辽宁省朝阳市建平中学2015届高三下学期月考数学试卷

辽宁省朝阳市建平中学2015届高三下学期月考数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）θ是第二象限角，则是第象限角．2．（4分）复数z满足|z﹣1|=|z﹣i|，则此复数z所对应的点的轨迹方程是．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}，若（∁U A）∩B={x|0≤x≤3}，则实数m的值为．4．（4分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．5．（4分）已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．6．（4分）定义在R上的奇函数f（x），f（﹣1）=2，且当x≥0时，f（x）=2x+（a+2）x+b（a，b为常数），则f（﹣10）的值为．7．（4分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3﹣a72+a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b1•b2…b13等于．8．（4分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣5，则（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中x4项的系数是数列{a n}中的第项．9．（4分）已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O，极轴与x轴的非负半轴重合．若直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数，且θ∈R，则直线l与曲线C的交点的直角坐标为．10．（4分）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种．11．（4分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为．12．（4分）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为．13．（4分）设x，y为实数，且满足：（x﹣2014）3+2013（x﹣2014）=﹣2013，（y﹣2014）3+2013（y﹣2014）=2013，则x+y=．14．（4分）在区间[0，π]上，关于α的方程5sinα+4=|5cosα+2|解的个数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z的虚部为（）A．2B．0C．﹣2 D．﹣2i16．（5分）“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|+b（a，b∈R）在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）如果函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值分别为M、m，那么m（b﹣a）≤△f（x）≤M（b﹣a）．根据这一结论求出△2的取值范围（）A．[0，3]B．[，3]C．[，]D．[，3]18．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]三、解答题（满分74分）19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一点，AB=2，AD=，AA1=3，CP=3，PD=1．（1）求异面直线A1P与BC1所成的角；（2）求证：PB⊥平面BCC1B1．20．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=a n+n﹣4，b n=（﹣1）n（a n﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．（1）对任意实数λ，求证：a1，a2，a3不成等比数列；（2）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．21．（14分）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．22．（16分）阅读：已知a、b∈（0，+∞），a+b=1，求y=+的最小值．解法如下：y=+=（+）（a+b）=++3≥3+2，当且仅当=，即a=﹣1，b=2﹣时取到等号，则y=+的最小值为3+2．应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=++的最小值；（2）已知x∈（0，），求函数y=+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，…，a n，a1+a2+a3+…+a n=1，求证：S=+++…+≥．23．（18分）已知函数f（x）=ax2++5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（﹣1）=14．（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；（2）若f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{a n}，使得=q+q+q+…+q+…成立．辽宁省朝阳市建平中学2015届高三下学期月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）θ是第二象限角，则是第一或三象限角．考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：由θ的范围判断θ的一半的范围，先写出角的范围，再除以2，求出角的一半的范围，看出角的范围．解答：解：∵θ是第二象限角，∴θ∈（2kπ+，2kπ+π）∴∈（kπ+，kπ+）∴是第一或三象限角，故答案为：一或三．点评：本题考查了角的范围，考查象限角，本题解题的关键是写出象限角的范围，根据不等式的做法，写出要求的角的范围．2．（4分）复数z满足|z﹣1|=|z﹣i|，则此复数z所对应的点的轨迹方程是x﹣y=0．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：令z=x+yi（x，y∈R）．利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：令z=x+yi（x，y∈R）．∵复数z满足|z﹣1|=|z﹣i|，∴|x﹣1+yi|=|x+（y﹣1）i|∴，化为x﹣y=0．故答案为：x﹣y=0．点评：本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}，若（∁U A）∩B={x|0≤x≤3}，则实数m的值为2．