初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。
完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。
从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。
例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。
可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。
这两者相等，可以通过数学推导证明。
完全平方公式在代数中的应用非常广泛。
例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。
例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。
可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。
完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。
我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。
首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。
通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。
完全平方公式也广泛应用于数学推导中。
例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。
这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。
完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。
例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。
假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。
完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。
例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。
我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
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THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
七年级下完全平方公式
完全平方公式讲义一．知识点拨1.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.此公式等号的左边是两项和或差的平方，等号右边是前一项的平方，加上或减去两项乘积的2倍，再加上后一项的平方，学习中，往往易出现（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2的错误，为了避免这种错误，记准记牢这个公式，可以将公式编成如下顺口溜：a平方，b平方，2倍ab夹中央，中间符号看前方。
2.公式的变形：①a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab例如，已知a+b=3、ab=-12求下式的值：a2+b2②（a+b）2-（a-b）2=4ab，（a+b）2+（a-b）2=2(a2+b2)例如：已知（a+b）2=7 （a-b）2=4，求ab，a2+b2的值3.二项式乘法公式：（x+a）(x+b)=x²+（a+b）x+ab例如：计算①（x+7）(x-9) ②（-2y-3）(-2y+6)二．完全平方公式的应用类型：1：直接运用公式(-x+3y)22.灵活变形运用公式已知：a+b=3，ab=-12,求a2+b2和(a-b)2的值。
3整体思想运用已知(a+b)2=7,(a-b)2=13,求a2+b2,ab的值4.非负性的运用已知：a 2+b 2+4a-2b+5=0,求a 、b 的值。
5．与几何有关的运用（科内交叉）已知：三角形a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，试判断三角形的形状6.与倒数有关的变形应用①已知： x+x 1=3,求x 2+21x的值。
②已知：x 2-5x+1=0,求x 2+21x的值。
7. 运用公式使计算简便，计算：22219991998.19991997199919992+-三．课堂训练1、判断，如有错误，请改正。
（1）（a-b ）2=a 2-b 2 （ ）（2）（-a-b ）2=（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （ ）（3）（a-b ）2=（b-a ）2=b 2-2ab+a 2 （ ）（4）（x+21）2=x 2+21x+41 ( ) 2、计算： (1)(51x+101y)2 (2)(-cd+21)23.选择（1）代数式2xy-x 2-y 2=( )A 、（x-y ）2B 、（-x-y ）2C 、（y-x ）2D 、-（x-y ）2（2）（2y x +）2-（2y x -）2等于 （ ） A 、xy B 、2xy C 、2xy D 、04、计算（1）（a-2b ）2（a+2b ）2 （2）（a-2b+c ）（a+2b+c ）（3） （x-6）(x+8) （4） (2x-5)(2x+7)5.解答。
完全平方公式的经典例题
完全平方公式的经典例题
完全平方公式是一种有着悠久历史的经典数学概念。
形式上，它是一个单变量多项式，可
以用来求解多项式中等式的根。
它可以被写成这样一个形式：ax2+bx+c=0。
这里，x是单
独变量，而a、b、c是三个定值。
完全平方公式的使用场景覆盖了几乎所有的学科，从初等数学到物理，甚至到最新的量子
物理学也都用它来解决一些问题。
在各种学科中，它都被用来解决一些多项式方程。
它也
可以用来求解广义上的椭圆方程。
简单实例：我们来分析一下这个问题： 2x2 + 7x - 5 = 0。
根据完全平方公式，我们可以得到：2x2+7x-5 = (2x+5)(x-1)=0。
因此，当 x= -5/2 或 x=1 时，方程有解。
从上述例子可以看出，完全平方公式可以被用来解决各类多项式方程，是十分有用的定理。
以前，它的应用一直都是限于求解多项式方程，但随着量子物理学的发展，它也可以被用
于许多其它的研究领域，如量子力学的模拟等。
完全平方公式是一种有着悠久历史的非常有用的数学概念，它可以用来解决多项式方程，
也可以用来解决一些特定类型的方程，如椭圆方程等。
它也被广泛用于各种学科，从数学
到物理，乃至于量子物理学也在利用它来解决一些问题。
当它被用于求解多项式方程、椭圆方程等等，它能为解决各种具体问题提供有力的帮助。
完全平方公式的几种用法
完全平方公式的几种用法
完全平方公式可以为我们提供许多极其实用的计算能力，而它的用法也是多种
多样的。
首先，完全平方公式可以帮助我们解决一元二次方程组的求解问题，这是完全
平方公式最常用的一种用法。
一元二次方程可以分解为两个完全平方式，再使用完全平方公式即可将其解决。
其次，完全平方公式可以用来计算几何图形的面积和体积，尤其是一些较为复
杂的几何图形。
它可以通过把此形状分解成几个独立的部分，然后再用完全平方公式计算出其面积和体积。
再者，完全平方公式也可以用来解决数学问题，例如它可以处理一些最大数值
问题，比如求得多个数中的最大或最小值，这当中也可以使用完全平方公式来解决。
最后，完全平方公式也可以实现数字预测，这是最近非常流行的一种数学算法，它通过收集历史数据并拟合出模型，然后使用完全平方公式对未来的变化趋势进行预测。
总的来说，完全平方公式拥有无限的可能，它可以被用于许多众多的数学算法中，从求解一元二次方程到预测数字，它每一种用法都可以帮助我们提高效率，提供有力的支持。
完全平方公式及各种典型问题ok课件
01
总结：完全平方公式的基本形式 和变形
02
通过简单的例题，让同学们熟悉 完全平方公式的各种形式，包括 基本的、变形的、和其他与完全 平方公式相关的内容。
提高练习题
总结：完全平方公式的应用和扩展
通过一些稍有难度的例题，让同学们 了解完全平方公式的应用和扩展，包 括与其他数学知识的结合、变形后的 应用等。
公式结构
这是一个基本的数学公式，用于计算一个数的平 方。公式中的“$a$”和“$b$”是变量， “$\pm$”表示正负两种情况。
公式的重要性
该公式是代数、几何等领域中广泛应用的工具， 可以帮助我们解决很多数学问题。
