完全平方公式1
《完全平方公式》1
(a+b)
(a+b)2
练习2：运用完全平方公式计算：
(2) 1012 (3) 992
14.2.2
完全平方公式
建阳第二中学 练裕民
判断正误
a b
a b
2
2
a b
2
2
2
a ba b
a ab ab b
2
a 2ab b
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
2 (a-b) =
a b
2 a ba b a ab ab b2 2
a 2ab b
2
2
2
a b
2
a 2ab b
2
初识公式
完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 文字叙述 两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和，加（或减） 它们的积的2倍.
公式结构特点： 1、左边是求两个数和（或差）的平方；
2
2+8b+1 b （ 6 ） b 4 ________ ________
x2-6x+9
2
6
作业
活页第85—86页
计算：
2 (a+b+c)
谢谢！！
（1）
98
2
（2）100.1
2
（1） 2 x 1
2
4x2 4x 1
2
（2）2 x 3 y
4x 12xy 9 y
2
2
（1） a b a b
因式分解完全平方公式
因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。
请注意，本文不包含真实姓名和引用。
1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。
在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。
2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。
考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。
我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。
我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。
4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。
在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。
本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。
通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。
希望本文能对您的学习和应用有所帮助。
完全平方公式
THANKS
谢谢您的观看
与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存 在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这 个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整 数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于 另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方 程和判断整式乘除运算结果的重要依据。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
（1）完全平方公式
（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。
完全平方公式
完全平⽅公式定义两数和的平⽅，等于它们的平⽅和加上它们的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平⽅，等于它们的和减去它们的积的2倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²该公式是进⾏与变形的重要的知识基础，是中常⽤到的公式。
该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项的理解等）。
学习⽅法完全平⽅公式的转换这两个公式的结构特征：1. 左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2. 左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.3. 公式中的字母可以表⽰具体的数（或），也可以表⽰或等数学式．公式⼝诀⾸平⽅，尾平⽅，⾸尾相乘放中间。
或⾸平⽅，尾平⽅，两数⼆倍在中央。
也可以是：⾸平⽅，尾平⽅，积的⼆倍放中央。
同号加、异号减，负号添在异号前。
（可以背下来）即（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。
解答：(1)原式=(2)原式=（⼆）、变项数：例2：计算：分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。
所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为，直接套⽤公式计算。
解答：原式=（三）、变结构例3：运⽤公式计算：(1)(2)(3)分析；本例中所给的均是⼆项式乘以⼆项式，表⾯看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中⼀个因式作适当变形就可以了。
完全平方公式(1)
完全平方公式（1）【学习目标】1、了解完全平方公式几何背景。
会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
【学习重点】会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
【学习过程】（教师寄语：热爱生命的人一定心中充满希望，飞舞在我们人生的舞台。
）一、课前预习：学习任务一：阅读教材第36—38页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：学习任务二：阅读课本36页---例题1以上的部分, 了解完全平方公式几何背景。
会推导完全平方公式1、思考：完全平方公式有几种推导的方法？把它们写在下面。
（1）写出完全平方公式字母表达式：（2）写出完全平方公式文字表达式：（3）分析公式左右两边的特点：左边：右边：（4）概括成口诀学习任务三：阅读课本36页例题1，完成下列问题。
1、分别指出例题1两式中的a，b。
2、总结使用完全平方公式进行计算应分几步？二、例题与训练例1.利用完全平方公式计算：(1)( 2x-3)2 (2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2 (4)2331⎪⎭⎫⎝⎛-yx当堂练习1：⑴2)6(+a⑵2)7(-x⑶2)418(y-⑷2)3(ba+例2.利用完全平方公式计算：(1) (-2x+3y)2 (2) (-2x-3y)2当堂练习2:⑴2)34(yx+-⑵2)(ba--⑶ 2)3243(y x - ⑷2533⎪⎭⎫ ⎝⎛-y xy(5)()222m m --三、拓展与探究：1.(a-b)2与(b-a)2 的关系(a-b)2=__________(b-a)2=__________ 所以(a-b)2_____ (b-a)22. (a+b)2与(-a-b)2的关系(a+b)2=__________ (-a-b)2=__________ 所以(a+b)2_____ (-a-b)2四、跟踪练习1.计算：(13x+3y)2=_____________2. 计算：26x x ++_____2(3)x =+3.填上适当的数，使等式成立：24x x -+ =(x - 2) 4.( )2=14y 2-y+15.如果a 2+ma+9是一个完全平方展开的形式,那么m=_________.6.22()()a b a b +--=________.7.下列运算中,错误的运算有( )①(2x+y)2=4x 2+y 2, ②(a-3b)2=a 2-9b 2 ,③(-x-y)2=x 2-2xy+y 2 ,④(x-12)2=x 2-2x+14,A.1个B.2个C.3个D.4个8.运用公式计算①2)32y x + ②2)631(-t③2)2(n m -- ④2)42(-mn⑤2353⎪⎭⎫⎝⎛-y xy ⑥221⎪⎭⎫⎝⎛+-cd。
完全平方公式1
= 3 (a+b)2(a-b)2
练习3: 把下列各式因式分解
1. x4-2x2y3+y6 解:原式 = (x2-y3)2
2. 3x3-12x2y+12xy2 解:原式 = 3x(x2-4xy+4y2)
= 3x(x-2y)2 3. 4ax2+20axy+25ay2 解:原式 = a(4x2+20xy+25y2)
5. a2b2+12ab+36 = (ab)2 +2 . ab. 6 +62 =(ab+6)2
例2 把下列各式分解因式
1. (x+y)2+10(x+y)+25 解:原式 = (x+y)2 +2.(x+y).5+52
= (x+y+5)2 2. 4(a+m)2-28(a+m)+49
解:原式 = [2(a+m)]2 -2.2(a+m).7 +72 = [2(a+m)-7]2
解:原式= (x-y+6)2 解:原式= (a-b-8)2
3. 4(x+y)2+12(x+y)+9
解:原式= [2(x+y)+3]2 =(2x+2y+3)2
4. (a+b)2-6(a+b)(a-b)+9(a-b)2 解:原式= [(a+b)-3(a-b)]2=(a+b-3a+3b)2 = (-2a+4b)2 =[-2(a-2b)]2 =4(a-2b)2
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⑶ (2+a)(a-2) ⑸ (-4k+3)(-4k-3) ⑺ (-x-1)(x+1)
⑷ (3a+2b)(3a-2b) ⑹ (1-x)(-x-1) ⑻ (x+3)(x-2)
＝１００２－３２ ＝9991 (2)原式＝（60－0.2)(60+0.2)
=602-0.22=3600-0.04
=3599.96
拓展应用
练习2: (a +b -c) (a-b-c)能用平方差 公式运算吗? 若能结果是哪两数的平方差?
