2020-2021年中考数学试题分类汇编24：等腰三角形与等边三角形

一、选择题1. （2019山东省潍坊市，8，3分）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED=12CD·OE【答案】C【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故答案选择C.【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质2. （2019浙江省衢州市，7，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。

C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是A.60°B.65°C.75°D.80°【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO, ∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°, 所以∠O=25°, ∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D。

【知识点】等腰三角形的判定等腰三角形的判定三角形内角和三角形外角的性质3. （2019重庆A卷，12，4）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC'的距离为（）A．233B．7213C．7D．13【答案】B．【解析】如答图，过点D作DM⊥BC'于点M，过点B作BN⊥DC'于点N，由翻折可知DC'＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B DC'．∵AD＝AC'＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC'＝∠B DC'＝∠BDC＝60°．在Rt△BDN中，DN＝12BD＝32，BN＝332，从而C N'＝12．于是，BC'＝22133()()22+＝7．∵BDCS'∆＝1122DC BN BC DM''⋅=⋅，∴DM＝DC BNBC'⋅'＝33227⨯＝3217．故选B．【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法．4. (2019山东聊城,11,3分)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是A.AE+AF＝ACB.∠BEO+∠OFC＝180°C.OE+OF＝22BC D.S四边形AEOF＝12S△ABC第11题图【答案】C【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S第12题答图第12题图△CFO+S △AFO ＝12S △ABC,故D 正确；故选C.第11题答图【知识点】旋转,三角形全等5. （2019四川宜宾，7，3分）如图，EOF ∠的顶点O 是边长为2的等边ABC ∆的重心，EOF ∠的两边与ABC ∆的边交于E ，F ，120EOF ∠=︒，则EOF ∠与ABC ∆的边所围成阴影部分的面积是( )A ．3B ．23C ．3D ．3【答案】C【解析】解：连接OB 、OC ，过点O 作ON BC ⊥，垂足为N ，ABC ∆为等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，点O 为ABC ∆的内心12OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠，12OCB ACB∠=∠．30OBA OBC OCB ∴∠=∠=∠=︒． OB OC ∴=．120BOC ∠=︒， ON BC ⊥，2BC =， 1BN NC ∴==，33tan 1ON OBC BN ∴=∠=⨯=，132OBC S BC ON ∆∴==．120EOFAOB ∠=∠=︒，EOF BOF AOB BOF ∴∠-∠=∠-∠，即EOB FOC ∠=∠．在EOB ∆和FOC ∆中， 30OBE OCF OB OCEOB FOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOB FOC ASA ∴∆≅∆． 3OBC S S ∆∴==阴影故选：C ．【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质6.（2019台湾省，15，3分）如图，ABC ∆中，AC BC AB =<．若1∠、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，则下列角度关系何者正确( )A ．12∠<∠B ．12∠=∠C ．2180A ∠+∠<︒D ．1180A ∠+∠>︒【答案】C 【解析】解：AC BC AB =<，A ABC ACB ∴∠=∠<∠，1∠、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，2A ABC ∴∠=∠+∠，2180A A A ABC ACB A ABC ∴∠+∠=∠+∠+∠<∠+∠+∠=︒，故选：C ．【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质定理；三角形的内角和二、填空题1. （2019湖南怀化，14，4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36°.【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°， ∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°. 故答案为36°.【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理2. （2019四川南充，14，4分）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= ︒． 【答案】70 【解析】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，1(18040)702B ∴∠=︒-︒=︒．故答案为70．【知识点】等腰三角形的性质3. （2019甘肃武威，17，4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则它的特征值k = ． 【答案】85或14【解析】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502︒-︒=︒，∴特征值808505k ︒==︒ ②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020︒-︒-︒=︒∴特征值201804k ︒==︒故答案为85或14【知识点】等腰三角形的性质4. （2019贵州黔东南，13，3分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．【答案】34°【解析】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°故答案为：34°．【知识点】等腰三角形的性质5. （2019四川广安，13，3分）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为cm．【答案】32【解析】解：由题意知，应分两种情况：+<，不能构成三角形；（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6613=⨯+=．（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长213632cm故答案为32．【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质6.（2019四川绵阳，18，3分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝．【答案】．【解析】解：如图，连接CE′，∵△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2，∴AB ＝BC ＝2，BD ＝BE ＝2，∵将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，∴D ′B ＝BE ′＝BD ＝2，∠D ′BE ′＝90′，∠D ′BD ＝∠ABE ′， ∴∠ABD ′＝∠CBE ′， ∴△ABD ′≌△CBE ′（SAS ）， ∴∠D ′＝∠CE ′B ＝45°， 过B 作BH ⊥CE ′于H ，在Rt △BHE ′中，BH ＝E ′H BE ′，在Rt △BCH 中，CH ，∴CE ′， 故答案为：．