2011年中考专题复习(等腰三角形)

等腰三角形一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个MEDCBA【答案】D3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有ABCDEF G （第7题）ABCD EA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30∘，AB ＝，则∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、△DEF的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4【答案】Ｃ6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．16cm 或17cm 【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513【答案】C 8.二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为【答案】80º5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

（第14题）A BCD【答案】80°。

提示：∠A=180°-2×50°=80°。

7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ．【答案】128. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD=__________________.【答案】49. （2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1 B 2= B 1 A 2，连结A 2 B 2…按此规律上去，记∠A 2 B 1 B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…，∠n+11A n n n B B θ+= 则⑴1θ= ； ⑵ n θ= 。

GFE CBA第15题D【答案】⑴2180α+︒ ⑵()nn 218012α+︒⋅- 10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

【答案】80°。

11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．（第15题图）【答案】31212. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．【答案】15三、解答题1.（2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE 重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴CG ACAB BH=，即99xy=，所以，81 yx =（3）当CG＜12BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，当CG＞12BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9AGH是等腰三角形．2. （2011山东德州19,8分）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．【答案】（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………4分 (2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ，∴ △ADO ≌△AEO ． ……………………………………6分 ∴ ∠DAO =∠EAO ．即OA 是∠BAC 的平分线． ………………………………………7分 又∵AB =AC ，∴ OA ⊥BC ． ………………………………………8分3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证： ME=BD ．【答案】（1）在等腰直角△ABC 中，∵∠CAD =∠CBD =15o ，∴∠BAD =∠ABD =45o -15o =30o ， ∴BD=AD ，∴△BDC ≌△ADC ， ∴∠DCA =∠DCB =45o ．ABEDO由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o ， ∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o ， ∴∠BDM =∠EDC ， ∴DE 平分∠BDC ； （2）如图，连接MC ，∵DC=DM ，且∠MDC =60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ．又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°， ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°， ∴∠EMC =∠ADC ． 又∵CE=CA ，∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC ，∴ME=AD=DB ．4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，求得EF=55. （2011浙江衢州，23,10分）ABC ∆是一张等腰直角三角形纸板，R t 2C A C B C ∠=∠==，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的第18题图BAEFCFEBQADE BDF ∆∆和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====238(39PNMQx x S ∴==∴==正方形解得又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，112ABC CFDE S S == 正方形 解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得313x x EC MN ∴==>> 解得又即∴甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S =(3)10912S =(3)解法1：探索规律可知：112n n S -=‘剩余三角形的面积和为：()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==…第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -=6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.A小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB （填“>”,“<”或“=”）.CDD（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F . （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC ∆的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.【答案】（1）= . （2）=.方法一：如图，等边三角形ABC 中，D60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=︒==， //,EF BC60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=︒=∠ AEF ∴∆是等边三角形，,AE AF EF ∴==,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=︒ ， 60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=︒.,,,,,.ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴∆≅∆∴=∴=方法二：在等边三角形ABC 中，60120,,,,,,//,60,180120,,ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=︒∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=︒=∠∴∆∠=︒-∠=︒=∠∴∆≅∆∴= ，是正三角形，而由AEF ∆是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴= (3)1或3.7. （2011浙江台州，23,12分）如图1，过△ABC 的顶点A 分别做对边BC 上的高AD 和中线AE ，点D 是垂足，点E 是BC 中点，规定BEDEA =λ。