高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象成长训练新人教A版必修4
§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(难点)．知识点正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x 图象图象画法“五点法”“五点法”关键五点(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展．( )(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．( )(3)函数y＝cos x的图象关于(0,0)对称．( )提示(1)×，正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间．(2)×，二者图象不同，而是关于x轴对称．(3)×，函数y＝cos x的图象关于y轴对称．题型一“五点法”作图的应用【例1】利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．解(1)取值列表：X0π2π3π22πsin x010－101－sin x10121(2)描点连线，如图所示：规律方法用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表：x0π2π3π22πsin x(或cos x)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，y2，(π，y3)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，y4，(2π，y5)，这里的y i(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．【训练1】利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．解(1)取值列表如下：x0π2π3π22πcos x10－101－1－cos x－2－10－1－2(2)描点连线，如图所示．题型二利用正弦、余弦函数图象解不等式【例2】利用正弦曲线，求满足12<sin x≤32的x的集合．解首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3． 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3，或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立．所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π，⎭⎪⎬⎪⎫或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ．规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集．【训练2】 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎨⎧cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎨⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π，5.互动探究题型三 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题【探究1】 当x ∈[0,4π]时，解不等式sin x ≥0．解 由函数y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的图象可知，不等式sin x ≥0的解集为[0，π]∪[2π，3π]．【探究2】 作出函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,4π]的图象．解 易知f (x )＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]∪[2π，3π]，－sin x ，x ∈π，2π∪3π，4π，则f (x )的图象如图所示：【探究3】 求方程sin x ＋2|sin x |－|log 2x |＝0解的个数．解 在同一坐标系内作出f (x )＝sin x ＋2|sin x |和g (x )＝|log 2x |的图象如图所示，易知f (x )与g (x )的图象有四个交点，故所给方程有四个根．规律方法 判断方程解的个数的关注点(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定．【训练3】 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． 解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．答案 2课堂达标1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析 函数y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D ． 答案 D2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．答案 B3．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为________．解析 由函数y ＝cos x 的图象可知，不等式cos x <0[0,2π]的解集为(π2，3π2)．答案 (π2，3π2)4．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．解析 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12(图略)，知两函数图象有两个交点．答案 两5．利用“五点法”作出下列函数的图象：(1)y ＝2－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)． 解 利用“五点法”作图 (1)列表：sin x010－102－sin x21232描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．(2)列表：X0π2π3π22π－2cos x－2020－2－2cos x＋313531描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：课堂小结1．对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．2．作函数y ＝a sin x ＋b 的图象的步骤基础过关1．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析 由“五点法”可知选A ． 答案 A2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根． 答案 A3．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适． 答案 D4．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析 ∵sin x ∈[－1,1]，∴－1≤2m ＋1≤1，故－1≤m ≤0． 答案 [－1,0]5．不等式sin x <－12，x ∈[0,2π]的解集为________．解析 如图所示，不等式sin x <－12的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，11π6．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，11π66．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[－π3，5π3]．解 (1)列表：x 0 π2 π 32π 2π2sin x0 20 －2描点、连线、绘图，如图所示．(2)①列表：x ＋π30 π2 π 32π 2πx－π3 π623π 76π 53π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π30 1 0 －1 0②描点连线如图．7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}． 能力提升8．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|t an x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C ．答案 C9．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析 作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π． 答案 D10．函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是________________．解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象，由图象易得：－32<x <0或π6＋2k π<x <56π＋2k π，k ∈N ． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－32<x <0或π6＋2k π<x <56π＋2k π，k ∈N11．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________.解析 由⎩⎨⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4，得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2．∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，412．用“五点法”作出函数y ＝1－13cos x 的简图．解 (1)列表x 0 π2 π 3π2 2πcos x 1 0－1 01 1－13cos x231 43123(2)描点，连线可得函数在[0,2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y ＝1－13cos x 的图象，如图所示．13．(选做题)若方程sin x ＝1－a 2在x ∈[π3，π]上有两个实数根，求a 的取值范围．解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象，y ＝1－a 2的图象，由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个实根．。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)习题课
(2)若函数
f(x)是以π2
为周期的偶函数，且
π f( 3
)＝1，求
f(－167π
)
的值． 【思路分析】 将－176π利用周期性转化为π3 ，进而求值．
π 【解析】 ∵f(x)的周期为 2 ，且为偶函数，
【解析】 (1)∵x∈R，f(x)＝sin(34x＋3π2 )＝－cos34x，∴f(－ x)＝－cos3（－4 x）＝－cos34x＝f(x)．
∴函数 f(x)＝sin(34x＋3π2 )为偶函数． (2)f(x)＝（1－c1o＋s2sxi）nx＋sinx＝sin12＋x＋sinsixnx＝sinx，但函数应满 足 1＋sinx≠0，
思考题 3 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sinx－x tanx； (2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)； (3)f(x)＝1c－oss2inxx； (4)f(x)＝ 1－cosx＋ cosx－1. 【答案】 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是 奇函数又是偶函数
(1)①要判断奇偶性的函数是三角函数型的复合函数． ②sin(34x＋3π 2 )＝－cos34x.
