河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
2023年3月河北省高中数学学业水平合格考试卷六(含答案详解)
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（六）一、选择题（本题共30小题，每题3分，共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}x x -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣2．若a b >，c d >则（）A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ac bd>D ．ad bc>3．设集合{|04}A x x =<<,{2,3,4,5,6}B =，则A B = （）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}4．已知某圆柱体的底面半径为2，高为3，则该圆柱体的侧面的面积为（）A ．3πB ．6C ．6πD ．12π5．下列统计量可用于度量样本1x ，2x ，3x ......，n x 离散程度的是（）A ．1x ，2x ，3x ......，n x 的众数B ．1x ，2x ，3x ......，n x 的中位数C ．1x ，2x ，3x ......，n x 的极差D ．1x ，2x ，3x ......，n x 的平均数6．若()31i 2i z +=，则z =（）A ．iB ．1i+C ．1i-+D ．22i-+7．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为（）A ．18000B ．15000C ．12000D ．100008．向量0a b ⋅= 是a b ⊥的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要9．设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -=，则2a b -等于（）A ．B C D ．11．已知2x >，则函数42y x x =+-的最小值是（）A ．8B ．6C ．4D ．212．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（）A ．3πB ．6πC ．23πD ．2π13．已知三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（）A ．π2B C ．3D 14．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是A ．B ．C ．D ．15．若函数()f x 的定义域是[0,4]，则函数()2()1f xg x x =-的定义域是（）A ．{|02x x ≤≤且}1x ≠B ．{|02x x <<且}1x ≠C ．{|08x x ≤≤且}1x ≠D ．{|08x x <<且}1x ≠16．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+O 的体积等于（）A ．3B ．3C D ．317．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠18．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .)cos cos sin c B b C a A +=，ABC 的面积)222S a b c =+-，当a =时，ABC 的内切圆的面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π19．已知三棱锥S ABC -为正三棱锥，且6AB =，SA =，点M 、N 是线段AC 、SB 的中点，平面α与平面SBC 没有公共点，且A ∈平面α，若l 是平面α与平面ABC 的交线，则直线l 与直线MN 所成角的正切值为（）A B C D 20．将函数2()2sin cos cos 2cos 1sin 222x x xf x ϕϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于y 轴对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．12-21．已知函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+的零点分别1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（）A ．231x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．321x x x <<22．已知定义在R 上的函数()[]f x x m =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，m R ∈，给出下列四种说法：①m ∃∈R ，使得()f x 是一个增函数；②m ∃∈R ，使得()f x 是一个奇函数；③m ∃∈R ，使得()f x 在区间[0,1]上有唯一零点.其中，正确的说法个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．323．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=，A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为624．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．2325．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11C D 、11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点，若//AP 平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．⎣B ．⎣⎦C ．⎣D ．⎣26．已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x xg x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（）A ．3B ．52-C ．2-D ．4327．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗ D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则1221a b x y x y ⊗=-29．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．12B 1-C 1+D ．1230．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣二、解答题（本题共1题，共10分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）31．已知平面向量1232a e e =-+ ，125b e e =+，其中()11,0e =u r ，()20,1e =u r ．(1)求a 与b的夹角θ；(2)若1242c e e =- 与ka b +共线，求实数k 的值．1．D 【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D 2．A 【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.【详解】A.根据不等式的性质可知，A 正确；B.若11>-，22>-，()1212-<---，可知B 不正确；C.