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集求出A的补集，根据B及A补集与B的交集，确定出m的范围即可．解答：解：由A中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|﹣1≤x≤3}，∵B={x|m﹣2≤x≤m+2}，且（∁U A）∩B={x|0≤x≤3}，∴m=2．故答案为：2点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．（4分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；压轴题．分析：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．解答：解：设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R，则V圆柱=2π•R3，V圆锥=π•R3，V球=π•R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2点评：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．5．（4分）已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：设t=﹣α，即α=﹣t，tant=，将α代入原式，利用诱导公式化简，再利用万能公式化简，将tant的值代入计算即可求出值．解答：解：设t=﹣α，即α=﹣t，tant=，则cos（+2α）=cos（π﹣2t）=﹣cos2t=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．（4分）定义在R上的奇函数f（x），f（﹣1）=2，且当x≥0时，f（x）=2x+（a+2）x+b（a，b为常数），则f（﹣10）的值为﹣993．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（0）=0 求得b=﹣1，根据f（1）=﹣f（﹣1）=2，求得a，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣10）的值．解答：解：由题意可得f（0）=1+b=0 b=﹣1，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2=2+2+a+b，则a=﹣5．当x≥0时，f（x）=2x﹣3x﹣1，f（﹣10）=﹣f（10）=﹣993，故答案为：﹣993．点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的值，属于中档题．7．（4分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3﹣a72+a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b1•b2…b13等于8192．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，进而得到b7的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将b7的值代入即可求出值．解答：解：根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7，∵a3﹣a72+a11=0（已知），∴2a7﹣a72=0，解得a7=2，或a7=0（舍去），∴b7=a7=2，又数列{b n}是等比数列，则b1•b2…b13=b713=213=8192．故答案为：8192．点评：本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．8．（4分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣5，则（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中x4项的系数是数列{a n}中的第20项．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的含x4项的系数；令数列的通项等于x4项的系数；列出方程求出n．解答：解：依题意知，含x4项的系数是C54+C64+C74=55，令3n﹣5=55，得n=20，所以展开式中含x4项的系数是该数列的第20项，故答案为：20．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等差数列的通项公式．9．（4分）已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O，极轴与x轴的非负半轴重合．若直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数，且θ∈R，则直线l与曲线C的交点的直角坐标为（0，0）．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：求出直线l和曲线C的普通方程，联立方程组可得直线l与曲线C的交点的直角坐标．解答：解：∵直线l的极坐标方程为θ=，故直线l的直角坐标系方程为：y=x，∵曲线C的参数方程为，即，故曲线C的参数方程为的普通方程为：y=，x∈[﹣2，2]，联立方程后解得：，或（舍去）故直线l与曲线C的交点的直角坐标为（0，0），故答案为：（0，0）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，要注意x∈[﹣2，2]的限制．10．（4分）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种186．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，设取出红球x个，白球y个，可得关于x、y的不等式组，解可得x、y的值，进而由组合数公式计算每种情况的取法数目，并结合加法原理计算可得答案．解答：解：根据题意，设取出红球x个，白球y个，有0≤x≤4，0≤y≤6，且x、y∈N，则有，解可得，或，则不同的取法有++=186；故答案为186．．点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于分析题意，列出关于x、y的不等式，得到取出红球、白球的数目情况．11．（4分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：常规题型．分析：先确定满足题意的点P的轨迹是什么几何体，然后再求表面解答：解：由题意知，满足集合Q={P||PA|≤1}的点P的轨迹为：以点A为球心，以1为半径的球的部分，它的表面由四部分组成：球面的和3个面积相等扇形（每个扇形为半径为1的圆的）∴表面积S=故答案为：点评：本题考察几何体的表面积，题型比较灵活新颖，须首先确定几何体．