江苏省扬州中学2015-2016学年高二上学期期末调研测试数学试卷

高二数学试卷（全卷满分160分，考试时间120分钟） 2016．01注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“210x R x x ∀∈++>，”的否定是 ．2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为 ．3. 在区间]4,0[上任取一个实数x ，则2x >的概率是 ．4. 根据如图所示的伪代码，如果输入x 的值为0，则输出结果y 为 ．5．若()5sin f x x =，则()2f π'= ．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 ．7．如右图，该程序运行后输出的y 值为 ．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm ，其母线长为5cm ，则这个圆锥筒的 体积为 3cm .9．若双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线上一点，13PF =，则2PF = ．10．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，l α⊥，则l β⊥； ②若l ∥m ，l α⊂，m β⊂，则α∥β； ③若m α⊥，l m ⊥，则l ∥α； ④若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥．其中真命题的序号．．有 ．(写出所有正确命题的序号．．)11．已知抛物线2y =的准线恰好是双曲线22214x y a -=的左准线，则双曲线的渐近线方程为 ．12．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足()f x <)(x f '，则不等式2016()(2016)x f x f e -≥的解集是 ．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为4x =-，则该椭圆被直线1y x =+截得的弦长为 ．14．若0,0a b >>，且函数2()(3)xf x ae b x =+-在0x =处取得极值，则ab 的最大值等于 ．CMDBNQA二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[]50,100之间）（1）求频率分布直方图中a 的值； （2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，AB AD ⊥．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ；（2）求证：平面MNQ ⊥平面ACD ．17．（本小题满分15分）已知命题:p “存在2,20x R x x m ∈-+≤”，命题q ：“曲线22151x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:r 1t m t <<+ （1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是r 的必要不充分条件，求t 的取值范围．N18．（本小题满分15分）已知函数32()39f x x x x a =-+++.（1）当2a =-时，求()f x 在2x =处的切线方程；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为22，求它在该区间上的最小值． 19．（本小题满分16分）椭圆2222:b y a x E +)0(1>>=b a经过点，且离心率为22，过点P 的动直线l 与椭圆相交于B A ,两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若椭圆E 的右焦点是P ，其右准线与x 轴交于点Q ,直线AQ 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ,求证：120k k +=；(3) 设点(),0P t 是椭圆E 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-，1)(-=x x g（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()()0f x g x a -+=在区间1(,)e e上有两个不等的根，求实数a 的取值范围；（3）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有)()(x kg x f >，求实数k 的取值范围．2016年1月高二数 学 试 题 参 考 答 案一、填空题：1．210x R x x ∃∈++≤， 2．75 3．12 4．5 5． 0 6．137． 32 8. 12π 9．7 10．①④ 11．y x =± 12．[)2016,+∞ 13．24714．2二、解答题：15．解:(1)由题110)76322(=⨯++++a a a a a ,11020=⨯∴a , --------2分∴005.0=a 4分（29分（3 …… 14分 16．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 3分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 7分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ， 又AB CD ⊥，AB AD ⊥，故MN AD ⊥，MN CD ⊥． …… 9分因为,AD CD D ⋂=，,AD CD ⊂平面ACD ， 所以MN ⊥平面ACD 又MN ⊂平面MNQ ， 所以平面MNQ ⊥平面ACD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）17．解：（1）若p 为真：044≥-=∆m --------1分解得1≤m --------2分若q 为真：则⎩⎨⎧>++>-0115m m m ------3分解得21<<-m --------4分若“p 且q ”是真命题，则⎩⎨⎧<<-≤211m m --------6分解得11≤<-m --------7分 （2）由q 是r 的必要不充分条件，则可得)1,(+t t ≠⊂)2,1(- -------11分即⎩⎨⎧≤+-≥211t t （等号不同时成立） -------13分解得11≤≤-t --------15分18．解：（1） ()f x '＝－3x 2＋6x ＋9,切线的斜率为9， 所以()f x 在2x =处的切线方程为209(2)y x -=-，即920x y -+=. --------6分（2）令()f x '＝－3x 2＋6x ＋9=0,得3x =（舍）或1x =-当(2,1)x ∈--时，()0f x '<，所以()f x 在(2,1)x ∈--时单调递减，当(1,2)x ∈-时()0f x '>，所以()f x 在(1,2)x ∈-时单调递增，又(2)f -＝2a +，(2)f ＝22a +，所以(2)f >(2)f -．