09年高考数学函数的简单性质复习

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.2 函数的简单性质
重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．
考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并
了解映射的概念；
②会运用函数图像理解和研究函数的性质．
经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是
① f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ）
A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②④
当堂练习：
1．已知函数f (x )=2x 2
-mx +3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f (1)等于 （ ）
A ．-3
B ．13
C ．7
D ．含有m 的变量 2
．函数()f x =
）
A ． 非奇非偶函数
B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数
C ． 偶函数
D ． 奇函数 3．已知函数(1)()11f x x x =++-
, (2)()f x =
2
()33f x x x =+
(4)0()()1()
R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨
⎩,其中是偶函数的有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．奇函数y =f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为 （
）
5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是
a ,则集合B 中元素的个数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．函数2
()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ． 7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2
(1)f x x ++与()34
f 的大小关系是 ．
8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x 1<0,x 2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．
9．如果函数y =f (x +1)是偶函数，那么函数y =f (x )的图象关于_________对称． 10．点(x,y)在映射f
作用下的对应点是(,
)2
2
y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点
A 坐标是 ．
13. 已知函数2
1
22()x x f x x
++
=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．
14．已知函数2
211()a f x a
a x
+=
-
，常数0>a 。

（1）设0m n ⋅>，证明：函数()f x 在[]m n ，
上单调递增； （2）设0m n <<且()f x 的定义域和值域都是[]m n ，
，求n m -的最大值．
13.(1)设f(x)的定义域为R 的函数,求证: 1()[()()]2
F x f x f x =+-是偶函数；
1()[()()]2
G x f x f x =
--是奇函数.
(2)利用上述结论，你能把函数3
2
()323f x x x x =+-+表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．
14. 在集合R 上的映射:2
1:1f x z x →=-,2
2:4(1)1f z y z →=--. (1)试求映射:f x y →的解析式; (2)分别求函数f 1(x)和f 2(z)的单调区间; (3) 求函数f(x)的单调区间.
§2.1.2 函数的简单性质
经典例题：
解析：本题可采用三种解法.
方法一：直接根据奇、偶函数的定义．
由f （x ）是奇函数得f （－a ）=－f （a ），f （－b ）=－f （b ），g （a ）=f （a ），g （b ）=f （b ），
g （－a ）=g （a ），g （－b ）=g （b ）．
∴以上四个不等式分别可简化为①f （b ）＞0；②f （b ）＜0；③f （a ）＞0；④f （a ）＜0.
又∵f （x ）是奇函数又是增函数，且a ＞b ＞0，故f （a ）＞f （b ）＞f （0）=0，从而以上不等式中①、③成立.故选C.
方法二：结合函数图象．
由下图，分析得f （a ）=g （a ）=g （－a ）=－f （－a ），f （b ）=g （b ）=g （－b ）=－f （－b ）．
从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C ．
方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f （x ）=x ，g （x ）=|x |，取特殊值a 、b .如a =2，
b =1.可验证正确的是①与③，故选C ．
答案：C 当堂练习：
1.
B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. 2(0)
()2(01)52(1)
t t g t t t t t t <=+≤≤->⎧⎪⎨⎪⎩
;7. 2
3(1)()4f x x f ++≤;
8. 1()f x >2()f x 3,1);
11. 解: (1)函数1()22f x x x
=+
+，设121x x ≤<时，12()()f x f x - 121
2
11()(
)22x x x x =-+-
1212
1()(1)02x x x x =--
<，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增；
(2)从而当x=1时，
)(x f 有最小值
72
．
12. 解:（1）任取1x ，],[2n m x ∈，且12x x <，12122
12
1()()x x f x f x a
x x --=⋅， 因为12x x <，
1x ，],[2n m x ∈，所以120x x >，即12()()f x f x <，故)(x f 在],[n m 上单调递增．
（2）因为)(x f 在],[n m 上单调递增，)(x f 的定义域、值域都是⇔],[n m (),()f m m f n n ==，
即n m ,是方程2211a a a x x +=-的两个不等的正根01)2(2
22=++-⇔x a a x a 有两个不等的正根．
所以04)2(222>-+=∆a a a ，2
2
20a a a
+>⇒
12
a > ∴),(,)(33442
1316232121
∞+∈+--=
-+=-a a a m n a a
，
∴2
3=
a 时，m n -取最大值
3
34．
13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得()()()f x F x G x =+=2
3
(23)(3)x x x ++-．
14. 解: (1)2
2
()4(2)1f x x =--； (2)当(,0]x ∈-∞时， f 1(x)单调递减， 当[0,)x ∈+∞时， f 1(x)单调递增； 当(,1]z ∈-∞时， f 2(z) 单调递减， 当[1,)z ∈+∞时， f 1(x)单调递增．
(3) 当(,x ∈-∞和x ∈时， f(x)分别单调递减；
当)x ∈+∞和[0]x ∈分别单调递增．。