若11>-，22>-，()()1212⨯=-⨯-，故C 不正确；D.若11>-，22>-，()()1212⨯-=-⨯，故D 不正确.故选：A 3．B 【分析】根据交集的概念可得答案.【详解】A B = {2,3}.故选：B 4．D 【分析】根据侧面积公式求解即可【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为22312ππ⨯⨯=故选：D 5．C 【分析】利用众数、中位数、极差、平均数的定义以及含义分析即可求解.【详解】解：众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平；中位数是统计数据中选取中间的数，是一种衡量集中趋势的数值；极差是用来表示统计资料中的变异数量，反应的是最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度；平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.故选：C 6．C 【分析】利用复数运算性质计算即可【详解】32i 2i 2i(1i)=1i 1i 1i 2z +===-++-故选：C 7．C 【分析】根据给出的数据算出事件发生的概率，再乘以总数即可.【详解】在随机抽取10人中，身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数为4人，所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 的概率为42=105，所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为230000=120005⨯人.故A ，B ，D 错误.故选：C.8．B 【分析】利用数量积的定义||||cos ,a b a b a b ⋅=<>判断即可【详解】由题意，向量垂直是对非零向量而言的，故充分性不成立；若a b ⊥ ，则,2a b π<>= ，cos ,0a b <>= ，故||||cos ,0a b a b a b ⋅=<>= 因此必要性成立故向量0a b ⋅= 是a b ⊥的充要条件故选：B 9．D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点.【详解】()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-∴z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D.10．A 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】由a b -=得a b -==两边平方得222525,0a a b b a b a b -⋅+=-⋅=⋅=，所以2a b -.故选：A 11．B 【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．12．A 【分析】先求得平移后的函数为cos 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎝⎭，再根据余弦函数的对称性列式求解即可【详解】将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到函数()cos 2cos 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为图象关于y 轴对称，所以23k πϕπ+=，k ∈Z ，则26k ππϕ=-，k ∈Z 故选：A.13．D 【分析】由条件可得球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，然后利用等体积法算出点A 到平面PBC 的距离，然后可得球A 与表面PBC的交线为以PBC .【详解】因为三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===所以球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，其长度为π2，设点A 到平面PBC 的距离为d ，因为AB AC AP ==，所以PBC 是边长为2的等边三角形，由P ABC A PBC V V --=可得11112232322d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以球A 与表面PBC 的交线为以PBC =的圆，其长度为3，因为π32>，所以以顶点A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为故选：D 14．D 【解析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案.【详解】当01a <<时，函数2x y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值22155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以2021551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值221524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题.15．A 【解析】由函数()f x 的定义域是[0,4]，可得04x ≤≤，从而024x ≤≤，解得02x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域是[0,2]，又10x -≠，得1x ≠，取交集可得函数()21f x x -的定义域，即可得到答案.【详解】由函数()f x 的定义域是[0,4]，可得04x ≤≤，从而024x ≤≤，解得02x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域是[0,2]又10x -≠，得1x ≠，函数()2()1f xg x x =-的定义域是{|02x x ≤≤且}1x ≠故选：A.【点睛】方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求[]()f g x 的定义域：求不等式()a g x b ≤≤的解x 的范围，即为[]()f g x 的定义域；（2）已知[]()f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：由a x b ≤≤确定()g x 的取值范围，即为()f x 的定义域.（3）已知[]()f g x 的定义域，求[]()f h x 的定义域：先由[]()f g x 的定义域，求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域，求得[]()f h x 的定义域.16．C 【分析】由条件可得球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.设球O 的半径为R ,则AB ==，可得SBC △为等边三角形，根据条件可得R =.【详解】四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,所以球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥为正四棱锥.设球O 的半径为R ，则AB ==,SB =SBC △为等边三角形，则221sin 602SBC S SB ==所以此四棱锥的表面积为22424SBC ABCD S S R +=+=+所以R =O 的体积3433V R π==.故选：C.【点睛】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.17．C 【解析】直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．