因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值，于是有 2222a +=，解得 0a =． --------12分故32()39f x x x x =-++，因此(1)5f -=-即函数()f x 在区间[]2,2-上的最小值为5-． --------15分19.解： （1）222221112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,1a b ==.所以椭圆E 的方程为2212x y +=．--- 4分（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则222212121122x x y y +=+=，． 由题意()()10,20P Q ，， ()()11221221121,1,AP BP x y x y x y x y y y ∴--∴-=-． ()()()()2222222212211221122112212221+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y-----=-()()()()22122112211212+=22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---若12=y y ，则120k k ==，结论成立．（此处不交代扣1分）()12122112+=2+y y x y x y y y ≠若则()()()12211212121212+2+02222x y x y y y y yk k x x x x -∴+=+==----．--------10分 备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分.（3）当直线l 与y 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于D C ,两点，如果存在定点Q 满足条件，则有QC PCQD PD=，即QC QD =，所以Q 在x 轴上，可设Q 点的坐标为()0,0x . 当直线l 与y 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于N M ,两点，则N M,的坐标分别为．由QM PM QN PN =02x t =．所以，若存在不同于点P 不同的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为2(,0)t.--------12分下面证明：对任意直线l ，均有QA PAQB PB=．记直线AQ 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，设()()1122,,,A x y B x y ，则222212121122x x y y +=+=，．由题意()20,0P t Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()()()1122122112,,AP BP x t y x t y x y x y t y y ∴--∴-=-．()()()()2222222212211221122112212221+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y-----=-()()()()22122112211212+t =22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---若12=y y ，则120k k ==．()121221122+=+y y x y x y y y t≠若则 ()122112*********++02222x y x y y y y y t k k x x x x ttt t -∴+=+==⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 易知，点B 于x 轴对称的点B '的坐标为),(22y x -.QA QB k k '∴=,,Q A B '∴三点共线．12y QA QA PAQB QB y PB ∴==='．所以对任意直线l ，均有QA PA QB PB=--------16分20.解：(I)()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由0)(<'x f 得⎩⎨⎧<++->0102x x x 解得251+>x ． 故()f x 的单调递减区间是⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞++，251． --------4分 (2)设()()()x f x g x a ϕ=-+211ln 22x x a =-++，()0,x ∈+∞则问题转化为()x ϕ在1(,)e e上有两个不同的零点； 因为21()x x x ϕ-'=．故当)1,0(∈x 时，()0x ϕ'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ 在)1,0(∈x 递增.，在[)1,+∞上单调递减.；则由题意得：(1)0()01()0e e ϕϕϕ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪<⎩，即22013221122a a e a e ⎧⎪>⎪⎪<-⎨⎪⎪<+⎪⎩故211022a e<<+ --------10分(3)当1k =时，令)()()(x g x f x F -=2121ln 2+-=x x ，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当)1,0(∈x 时，0)(>'x F ，当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在)1,0(∈x 递增.，在[)1,+∞上单调递减.0)1()(max ==∴F x F ，∴对任意的),,0(+∞∈x 恒有)()(x g x f ≤，故不存在01x >满足题意． --------12分当1k >时,对于1x >,有()()()f x g x kg x <<,，从而不存在01x >满足题意--------13分 当1k <时，令)()()(x kg x f x G -=，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=． 由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，G()G(1)x >0=，即()()1f x k x >-.综上，k 的取值范围是(),1-∞. --------16分。