【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质7. （2019浙江嘉兴，16，4分）如图，一副含30︒和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则ABD ∆的面积最大值为 ．2cm ．【答案】(242)-，(2433626) 【解析】解：12AC cm =，30A ∠=︒，45DEF ∠=︒43BC cm ∴=，83AB cm =，62ED DF cm ==如图，当点E 沿AC 方向下滑时，得△E D F '''，过点D '作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M90MD N '∴∠=︒，且90E D F '''∠=︒E D NF D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=︒，E D D F ''''=∴△D NE ''≅△()D MF AAS ''D N D M ''∴=，且D N AC '⊥，D M CM '⊥ CD '∴平分ACM ∠即点E 沿AC 方向下滑时，点D '在射线CD 上移动，∴当E D AC ''⊥时，DD '值最大，最大值2(1262)ED CD cm =-=-∴当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长2(1262)(24122)cm =⨯-=-如图，连接BD '，AD '，AD BABC AD CBD CSS SS'''∆=+-1111243(1243)2222AD BSBC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯当E D AC ''⊥时，AD BS'有最大值，AD B S '∴最大值21243(1243)62(243362126)2cm =-⨯．故答案为：(242)-，(243362126)【知识点】轨迹；全等三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；三角形的面积 三、解答题1. （2019重庆A 卷，20，10）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数；（2）求证：FB ＝FE ．【思路分析】（1）先利用“等边对等角”求出∠ABC 的度数，然后利用三角形内角和定理，得到∠BAC 的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出∠BAD 的度数；（2）由角平分线定义，得∠ABE ＝∠CBE ，再由平行线性质，得到∠FEB ＝∠CBE ，从而∠ABE ＝∠FEB ，于是FB ＝FE ． 【解题过程】（1）解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝36°．∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝108°． ∵AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点， ∴AD 平分∠BAC ．∴∠BAD ＝12∠BAC ＝54°．（2）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ． ∵EF ∥BC ，∴∠FEB ＝∠CBE ． ∴∠ABE ＝∠FEB ． ∴FB ＝FE ．【知识点】等腰三角形的性质与判定；角平分线定义；平行线的性质；三角形内角和定理．2. （2019重庆市B 卷，20，10）如图，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于点D ． （1） 若∠C=42°，求∠BAD 的度数；（2） 若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE=FE【思路分析】（1）根据∠C=42°,AB=AC 结合等腰三角形的性质及内角和180°可得顶角度数． 由AD ⊥BC 根据三线合一推出∠BAD 的度数为顶角一半．（2）根据EF ∥AC 可以得出内错角 ∠F=∠BAF,利用等角对等边得出结果． （3）考虑到△ABD 为直角三角形，也可以结合内角和算出∠BAD ． 【解题过程】第20题图FEDCBA（1）证明：（方法一）：∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°∵AD⊥BC∴∠BAD=12∠BAC=12×96°=48°（方法二）：∵AB=AC ∠C=42°∴∠B=∠C=42°∵AD⊥BC于点D∴∠ADB=90°∴∠BAD=180°－90°－42°=48°（2）证明：∵EF∥AC∴∠CAF=∠F∵AB=AC，AD⊥BC∴∠CAF=∠BAF∴∠F=∠BAF∴AE=FE【知识点】等腰三角形的性质，平行线性质，三线合一，等边对等角，等角对等边．3. （2019四川省眉山市，21，8分）如图，在四边形ABCD中AB∥DC，点E是CD的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．【思路分析】根据AE=BE，求出∠EAB=∠EBA，根据平行线的性质，可证∠DEA=∠CEB，进而利用三角形全等的判定和性质即可得证.【解题过程】证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠EBA，∴∠DEA=∠CEB，在△EDA和△CEB中，DE CEDEA CEBAE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDA≌△CEB（SAS），∴∠D=∠C.【知识点】等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定4. （2019江苏省无锡市，21，8）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O；求证：（1）△DBC≌△ECB;（2）OCOB=.OCBED第21题图【思路分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识.（1）利用边角边证明全等即可；(2)由全等得到等角，再得到等边.【解题过程】解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ECB=∠DBC，在△DBC与△ECB中，BD = CE，∠DBC =∠ECB，BC = CB，∴△DBC≌△ECB（SAS）；(2)证明：由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB=∠EBC，∴OB=OC.【知识点】考查全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质5. 2019浙江绍兴，23，8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，30AD=，10DM=．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90︒，点D的位置由ABC∆外的点1D转到其内的点2D处，连结12D D，如图2，此时2135AD C∠=︒，260CD=，求2BD的长．【思路分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然M AD∠不能为直角．当AM D∠为直角时，根据222AM AD DM=-，计算即可，当90ADM∠=︒时，根据222AM AD DM=+，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出1CD，再利用全等三角形的性质证明21BD CD=即可．【解题过程】解：（1）①40AM AD DM=+=，或20AM AD DM=-=．②显然M AD∠不能为直角．当AM D ∠为直角时，222223010800AM AD DM =-=-=， 202AM ∴=或(202-舍弃）．当90ADM ∠=︒时，2222230101000AM AD DM =+=+=，1010AM ∴=或(1010-舍弃）．综上所述，满足条件的AM 的值为202或1010．（2）如图2中，连接CD ．由题意：1290D AD ∠=︒，1230AD AD ==，2145AD D ∴∠=︒，12302D D =2135AD C ∠=︒，2190CD D ∴∠=︒，221212306CD CD D D ∴=+1290BAC A AD ∠=∠=︒， 2212BAC CAD D AD CAD ∴∠-∠=∠-∠，12BAD CAD ∴∠=∠，AB AC =，21AD AD =，21()BAD CAD SAS ∴∆≅∆，21306BD CD ∴==【知识点】等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定和性质。