，多项式
； .
学一学
例3 计算：(1)
2 (x+3)
-
2 x
你能用几种方法进行计算?试一试。 解:方法一： 完全平方公式合并 同类项
2 2 (x+3) -x
2 2 =x ＋6x+9-x
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里辛一中初一数学导学案
初一数学课题:完全平方公式（1）备课时间:2020-08-20
课堂寄语:在做题过程中掌握知识点的衔接，巩固需要强化的知识，提高基础知识的熟练程度，就可以提高做题的效率；同时要注意题目的归类，解题过程中把握好某种题型的解题思路和技巧
学习目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算
3、了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观。
重难点重点：1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；
2、会用完全平方公式进行运算。
难点：会用完全平方公式进行运算
学习过程师生共享
(二次备课)
一个例子比十个定理有效一、【回顾与思考】
1、平方差公式：________________________
2、公式的结构特点：
左边是____________ _______________
右边是_________ ______________
3、利用平方差公式计算
（1）22×18 （2）（2x+1）（2x-1）
二、【自主学习探究新知】
探究一：找规律
（m+3）2=
（2+3x）2=
通过观察看看左边多项式中的项与右边结果中的项有什么关系？能否用字母来表示？
字母表示：
文字叙述：
探究二：完全平方公式的几何解释
一块边长为a米的正方形实验田，因需要
将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植
不同的新品种。
（如图）
用不同的形式表示实验田的总面积，
并进行比较你发现了什么？
例题2： 已知x+y=8,xy=12,求x 2+y 2的值
解题探究：①因为x+y=8，所以（x+y ）2的值是
②由完全平方公式可知（x+y ）2= ，由上述探究可得 = ，即x 2+y 2= ③由已知xy=12可得x 2+y 2= = 规律总结：完全平方公式的“四种恒等变形” 1、a 2+b 2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab
2、(a+b)2+(a-b)2=2a 2+2b 2 ,(a+b)2-(a-b)2=4ab
3、ab=2
1[(a+b)2-( a 2+b 2)]= 4
1[(a+b)2-(a-b)2]
4、
222
11
a (a ) 2.a a +
=+-
跟踪练习：
若的值。
求xy y x y x ,16)(,12)(22=+=-
四、【课堂达标】
１、下列各式中，能够成立的等式是（ ）． A 、2
2
2
(2)42x y x xy y -=-+ B 、22
211()24
a b a ab b -=
++ C 、222
()x y x y +=+ D 、2
2
()()a b b a -=-
2、 若是一个完全平方式，则m 的值是_________
A 、12
B 、﹣12
C 、±12
D 、±6
3、运用完全平方公式计算： (1)(21m －3
1
n)2 (2)
4.下列运算正确的是( ) A.(-2mn)2=4m 2n 2
B.y 2+y 2=2y 4
C.(a-b)2=a 2-b 2
D.m 2+m=m 3
5.(2xy+3)
2的值为( ) A.4xy+12xy+9 B.4x 2y 2
+12xy+9 C.4x 2y 2+6xy+9 D.4x 2y 2-6xy+9 6.(-x 2-y)2等于( )
A.-x 2-2xy+y 2
B.-x 4-2x 2y+y 2
C.x 4+2x 2y+y 2
D.x 4-2xy-y 2
7.图(1)是一个长为2a ，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )
A.2ab
B.(a+b)2
C.(a-b)2
D.a 2-b 2
8.(2014·包头中考)计算：(x+1)2-(x+2)(x-2)= . 9.计算：(1)(-x+3y)2. (2)(2x+3)(-2x-3).
10.若a 的值使得x 2+4x+a=(x+2)2-1成立，则a 的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2
11.已知a+b=5，ab=6，则(a-b)2
的值为( ) A.1 B.4 C.9 D.16 12.图中阴影部分面积等于( )
A.a 2+b 2
B.a 2-b 2
C.ab
D.2ab
13.已知实数a ，b 满足a+b=3，ab=2，则a 2+b 2= . 14.若x+2y=6，xy=4，则x 2+4y 2= . 【变式训练】若x+=5，求的值.
15.先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x=.。