2019年高中数学必修一课件：1.1.2 集合的包含关系
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高中数学高一上册第一章-1.1.2集合之间的关系-子集个数问题的研究 课件
拓展探究:
满足 A1,2,3 的集合 A 的个数
是多少？
改造条件，生成问题,解决问题
对课后作业的反思：
习题．满足 A1,2,3,4,5， 且若 x A ，
则 6xA， 问非空集合 A 的个数为多少？
反思条件，确定方向，判断可能性,生成问题
对课后作业的反思：
习题．满足 A1,2,3,4,5， 且若 x A ，
身体健康， 知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
在等待的日子里，刻苦读书，谦卑做人，养得深根，日后才能够枝叶茂盛。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 最好的教育是以身作则。孩子们对谎言或虚伪非常敏感，极易察觉。如果他们尊重你依赖你他们就是在很小的时候也会同你合作。——甘地夫 人 过去一切时代的精华尽在书中。——卡莱尔 只有想不到的事，没有做不到的事。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越来 越多，人生也就越来越好！ 不要太肯定自己的看法，这样子比较少后悔。 记住：你是你生命的船长，走自己的路，何必在乎其它。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。 内外相应，言行相称。——韩非 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。
谢谢同学们! 欢迎老师指正！
在人生征途中有许多弯路小路险路暗路，只有意志坚定且永不停步的人，才有希望到达胜利的远方。 友谊的最大努力并不是向一个朋友展示我们的缺陷，而是使他看到自己的缺陷。
一棵小草，也许永远不能成为参天大树，但它可能做最绿最坚强的小草；一滴水，也许永远不能像长江大河一样奔腾，但它可以成为所有水中 的最纯的那一滴 志不立，天下无可成之事。
人教版高中数学必修一一集合PPT课件
集合相等：只要构成这两个集合的元素 是一样的，则这个集合是相等的。
例：{两边相等的三角形}和{等腰三角形}
问题
如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 学,那么a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元 素与集合之间有什么关系？
元素与集合的关系
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{(x, y) | x y 6, x N, y N}
用列举法表示为
.
复习回顾
1、元素和集合的定义 2、集合的特性 3、元素和集合的关系 4、集合的表示方法
实数有相等关系，大小关系， 类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
常用的数集
数集 自然数集(非负整数集)
正整数集 整数集
有理数集 实数集
符号
N N* 或N+
Z Q R
判断Q与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题
解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.
集合的表示方法
问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?
(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组 成的集｛合太? 平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
人教版高中数学必修1(A版) 1.1.2集合间的基本关系 PPT课件
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三、教师点拨
1.集合的相等
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三、教师点拨
2.真子集定义
一般地，若集合A中的元素都是集合B的元素， B中至少有一个元素不属于A。我们称集合A是 集合B的真子集。记作：
AÞ B
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三、教师点拨
2.真子集定义
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三、教师点拨
3.子集定义 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 那么，集合A就叫做集合B的一个子集．记作：
A B
说明：(1)子集包含相等与真子集两种情况， 任何一个集合都是它自身的子集； （2）空集是任何集合的子集，包括它本身；
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பைடு நூலகம்
三、教师点拨
3.子集的定义
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四、课堂小结
（1）集合相等定义 （2）真子集的定义 （3）子集的定义 （4）体会类比发现新结论与数形结合的思想
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自主探究 时间15分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨
1.集合的相等
一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素， 反过来集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们 就说集合A等于集合B。记作：
AB
这里的符号“＝”是借用了数学中的等号，它表示两 个集合中的元素完全相同 ( 即两个集合中的元素个数 相等且相应的元素都相同)．
标题
§1.1.2集合间的基本关系
§1.1.2集合间的基本关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景 山东人组成的集合为A,中国人组成的集 合为B, 某人说:“我是一个山东人”，
那我们马上能反应出这个人也是一个中 国人，集合A与集合B有什么关系呢？
人教版高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系ppt课件
【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={
=-3或2，解得m= 或 .