完全平方公式的性质
01
02
03
互逆性
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，这个 公式可以正向使用，也可 以逆向使用。
法需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用 ，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例 如，在解决几何问题时，完全平方公式可以 用于计算面积、周长等；在解决代数问题时 ，完全平方公式可以用于因式分解、化简等 。此外，完全平方公式还可以用于解决一些
因式分解
完全平方公式可以用于因式分解 ，将一个多项式分解为若干个因 式的乘积。
完全平方公式的实际应用案例
物理应用
在物理学中，完全平方公式可以用于 计算各种量，如速度、加速度等。
数学应用
在数学中，完全平方公式可以用于解 决各种问题，如代数方程、不等式等 。
05 完全平方公式的练习与巩固
完全平方公式的运用
完全平方公式的运用完全平方公式是指一个二次方程中，如果其形式为ax^2 + bx + c = 0，那么其解可表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
这个公式被广泛应用于解决与二次方程相关的问题。
下面将详细讨论完全平方公式的运用。
1.求解根最常见的运用完全平方公式是求解一个二次方程的根。
给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接将其参数代入公式，求出 x 的值。
需要注意的是，根的个数可以通过判别式来确定。
判别式 D = b^2 - 4ac 表示方程的解的性质，可以有以下三种情况：-当D>0时，方程有两个不同实数根。
-当D=0时，方程有两个相等的实数根。
-当D<0时，方程没有实数根，解为复数。
例如，对于方程3x^2+4x-2=0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据公式，我们可以得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)=(-4±√(4^2-4*3*(-2)))/(2*3)=(-4±√(16+24))/(6)=(-4±√(40))/6=(-4±2√10)/6所以，该方程的解为x=(-2±√10)/32.求解其中一边长根据矩形的面积公式A=a*b，我们可以得到二次方程a*b-A=0。
将其转化为解a的二次方程，则有a=(A/b)。
将此代入原方程，我们得到：b^2-A=0这是一个关于b的二次方程。
可以使用完全平方公式求解，得到b=±√A。
因为b作为一个长度，所以b的值应该是正数，因此b=√A。
这就解出了原问题，即给定矩形的面积，求解另一边长。
3.求解最值f(x)=a(x-h)^2+k其中h和k分别代表顶点的横坐标和纵坐标。
通过完全平方公式，我们可以得到：f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k= ax^2 - 2ahx + ah^2 + k通过比较系数，我们可以得到顶点的坐标为(h,k)=(-b/2a,f(-b/2a))。
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完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.
一、正用
根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22
(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22
[(2)3]m m =--222(2)6(2)9
m m m m =---+4322446129
m m m m m =-+-++43242129
m m m m =--++
思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用
将公式逆向使用，即由右向左套用.
例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )
222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3
分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222
()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019
b x =+20172020
c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2
c a -=∴222
a b c ab bc ac ++---2221(222222)2
a b c ab bc ac =
++---2222221(222)2
a a
b b b b
c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2
a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+
3
=应选D.
三、正逆联用
根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.
例3 (全国初中数学竞赛试题)已知
，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +
.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a
+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.
解 由已知，得
2()4()()
b c a b c a -=--222
24444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40
b b
c c ab ac a ∴++-++=22()4()40
b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得
b c +2a 2[()2]0
b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a
+=.22b c a a a
+∴== 四、特例应用
在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b
+=+反之，若，则一定有.
222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则
.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.
解 设，，
2017n a -=2019n b -= 则，
2
()4a b +=又已知224
a b +=∴222()a b a b
+=+于是0ab =
∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0
ab ==五、变形应用
由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:
222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab
+=+-=-+②22()()4a b a b ab
-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =
+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
例6 已知，，求的值.
4a b +=3ab =44a b - 分析 由于，所以利用上面两个变形公式求得
4422()()()a b a b a b a b -=++-和的值，就成为解答本题的关键，
22a b +a b -解 44a b -2222
()()a b a b =+-22()()()
a b a b a b =++-2[()2]()()
a b ab a b a b =+-+-2()a b -Q 2()4a b ab
=+-2443
=-⨯4
=2
a b ∴-=±当，，时，
4a b +=3ab =2a b -=44a b -2[()2]()()
a b ab a b a b =++-+-2[423]42
=-⨯⨯⨯80
=当，， 时，
4a b +=3ab =2a b -=-44a b -2[()2]()()
a b ab a b a b =++-+-2[423]4(2)
=-⨯⨯⨯-80=-。