(2)①所判断的函数是以公式形式给出的； ②f(x)的定义域可求，即 sinx＋1≠0. 解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简 f(x)，再利用 f(－x) 与 f(x)的关系加以判断． 解答本题中的(2)可先分析 f(x)的定义域，然后再利用定义加 以分析．
∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠2kπ＋32π，k∈Z}． ∵函数的定义域不关于原点对称， ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． 探究 3 (2)中易忽视 f(x)的定义域而进行非等价变形，得 f(x) ＝sinx（1＋1＋sinsxinx）＝sinx，从而导致结果错误． 判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再 看 f(－x)与 f(x)的关系．
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
高中数学 第一章 三角函数 1_4 三角函数的图象与性质 1_4.1 正弦函数余弦函数图像领学案(无答案)
问题3、依据函数 （ ）的图象，如何作出 （ ）的图象？在下图中画出 （
【探究点二】问题4、由诱导公sin( )=
问题5、如何利用函数 与函数 的关系去作出 （ ）的图象？在下图中画出y=cosx（ ）的图象
问题6：在正弦函数、余弦函数x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的是哪五个点？
【学１】阅读教材31页，认真理解以下画正弦函数y=sinx x[0,2]图像的步骤：
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点 ，以 为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
学习
目标
掌握用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，继而学会用诱导公式平移正弦曲线获得余弦函数图象。通过Βιβλιοθήκη 析掌握五点法画正（余）弦函数图象。
学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】作函数图像最基本的方法.
【知识转接】画出各象限终边角的正弦线.
【预学能掌握的内容】在正弦函数、余弦函数x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的是哪五个点？
第二步：在单位圆中画出对应于角 ， ， ,…，2π的正弦线（等价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”:描以下12个点
、 、 、 ……）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．（等价于“连线”）
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：_____________________________;
1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数：y sin x
xR
正弦曲线
y
1
-1
x
余弦函数：y cos x
(2 ,1)
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法
•
例1
用“五点法”作出下列函数的简图． y＝sinx+1，x∈[0，2π]．
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0
2π
0 1
y=1+sinx，x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象， 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围． 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y＝sinx 和 y＝ 2 的图象，如图所示： 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0，2π]内， 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤： （1）列表（2）描点（3）连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
1P 1
/ p1
o1
6
M1
-1A
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
解析：设 f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图象，
如图所示．
由图知 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点，则方程 x＋sin x＝0 仅有一个根． 答案：B
3．已知 cos x≥12且 x∈[0,2π]，求 x 的取值范围． 解析：函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示，
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
考纲定位
重难突破
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的 重点：1.利用“五点法”画
方法．
正、余弦函数的图象．
2.掌握、余函数图象之间
步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、
的区别与联系．
余弦曲线．
[双基自测] 1．正弦曲线在(0,2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________． 解析：由正弦曲线知，正弦曲线在(0,2π]内最高点为π2，1，最低点为32π，－1. 答案：π2，1 32π，－1
2．用五点作图法作 y＝1－cos x，x∈(0,2π]的图象时，其中第二个关键点的坐标 为________． 解析：由五点作图法的规则知第二个关键点坐标为π2，1. 答案：π2，1
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.1正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件新
2．函数
y＝sin2
0211π－2