1 1, ∴a a≤-2.…………………………11分
2
a
1,
a 0, 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合 为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0, ＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
1.空集：指的是_____不__含__任__何_的元集素合，记作__，并规定： ∅
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C子,那集么_____. A⊆A
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1)× (2)√ (3)×
高中必修一数学第一章集合间的基本关系ppt课件-人教版
高中数学
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
人教A版高中数学必修一《1.1.2集合间的基本关系》课件
1．∈，∉用在元素与集合之间，表示从属关 系；⊆，(或 )用在集合与集合之间，表示包含(真 包含)关系．
2．a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素， 而{a}表示只有一个元素的一个集合，我们常称之为 单元素集.1∈{1}，不能写成1⊆{1}．
3．关于空集∅：空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限集又不是无限集，不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集}＝∅.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.1.2集合间的基本关系
冠县一中 姚增珍
2012.9.7
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给 定集合的子集．
2．在具体情境中，了解空集的含义．
自学导引
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 _任__意__一__个__元素都是集合B中的元素，我们就说这两 个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 _A_⊆__B_(或_B__⊇_A_)，读作“_A_含__于__B_”(或“_B_包__含__A__”)．
误区解密 因忽略空集而出错
【例4】设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋ 3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A．{a|1≤a≤3}B．{a|a>3} C．{a|a≥1}D．{a|1<a<3}
错解：∵B⊆A，∴2aa＋≥32≤6 ， 解得 1≤a≤3，故选 A.
错因分析：空集是任何集合的子集，忽视这一 点，会导致漏解，产生错误结论．对于形如 {x|a<x<b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解 题中要引起注意．
解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集 合与集合的关系．
易知a∈{a，b，c}； ∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集， 故∅＝{x∈R|x2＋1＝0}； ∵{x|x2＝x}＝{0,1}， ∴{0} {x|x2＝x}； ∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2. ∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4)＝
2．a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素， 而{a}表示只有一个元素的一个集合，我们常称之为 单元素集.1∈{1}，不能写成1⊆{1}．
3．关于空集∅：空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限集又不是无限集，不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集}＝∅.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.1.2集合间的基本关系
冠县一中 姚增珍
2012.9.7
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给 定集合的子集．
2．在具体情境中，了解空集的含义．
自学导引
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 _任__意__一__个__元素都是集合B中的元素，我们就说这两 个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 _A_⊆__B_(或_B__⊇_A_)，读作“_A_含__于__B_”(或“_B_包__含__A__”)．
误区解密 因忽略空集而出错
【例4】设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋ 3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A．{a|1≤a≤3}B．{a|a>3} C．{a|a≥1}D．{a|1<a<3}
错解：∵B⊆A，∴2aa＋≥32≤6 ， 解得 1≤a≤3，故选 A.
错因分析：空集是任何集合的子集，忽视这一 点，会导致漏解，产生错误结论．对于形如 {x|a<x<b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解 题中要引起注意．
解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集 合与集合的关系．
易知a∈{a，b，c}； ∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集， 故∅＝{x∈R|x2＋1＝0}； ∵{x|x2＝x}＝{0,1}， ∴{0} {x|x2＝x}； ∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2. ∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4)＝
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.1.1.2 集合的表示
课堂小结 1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适
当方法表表示，描 述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有 限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意： (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有 序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素 所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷 惑．
3．(2013·扬州高一检测)已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的 解集用列举法可表示为________． 解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1. 又x∈N，∴x＝1. 答案 {1}
4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝ ________. 解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1； 当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1. 答案 {0,1}
解 (1){x|3x＋2＞2x＋1}＝{x|x＞－1}． (2){(x，y)|x＞0，y＞0，且 x，y∈R}． (3){x|x＝2k－1，k∈N*}． [规律方法] 1.点集的代表元素用有序实数对(x，y)表示；第(3) 题中，易错写为{x|x＝2k－1，k∈N}，忽视集合 N 与 N*的差异． 2．用描述法表示集合，一般模式是{x∈I|p(x)}，其中 x 是集合 的代表元素，I 是代表元素的范围，p(x)为集合中元素所具有的 共同特征，要注意竖线不能省略．
[规律方法] 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否 为0而漏解．(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏． 2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其 共同特征是解题的切入点．
高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的包含关系课件新人教a必修1
{a}
∅，{a}
2
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，b，c}
8
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1
个，非空真子集有2n－2个.
探究1 熟练写出给定集合的子集是学生必须掌握的基本功.
思考题1 已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，
(5)空集是任何非空集合的真子集，因此∅ {0}正确； (6)空集是任何集合的子集，因此∅⊆∅正确.
探究2 要注意区分“∈与⊆”，“⊆与 ”.“∈”表示 元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关 系，“⊆”与“ ”均表示集合间的包含关系，但后者是前者 “≠”情形时的包含情况.
思考题2 设a＝ 2 ＋ 3 ，M＝{x|x≤ 10 }，给出下列关
2k－1，k∈N*}，则M，N之间的关系为( )
A.M N
B.M N
C.M⊆N 【答案】 A
D.M＝N
题型二 集合相等 例4 已知A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3n－2，n∈ Z}，则A与B的关系为__________.
【解析】 (1)任取x1∈A，则x1＝3k1＋1＝3(k1＋1)－2，k1 ＋1∈Z.∴x1∈B，故A⊆B.