要牢记球的表面积公式．属简单题12．（4分）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为9．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由题设知|PF1|﹣|PF2|=2a=6，|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|=6+1+2=9．解答：解：双曲线中，∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|+|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|=6+1+2=9．故答案为：9．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．13．（4分）设x，y为实数，且满足：（x﹣2014）3+2013（x﹣2014）=﹣2013，（y﹣2014）3+2013（y﹣2014）=2013，则x+y=4028．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，构造函数f（t）=t3+2013t，由f（t）的单调性，求出x﹣2014=2014﹣y，得出x+y的值．解答：解：根据题意，得：∵（x﹣2014）3+2013（x﹣2014）=﹣[（y﹣2014）3+2013（y﹣2014）]=﹣2013，∴（x﹣2014）3+2013（x﹣2014）=3+2013，令f（t）=t3+2013t，（t∈R），∴f（t）是递增函数，且f（x﹣2014）=f；∴x﹣2014=2014﹣y，∴x+y=4028．故答案为：4028．点评：本题考查了函数的单调性的判定及其应用问题，解题时根据题意，构造函数，利用函数的单调性，是关键，是基础题．14．（4分）在区间[0，π]上，关于α的方程5sinα+4=|5cosα+2|解的个数为1．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用换元法，令5cosα=x，5sinα=y，则原方程化为y+4=|x+2|，x，y满足x2+y2=25，于是，方程5sinα+4=|5cosα+2|解的个数问题转化为绝对值函数图象与半圆的交点个数问题．解答：解：令，α∈[0，π]，则x2+y2=25，y∈[0，5]．从而方程5sinα+4=|5cosα+2|化为y=|x+2|﹣4，当x≥﹣2时，y=x﹣2；当x＜﹣2时，y=﹣x﹣6，由此，作出y=|x+2|﹣4的图象，考察x2+y2=25的上半圆与函数y=|x+2|﹣4的图象，可知两图象有一个公共点，故α的值唯一，即关于α的方程5sinα+4=|5cosα+2有1个解．点评：1．本题若直接解三角方程，计算量较大，运用换元及数形结合思想，将三角方程转化为半圆与绝对值函数图象的交点问题，思路非常巧妙，大大简化了求解过程．2．本题考查了圆的参数方程的应用，对于方程的解的个数问题，一般有以下两种方法：（1）几何法：运用数形结合思想，转化为两图象的交点个数问题；（2）代数法：联立方程组，消去适当的元，得到一个一元二次方程，根据判别式△判断．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z的虚部为（）A．2B．0C．﹣2 D．﹣2i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的实部为0，虚部不为0，求出表达式，解得z的虚部的值．解答：解：θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，∴⇒⇒，（k∈Z），∴cosθ﹣1=﹣2，故选：C．点评：本题考查了复数运算法则和几何意义，属于基础题．16．（5分）“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|+b（a，b∈R）在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据函数的单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：当a=1时，f（x）=|x﹣1|+b在[1，+∞）上为增函数；反之，f（x）=|x﹣1|+b在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，故“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|+b（a，b∈R）在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．17．（5分）如果函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值分别为M、m，那么m（b﹣a）≤△f（x）≤M（b﹣a）．根据这一结论求出△2的取值范围（）A．[0，3]B．[，3]C．[，]D．[，3]考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由﹣x2在[﹣1，2]上的最大值为0，最小值为﹣4，得f（x）=在[﹣1，2]上的最大值M=1，最小值m=，再求出m（b﹣a）=，M（b﹣a）=3，从而求出的范围．解答：解：∵﹣x2在[﹣1，2]上的最大值为0，最小值为﹣4，∴f（x）=在[﹣1，2]上的最大值M=1，最小值m=，∴m（b﹣a）=，M（b﹣a）=3，∴的范围是[，3]，故选：B．点评：本题考察了函数的最值问题，新定义问题，是一道基础题．18．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先，根据，设M（cosα，sinα），N（﹣sinα，cosα），然后，写出向量=（cosα﹣2，sinα）和=（﹣sinα，cosα），从而得到=2sinα，进而确定其范围．解答：解：设M（cosα，sinα），∵，∴，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=2sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴2sinα∈[﹣2，2]，∴•的取值范围是[﹣2，2]．故选：C．点评：本题重点考查了平面向量的实际运用，重点掌握平面向量的坐标运算等知识，属于中档题．三、解答题（满分74分）19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一点，AB=2，AD=，AA1=3，CP=3，PD=1．（1）求异面直线A1P与BC1所成的角；（2）求证：PB⊥平面BCC1B1．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出；（2）利用线面垂直的判定定理即可得出．