010x是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin2
0211π－2
010x＝sinπ2－2
010x＋1
005π
＝－sinπ2－2
010x＝－cos2
010x，
所以为偶函数．
答案：B
第二十三页，共24页。
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
第三页，共24页。
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
第四页，共24页。
[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解，应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T； ②对于定义域内的每一个值，都有 x＋T 属于这个定义域； ③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
第十一页，共24页。
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）课堂导学三点剖析1.周期的概念及求函数的周期【例1】求下列函数的周期：（1）y=sin2x;(2)y=3cos x 21;(3)y=2sin(2x-3π). 思路分析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解：（1）由于f （x+π）=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为π.(2)由于f(x+4π)=3cos ［12(x+4π)］=3cos(x 21+2π)=3cos x 21=f(x),所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.(3)由于f(x+π)=2sin ［2(x+π)-3π］=2sin ［2x+2π-3π］=2sin(2x-3π)=f(x)，由周期函数的定义知，原函数的周期为π.温馨提示由上例可以看到函数的周期仅与x 的系数有关.一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0,ω＞0）的周期T=2πω，若y=f(x)的周期为T ，则y=f(ωx)的周期为||ωT.2.周期函数概念的理解【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.(1)y=lgx;(2)y=sinx.思路分析：判断一个函数是否是周期函数，须根据定义，看是否存在一个常数T ，使得f(x+T)=f(x).解：（1）取定义域内一个值x 0=1.由于f(x 0+T)=lg(x 0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0的常数)，于是f(x)=lgx 不是周期函数.(2)∵对定义域内任一x ，有sin(x+2k π)=sinx,(k∈Z ,k≠0),∴y=sinx 是周期函数，周期为2k π(k∈Z ,k≠0).温馨提示判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T （T≠0），使得对定义域内的任一x ，有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数，只要在定义域内找一个特殊值x 0，验证f （x 0+T ）≠f(x 0).就可以说明f(x)不是周期函数.3.周期函数的定义【例3】①存在T=2π使sin(4π+2π)=sin 4π成立，所以2π是y=sinx 的一个周期. ②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立，所以2T 是f(x)的周期.(T≠0) ③周期函数不一定有最小正周期.④周期函数的周期不止一个.以上命题是真命题的是.答案：②③④温馨提示理解周期函数的概念要注意以下三点：(1)存在一个常数T≠0;(2)对其定义域内的每一个x 值，x+T 属于定义域;(3)当x 取定义域内每个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期. (1)y=3sin(2x+6π); (2)y=2cos(π2x-3π). 解：(1)T=22π=π. (2)T=ππ22=π2. 变式提升1求y=|sinx|的周期.解：将y=sinx 的图象中y≥0的部分保持不变，将y ＜0部分的图象翻折到x 轴的上方，即得y=|sinx|的图象，(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为π.温馨提示由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)|（A 、ω、φ是常数，ω＞0）的周期为y=Asin(ωx+φ)（A 、ω、φ为常数，ω＞0）的周期的一半.类题演练2下列四个函数为周期函数的是（ ）A.y=3B.y=3x 0C.y=sin|x| x∈RD.y=sin1x x∈R 且x≠0答案：A变式提升2已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.解：∵f(x+4)=f ［2+(x+2)］=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x).∴f(x)是周期函数，且周期是4.类题演练3函数y=f(x)，x∈［-2,2］图象如下图所示,f(x)是周期函数吗？解析：在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.答案：不是变式提升3函数y=a sinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数？若是，它的最小正周期又是什么呢？解析：∵y=a sin(x+2kπ)=a sinx,即存在常数T=2kπ(k∈Z),使得f(x+T)=f(x),∴y=a sinx是周期函数，且最小正周期为2π.因此，它的图象应是每隔2π个单位长度是相同的.。