方法二：(特征性质法) 集合 A：x＝2k＋2 1(k∈Z)，分子为奇数. 集合 B：x＝k2(k∈Z)，分子为整数， ∴A B.
【答案】 A B
探究 3 几种等价表示方法(n∈Z). ①“2n－1”等价于“2n＋1”. ②“2n－1”等价于“4n±1”. ③“4n＋3”等价于“4n－1”等.
高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系
2 5, x , x 4 x 中的元素 1、若 x N ,则
x必
须满足什么条件？
2、已知 x N ，A 5, x, x 2 4 x
B 2, x 2 4, x 6 若A=B,试求
x 的值。
【引一引★温故知新】
集合与集合 之间呢？
• 一个元素的集合：子集共有2个、真子集有2-1个。 • 两个元素的集合：子集共有4个、真子集有4-1个。 • 三个元素的集合：子集共有8个、真子集有8-1个。 • n个元素的集合：子集共有2n个、真子集有2n -1个。
【听一听★更上一层】
k 1 k 1 例2.集合M { x | x , k Z }, N { x | x , k Z }. 2 4 4 2 则（ ） . B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
2k 1 , k Z }, 4
A.M N
C.M N
D.M与N没有相同元素
分析：M { x | x
N {x | x
k2 , k Z }. 4
当k Z时， 2k 1为奇数，k 2为整数，因为奇数都 是整数，且整数不都是奇数.
M N，故选C.
解 : 集合{a, b}的所有子集为：
，{a}, {b}, {a, b}
真子集为： ，{a}, {b}
【听一听★更上一层】 变式
写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集：; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a, b}, {a, c},{b, c};
规定：空集是任何集合的子集，即 A.
空集是任何非空集合的真子集. 即： B. ( B )
2 5, x , x 4 x 中的元素 1、若 x N ,则
x必
须满足什么条件？
2、已知 x N ，A 5, x, x 2 4 x
B 2, x 2 4, x 6 若A=B,试求
x 的值。
【引一引★温故知新】
集合与集合 之间呢？
• 一个元素的集合：子集共有2个、真子集有2-1个。 • 两个元素的集合：子集共有4个、真子集有4-1个。 • 三个元素的集合：子集共有8个、真子集有8-1个。 • n个元素的集合：子集共有2n个、真子集有2n -1个。
【听一听★更上一层】
k 1 k 1 例2.集合M { x | x , k Z }, N { x | x , k Z }. 2 4 4 2 则（ ） . B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
2k 1 , k Z }, 4
A.M N
C.M N
D.M与N没有相同元素
分析：M { x | x
N {x | x
k2 , k Z }. 4
当k Z时， 2k 1为奇数，k 2为整数，因为奇数都 是整数，且整数不都是奇数.
M N，故选C.
解 : 集合{a, b}的所有子集为：
，{a}, {b}, {a, b}
真子集为： ，{a}, {b}
【听一听★更上一层】 变式
写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集：; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a, b}, {a, c},{b, c};
规定：空集是任何集合的子集，即 A.
空集是任何非空集合的真子集. 即： B. ( B )
高中数学高一上册第一章-1.1.2集合之间的关系课件
A B
读作 “集合A 等于B 集合” 显然 若 A B 且 B A，则 A B
想一想用图示法怎么表示A=B？
三、真子集
对于两个集合 A 和 B ， 如果 A B ，且 B 中至少有一个元素不属于 A
那么集合 A 叫做集合B 的真子集.
记作
A B ( B A )
读作 “ A 真包含于B ” （“B 真包含A ”）
70,1 0,1
例3.求出所有符合条件的集合C (1) C{1,2,3}
(2) C {a , b}
(3) {1,2,3} C{1,2,3,4,5} 解: (1) C 可以是以下集合： , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } (2) C 可以是以下集合： ,{a},{b} (3) C 可以是以下集合： { 1 ,2 ,3 ,4 } ,{ 1 ,2 ,3 ,5 } ,{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }解毕
当B=时， a = 0
当B={-2}时，a = 1
当B={3}时，a
=
2
1
3
解毕
有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 说话不要有攻击性，不要有杀伤力，不夸已能，不扬人恶，自然能化敌为友。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 友谊要像爱情一样才温暖人心，爱情要像友谊一样才牢不可破。 每天都将自己最好的一面展示给别人。——杨丽娜 我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬起来。 我们不能选择命运，但是我们能改变命运。
答：x2,y5.
例 5 : 已 知 集 合 A = { x | x 2 x 6 0 } 与 集 合 B = {x |a x 1 0 }
读作 “集合A 等于B 集合” 显然 若 A B 且 B A，则 A B
想一想用图示法怎么表示A=B？
三、真子集
对于两个集合 A 和 B ， 如果 A B ，且 B 中至少有一个元素不属于 A
那么集合 A 叫做集合B 的真子集.