解答：解：（1）以D原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，P（0，1，0），B，C 1（0，4，3）．=，，==．∴异面直线A1P与BC1所成的角的大小等于．（2）过B作BM⊥CD交CD于M，在Rt△BMC中，BM=，MC=2，则BC=，∵PC1==3，，PB=，∵，∴PB⊥BC1．∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥PB．又B1B∩BC=B，∴PB⊥平面BCC1B1．点评：本题考查了向量的夹角公式、线面垂直的判定定理，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．20．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=a n+n﹣4，b n=（﹣1）n（a n﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．（1）对任意实数λ，求证：a1，a2，a3不成等比数列；（2）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）假设存在一个实数λ，使a1，a2，a3是等比数列，由等比中项的概念列式得到矛盾的等式，说明假设错误，结论得到证明；（2）由递推式b n=（﹣1）n（a n﹣3n+21）得到b n+1，进一步得到，求出b1=﹣（λ+18），由此可知当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．解答：（1）证明：假设存在一个实数λ，使a1，a2，a3是等比数列，则有，即，整理得，得到9=0，矛盾．∴a1，a2，a3不成等比数列；（2）解：∵b n=（﹣1）n（a n﹣3n+21），∴==，又b1=﹣（λ+18），∴当λ=﹣18时，b n=b1=0，（n为正整数），此时{b n}不是等比数列；当λ≠﹣18时，b1≠0，由上式可知b n≠0，∴（n为正整数），故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定及等比数列的性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．21．（14分）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD 的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D 所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．解答：解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．22．（16分）阅读：已知a、b∈（0，+∞），a+b=1，求y=+的最小值．解法如下：y=+=（+）（a+b）=++3≥3+2，当且仅当=，即a=﹣1，b=2﹣时取到等号，则y=+的最小值为3+2．应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=++的最小值；（2）已知x∈（0，），求函数y=+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，…，a n，a1+a2+a3+…+a n=1，求证：S=+++…+≥．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解答：解（1）∵a+b+c=1，∴y=++=（a+b+c）=3+++2=9，当且仅当a=b=c=时取等号．即的最小值为9．（2）==10+2，而，∴=8，当且仅当，即∈时取到等号，则y≥18，∴函数y=的最小值为18．（3）∵a1+a2+a3+…+a n=1，∴2S=（+++…+）[（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a1）]=+++…+++（2a1a2+2a2a3+…+2a n a1）==1．当且仅当a1=a2=…=a n=时取到等号，则．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．23．（18分）已知函数f（x）=ax2++5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（﹣1）=14．（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；（2）若f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{a n}，使得=q+q+q+…+q+…成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）根据条件很容易求出a，讨论奇偶性根据定义即可，注意对于非奇非偶的，要举出反例．（2）利用导数求出f（x）的单调区间，再与所给单调区间比较即可求b的最小值．（3）说f（x）有一个零点，所以我们先来找f（x）的零点，找到之后再看怎样让它满足所给等式即可．解答：解：（1）由f（1）+f（﹣1）=14得（a+b+5）+（a﹣b+5）=14，所以解得a=2；所以f（x）=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；当b=0时，对于定义域内的任意x，有f（﹣x）=f（x）=2x2+5，所以f（x）为偶函数．当b≠0时，f（1）+f（﹣1）=14≠0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函数；f（﹣1）﹣f（1）=﹣2b≠0，所以f（x）不是偶函数；所以，b=0时f（x）为偶函数，b≠0时，f（x）为非奇非偶函数．（2）f′（x）===0，解得x=，所以x∈（﹣∞，）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，）上单调递减，又f（x）在上单调递减，所以，解得b≥﹣2，所以b的最小值是﹣2．（3）在（2）的条件下，f（x）=；当x＜0时，f（x）＞0恒成立，函数f（x）在（﹣∞，0）上无零点；当x＞0时，f′（x）=＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上递增，又f（）=＜0，f（1）=5＞0；∴f（x）在（，1）上有一个零点q，即q∈，且f（q）=2=0，整理成，所以；又+…，所以+…，且a n=3n﹣2．点评：本题前两问比较基础，只是在第二问中注意，要说明一个函数非奇非偶，只需举出反例即可．对于第三问，你要去寻找零点，寻找的最后找到了零点所在的区间，零点，即函数在零点处取值为零，所以会得到关于q的一个等式，经过变形就出来了所给等式中的，得到等式之后，会看出很像某个等比数列的和，从而完成了本题的求解．。