(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本 例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）课堂导学三点剖析1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值 【例1】求下列函数的单调区间： （1）y=sin(x-3π); (2)y=cos2x. 思路分析：本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(x∈R )和y=cosx(x∈R )的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.解：（1）令u=x-3π,函数y=sinu 的递增、递减区间分别为［2k π-2π,2k π+2π］，k∈Z，［2k π+2π,2k π+π23］，k∈Z .∴y=sin(x -3π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k π-2π≤x -3π≤2k π+2π,k∈Z ,2k π+2π≤x -3π≤2k π+23π,k∈Z ,得2k π-6π≤x≤2k π+π65,k∈Z ,2k π+65π≤x≤2k π+116π,k∈Z .∴函数y=sin(x-3π)的递增区间、递减区间分别是［2k π-6π，2k π+π65］,k∈Z ,［2k π+65π，2k π+116π］,k∈Z .(2)函数y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2k π-π≤2x≤2k π(k∈Z ),2k π≤2x≤2k π+π,k∈Z . ∴k π-2π≤x≤k π,k∈Z ,k π≤x≤k π+2π,k∈Z. ∴函数y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为［k π-2π,k π］,k∈Z,［k π,k π+2π］,k∈Z . 【例2】求函数y=3-2sin(x+6π)的最大、最小值及相应的x 值.思路分析：使函数y=3-2sin(x+6π)取得最大、最小值的x 就是使得函数y=sin(x+6π)取得最小、最大值的x.解：当sin(x+6π)=1 即x+6π=2k π+2π,x=2k π+3π时，y 取最小值，y 的最小值为3-2=1.当sin(x+6π)=-1即x+6π=2k π-2π,x=2k π-23π时,y 取最大值，y 的最大值为3+2=5.温馨提示求形如y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B 的单调区间或最值时，我们用整体换元思想.A 、ω＞0时，则ωx+φ直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x 的集合，解得x 的范围即可. 2.判断函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|sinx|+cosx; (2)f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+;(3)y=1sin -x ;(4)y=1cos cos 1-+-x x .思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)与f(x)的关系. 解：（1）函数的定义域为R , f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x) =|-sinx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x). ∴函数为偶函数.(2)由1+sinx+cosx≠0得 x≠π+2k π,且x≠π23+2k π,k∈Z . ∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+为非奇非偶函数.(3)∵sinx -1≥0, ∴sinx=1,x=2k π+2π(k∈Z ). 函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数. (4)∵1-cosx≥0且cosx≥1，∴cosx=1,x =2k π(k∈Z ).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数. 温馨提示判断函数的奇偶性，要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系，如f(x)=f(-x)且f(x)≠-f(x),则该函数为只偶非奇函数；如：f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则该函数为既奇又偶函数； 如f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，则该函数为非奇非偶函数.3.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型函数中，A 、ω的正负对求单调区间及最值的影响 【例4】求函数的单调区间：y=2sin(4π-x). 思路分析：令4π-x=u,则u=4π-x 在x∈R 上是减函数，由复合函数同增异减原则，要求原函数的递增区间，4π-x 必须套sinu 的减区间.解：y=2sin(4π-x)化为y=-2sin(x-4π).∵y=sinu(u∈R )的递增、递减区间分别为［2k π-2π,2k π+2π］,k∈Z . ［2k π+2π,2k π+23π］,k∈Z .∴函数y=-2sin(x-4π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π,k∈Z .2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π,k∈Z.得2k π+43π≤x≤2k π+47π,k∈Z .2k π-4π≤x≤2k π+43π,k∈Z .∴函数y=sin(4π-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为［2k π+43π,2k π+47π］,k∈Z .［2k π-4π,2k π+43π］,k∈Z .各个击破类题演练1 求函数y=3sin(2x+4π)的单调递增区间. 解：令2x+4π=u ,则 y=3sinu 的单调增区间为［2k π-2π,2k π+2π］,k∈Z , 即2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2π,∴k π-π83≤x≤k π+8π. ∴y=3sin(2x+4π)的单调递增区间是［k π-83π,k π+8π］,k∈Z .变式提升1比较下列各组数的大小. （1）sin16°与sin154°； （2）cos3,cos43π,sin4,cos 65π. 解：(1)因为sin154°=sin(180°-26°)=sin26°.函数y=sinx 在［0,2π］为增函数，而26°＞16°.所以sin26°＞sin16°,即sin154°＞sin16°. (2)因为sin4=cos(2π-4)=cos(4-2π)，函数y=cosx 在［0，π］为减函数，而 43π＜4-2π＜65π＜3＜π. 所以cos 43π＞cos(4-2π)＞cos 65π＞cos3.即cos 43π＞sin4＞cos 65π＞cos3.