记作
A B ( B A )
读作 “ A 真包含于B ” （“B 真包含A ”）
70,1 0,1
例3.求出所有符合条件的集合C (1) C{1,2,3}
(2) C {a , b}
(3) {1,2,3} C{1,2,3,4,5} 解: (1) C 可以是以下集合： , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } (2) C 可以是以下集合： ,{a},{b} (3) C 可以是以下集合： { 1 ,2 ,3 ,4 } ,{ 1 ,2 ,3 ,5 } ,{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }解毕
当B=时， a = 0
当B={-2}时，a = 1
当B={3}时，a
=
2
1
3
解毕
有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 说话不要有攻击性，不要有杀伤力，不夸已能，不扬人恶，自然能化敌为友。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 友谊要像爱情一样才温暖人心，爱情要像友谊一样才牢不可破。 每天都将自己最好的一面展示给别人。——杨丽娜 我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬起来。 我们不能选择命运，但是我们能改变命运。
答：x2,y5.
例 5 : 已 知 集 合 A = { x | x 2 x 6 0 } 与 集 合 B = {x |a x 1 0 }
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{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
要点二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系： 解 集合A 的代表元素是数，集合 B的代表元素是有序实数
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
相等 子集，就说两个集合______ 相等
_____ A＝B
如果在某个特定的场合，要讨论 的对象都是集合 I 的元素和子集， 全集、 ∁ IA 就可以约定把集合 I 叫作全集 . 若 A ____ 补集 是全集 I 的子集， I 中不属于 A的元
素组成的子集叫作A的______ 补集
2.常用结论 (1)任意一个集合A都是它本身的 子集 ，即 A⊆A . (2)空集是 任意一个集合 的子集，即对任意集合A， 都有
求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁ UU＝∅，∁U∅＝U，
A∪(∁UA)＝U.
跟踪演练3
已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3
{x|x＝－3，或x＞4} ＜x≤4}，则∁U A＝_______________________. 解析 借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x＞4}.
1.1 集 1.1.2
[学习目标]
合
集合的包含关系
1.明确子集，真子集，两集合相等的概念. 2.会用符号表示两个集合之间的关系. 3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围. 4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
试判断集合A和B的关系.
解
7 A＝{－3,2}，B＝x|x＞－ . 2
7 7 ∵－3＞－ ，2＞－ ， 2 2
∴－3∈B,2∈B，∴A⊆B 又0∈B，但0∉A，∴A B.
要点三 简单的补集运算 例3 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于( B ) B.{3,4,5} D.∅ A.{1,2} C.{1,2,3,4,5}
∅⊆A
.
要点一 有限集合的子集确定问题 例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集. 解 由0个元素构成的子集：∅；
由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：{1,2,3}.
由此得集合 A 的所有子集为 ∅ ， {1} ， {2} ， {3} ， {1,2} ， {1,3}，{2,3}，{1,2,3}. 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是 A的真子集.
要点四 由集合间的关系求参数范围问题
例4
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，
且B⊆A.
求实数m的取值范围.
解 ∵B ⊆ A ， (1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
－3≤2m－1， (2)当 B≠∅时，有 m＋1≤4， 2m－1＜m＋1，
解得－1≤m＜2，综上得实数m的取值范围为{m|m≥－1}.
规律方法
1.(1) 分析集合间的关系时，首先要分析、简化
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴∁UA＝{3,4,5}.
{x|x＜1} (2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________. 解析 由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}.
规律方法
1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助
图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法
规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身. 2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子 集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
跟踪演练1
其个数. 解
已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及
当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}； 当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}； 当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}； 所以满足条件的集合 M 为 {2,3} ， {2,3,1} ， {2,3,4} ， {2,3,5} ，
解 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，
故N M.
规律方法
对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，
这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集 合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素， 则用空心点表示.
跟踪演练 2
集合A＝ {x|x2 ＋x－ 6＝ 0}，B ＝ {x|2x＋ 7＞ 0}，
重点难点，个个击破
当堂训练，体验成功
[知识链接]
1.已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的
大小关系是 a＝b . 2.若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1时呢？ 答案 3.方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？ 答案 不一定.
[预习导引]
1.集合之间的关系 关系 概念
如果集合 B 的每个元素都是集 子集
符号表示 图形表示
合A的元素，就说B包含于A，
或者说A包含B.若B包含于A， 子集 称B是A的一个______B
集 的子集，就说B是A的______ 真子集
B A ______
集合 如果B是A的子集，A也是B的
对，故A与B之间无包含关系. (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； 解 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相
等的三角形，故A
B.
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
解 集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图
可知A B.
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.