解:原式＝[（a-c)+b][(a-c)-b] =(a-c)2-b2 =(a-c)(a-c)-b2 =a2-2ac+c2-b2
3.运用平方差公式计算:
(2)5678×5680-56792 (3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 解:(3)原式=(2-1)(2+1 )(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1) (22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
记好了:是符号相同数的平方减去符号相反数 的平方
2.学会运用平方差公式进行计算.
解:(1)√
(3)√ (5)√ (7)
(2)√
(4)√ (6)√ (8)×
例1 运用平方差公式计算: 1.(3x+5y)(3x-5y)
2.
解：（１）原式＝（3x）２＿(5y )２ ＝９x２＿２５y２
（２）原式＝(
• 例2 用平方差公式计算: • (1) 103×97
(2)59.8×60.2 解（１）原式＝（１００＋３）（１００－３）
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方
差.
讨论
你能根据下图中的面积说明 平方差公式吗？
a
b
b a
b
a-b
？a
b
aa+b b
S=(a+b) (a-b) =a2-b2
这个公式的特点： 左边是两数和与这两数差的积 右边是这两数的平方差
晃、黄澄澄的咒符『棕光锅妖米粒神谱』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝咝”的神声……陡然间女族长Ｗ．娅娜小姐狂速地让自己粗俗 的深黑色电闸似的鼻子怪舞出亮橙色的仙鹤声，只见她傻傻的土黄色篦子一样的怪辫中，变态地跳出三十串脸皮状的树怪，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的摇动，脸皮状 的树怪像钥匙一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又旋起弯曲的脖子，只见她强壮的身材中，轻飘地喷出三十簇船帮状的雪花，随着 女族长Ｗ．娅娜小姐的旋动，船帮状的雪花像背带一样念动咒语：“八腿 哦 ，狐妖 哦 ，八腿狐妖 哦 ……『棕光锅妖米粒神谱』！！！！” 只见女族长Ｗ．娅娜小姐的身影射出一片亮橙色妖影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡蓝色光豹，似金辉一样直奔亮橙色奇影而来。，朝着蘑菇王子晶 莹洁白的牙齿猛滚过来。紧跟着女族长Ｗ．娅娜小姐也乱耍着咒符像气桶般的怪 影一样向蘑菇王 子猛滚过来蘑菇王子悠然像浅绿色的悬皮遗址鱼一样猛叫了一声，突 然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生出了七十只很像地灯一样的演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲招式！紧接着颤动淡红色的古树般的嘴唇一喊，露出一副迷人的神色，接着摇动充满活力的幼狮 肩膀，像水绿色的亿背孤山虫般的一颤，远古的犹如仙猿般的手臂突然伸长了六十倍，神奇的、像美丽小漩涡一样的星光肚脐也立刻膨胀了七十倍……最后颤起犹如 仙猿般的手臂一喊，变态地从里面抖出一道金辉，他抓住金辉迷人地一扭，一件亮晶晶、凉飕飕的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边蠕动 ，一边发出“啾啾”的幽响……。陡然间蘑菇王子狂速地让自己年轻强健的长腿奇闪出鹅黄色的冰块声，只见他犹如仙猿般的手臂中，萧洒地涌出四十片甩舞着∈七 光海天镜←的下巴状的油饼，随着蘑菇王子的晃动，下巴状的油饼像瓜秧一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着蘑菇王子又转起修长灵巧的手指，只见他闪 闪发光的亮蓝色迷彩蘑菇帽中，快速窜出三十道扭舞着∈七光海天镜←的枷锁状的风车，随着蘑菇王子的转动，枷锁状的风车像卵石一样念动咒语：“森林哎 嗒 ，小子哎 嗒，森林小子哎 嗒……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射出一片鹅黄色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫 的青兰花色光鹰，似流光一样直奔鹅黄色神光而去……，朝
练习5: 如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y2
6.如果A=1234567892, B=123456788×123456790, 试比较A与B的大小.
7. 若m,n为有理数,式子
的值与n有关吗?试说明理由
小结: 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积等于这两数的 平方差.
知识复习:
1.多项式与多项式相乘的法则? 2.计算下列各题:
(1) (a+b) (a-b )=?
(2) (a+2)(a-2)=?
(3) (3-x)(3+x)=?
(4) (2m+n)(2m-n)=?
比较等号两边的代数式,它们各 有什么特点?两者有什么联系?
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2