类题演练2函数f(x)=3sin(π5x+3π)的最大值为____________,相应的x 取值集合为____________. 解析：最大值为3，此时π5x+3π=2k π+2π,k∈Z ,∴x=10k+65,k∈Z .答案：3 {x|x=10k+65,k∈Z }变式提升2求下列函数的最大值与最小值及相应的x. (1)y=acosx+b;(2)y=cos 2x+sinx-2.解：(1)①若a ＞0，当cosx=1,即x=2k π时，y 取最大值,y 的最大值为a+b ； 当cosx=-1，即x=2k π+π时，y 取最小值，y 的最小值为b-a.②若a ＜0，当cosx=1即x=2k π时，y 取最小值，y 的最小值为a+b ； 当cosx=-1即x=2k π+π时，y 取最大值，y 的最大值为b-a. 总上知y 的最大值为|a|+b ，最小值为-|a|+b. (2)y=1-sin 2x+sinx-2=-sin 2x+sinx-1=-(sinx-21)2-43, 当sinx=12,即x=2k π+6π或x=2k π+π65(k∈Z )时，y 取得最大值，y 的最大值为-43;当sinx=-1即x=2k π-2π时，y 取得最小值,y 的最小值为-3. 类题演练3判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=cos(2π-x)-x 3sinx;(3)f(x)=xxx sin 1cos sin 12+-+.解：(1)函数的定义域R 关于原点对称. f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数.(2)函数f(x)的定义域R 关于原点对称,又f(x)=cosx-x 3sinx∴f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cosx-x 3sinx=f(x). ∴f(x)为偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0, ∴函数的定义域为{x∈R |x≠2k π+23π,k∈Z }, ∴函数的定义域关于原点不对称, ∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 变式提升3(1)已知f(x)=ax+bsin 3x+1(a 、b 为常数)，且f(5)=7，求f(-5). (2)如果函数y 1=a-bcosx(b ＞0)的最大值是32，最小值是21-，那么函数y 2=-4asin3bx 的最大值是（ ）A.-2B.2C.32 D.-32 解：（1）因为f(-x)-1=a(-x)+bsin 3(-x)=-(ax+bsin 3x)=-［f(x)-1］,所以f(-5)=-6.（2）由题意a+b=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,21,23b a b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==,1,21b a∴y 2=-2sin3x.∴y 2的最大值为2. 答案：（1）-6 （2）B 类题演练4 函数y=2sin(6π-2x)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（ ）A.［0，3π］ B.［12π，127π］C.［3π，65π］ D.［65π，π］解：2sin(6π-2x)=-2sin(2x-6π),当2k π+2π≤2x -6π≤2k π+π23,即k π+3π≤x≤k π+65π(k∈Z ),当k=0时得在［0，π］上的单调增区间为［3π，65π］.答案：C变式提升4求函数y=cos(6π-x 21)的单调递增区间. 解：∵y=cos(6π-2x)=cos(2x-6π),令2x-6π=u ,则y=cosu 的单调递增区间为 ［2k π-π,2k π］,k∈Z ,即2k π-π≤2x -6π≤2k π,k∈Z , ∴k π-π125≤x≤k π+12π,k∈Z ,∴函数y=cos(6π-x 21)的单调递增区间为［k π-π125,k π+12π］,k∈Z .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
主动成长
夯基达标
1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图象是( )
图1-4-8
解析:y=sinx y=-sinx y=1-sinx.
答案:B
2.函数y=-cosx的图象与余弦函数的图象( )
A.只关于x轴对称
B.只关于原点对称
C.关于原点、x轴对称
D.关于原点、坐标轴对称
解析:关于x轴对称.
答案:A
3.对于函数f(x)=下列四个命题中,错误的个数为( )
①该函数的值域为［-1,1］②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,该函数取得最大值1 ③该函数是以π为最小正周期的周期函数④当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+(k∈Z)时,f(x)
＜0
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:画出f(x)的图象如图.黑体为函数图象.
①值域为［-,1］;②当x=2kπ+或x=2kπ时,取得最大值;③最小正周期为2π;④正确.
答案:C
4.使sinx＜cosx成立的一个区间是( )
A.［-,］
B.［-,］
C.［-,］
D.［0,π］
解析:在同一坐标系中画出y=sinx与y=cosx的图象便得.
答案:A
5.方程2|x|=cosx的实根有( )
A.无数个
B.3个
C.2个
D.1个
解析:在同一坐标系中画出y=2|x|与y=cosx的图象,如图,交点为(0,1).
答案:D
6.根据正弦函数的图象解不等式sin2x≥(x∈［0,π］).
解:作出正弦函数的图象.
由图象易知x∈［］.
7.作出函数y=|sinx|的图象,你能由函数y=sinx的图象,通过变换方法得到函数y=|sinx|的图象吗?
解:y=|sinx|=
比较函数y=|sinx|的图象与函数y=sinx的图象可知,当2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z时,两个函数图象重合;当2kπ+π＜x＜2kπ+2π,k∈Z时,两个函数图象关于x轴对称.
所以,保留函数y=sinx在x轴上方及与x轴的交点的图象,将其在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,就可以得到函数y=|sinx|的图象.
8.用五点法作出函数y=2sin(2x+)的图象.
解:(1)列表:列表时2x+取值 0,,π,,2π,再求出相应的x值和y值.。