18．D 【分析】利用三角形的面积公式与余弦定理可求得tan C 的值，进而可求得角C ，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得sin A 的值，可求得角A 的值，可判断ABC 的形状，利用等面积法可求得ABC 的内切圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.【详解】)cos cos sin 2c B b C a A +=，由正弦定理可得)()2sin sin cos cos sin A B C B C B C A =+=+=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故sin A =，因为)222S a b c =+-，则1sin 2cos cos 242ab C ab C C ==，则tan C =()0,C π∈ ，故3C π=，则203A π<<，因此，3A π=，所以，ABC 为等边三角形，设等边ABC 的内切圆半径为r ，则()12ABCS a b c r =++△，则2224136ABC S r a a b c a ====++△，因此，ABC 的内切圆的面积为2r ππ=.故选：D.19．D 【分析】由题意可知平面//α平面SBC ，利用面面平行的性质定理可得出//l BC ，然后取线段AB 的中点D ，连接DM 、DN ，可得出//DM BC ，由此可得出直线l 与直线MN 所成的角为DMN ∠或其补角，在 Rt DMN 中计算出tan DMN ∠，即可得解.【详解】因为平面//α平面SBC ，平面α 平面=ABC l ，平面SBC I 平面ABC BC =，所以//l BC ，取AB 中点D ，连接DM ，DN ，D 、M 分别为AB 、AC 的中点，则//DM BC ，所以//l DM ，同理//DN SA ，所以异面直线l 和MN 所成角即为DMN ∠或其补角.取BC 中点O ，则SO BC ⊥，AO BC ⊥，又SO AO O = ，所以BC ⊥平面SOA ，又SA ⊂平面SOA ，所以BC SA ⊥，所以DM DN ⊥.在 Rt DMN 中，132DM BC ==，12DN SA =，所以tan 3DN DMN DM ∠==.所以直线l 和MN 所成角的正切值为3，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查了面面平行性质定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．A 【分析】根据三角函数的二倍角公式和和差角公式先对函数()f x 化简为()()sin f x x ϕ=+，再由图象的平移得出函数()g x 的解析式，由函数的对称性可求得ϕ，可得选项.【详解】函数()()22sin cos cos 2cos 1sin sin cos cos sin sin 222x xxf x x x xϕϕϕϕϕ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为()sin 3g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由()sin 3g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得()g x 为偶函数，故32k ππϕπ+=+，Z k ∈，即6k πϕπ=+，Z k ∈.又2πϕ<，故6πϕ=，可得函数()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象平移，三角函数的奇偶性和对称性，属于中档题.21．A 【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．【详解】解：因为函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+，所以函数()f x ，()g x ，()h x 均为增函数，当0x >时，()330x g x x =+>恒成立，故()g x 的零点小于0，即20x <，当1x >时，3()log 30f x x x =+>恒成立，当13x =时，()0f x =，所以113x =，当0x =时，()0h x =，故30x =，故231x x x <<．故选：A ．22．B 【分析】举反例(0)(0.5)f f =和()0.50f =，()0.51f -=-，得到①②错误，计算1m =-满足有唯一零点，得到答案.【详解】①(0)[0]f m m =+=，(0.5)[0.5]f m m =+=，故①错误；②若m ∃∈R ，使得()f x 是一个奇函数，则(0)[0]0f m m =+==，()[]f x x =，()0.50f =，()0.51f -=-，故假设不成立，②错误；③当[)0,1x ∈时，()[]f x x m m =+=，当1x =时，()[]1f x x m m =+=+，当1m =-时，满足()f x 在区间[0,1]上有唯一零点，③正确.故选：B.23．C 【解析】当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；()12212122122x y x y t t t x y x t y txy ⎛⎫+=++=+++≥++++ ⎪⎝⎭，分别令129t ++和1225t ++即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：当2t =时，121x y+=，()122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，故选项A 不正确；对于选项B ：当8t =时，181x y+=，()188********25xx y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭12t =++129t ++即0==，即2t =，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭12t =++1225t ++即0+==，即8t =，当且仅当12128x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．B 【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.【详解】设k A ，k B 分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则()13k P A =，()12k P B =，（1k =，2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D ．则()()()()()()()()1111111212P D P A B P A B A P A P B P A P B P A =+=+212114.323239=⨯+=故选：B 25．C 【解析】分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，推导出平面//AMN 平面BDEF ，可得出点P 的轨迹为线段MN ，进而可求得线段AP 长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111//B A C D 且1111A D B C =，因为M 、F 分别为11A D 、11B C 的中点，则11//A M B F 且11A M B F =，所以，四边形11A B FM 为平行四边形，则11//A B MF 且11A B MF =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，//AB MF ∴且AB MF =，所以四边形ABFM 为平行四边形，可得//AM BF ，AM ⊄ 平面BDEF ，BF ⊂平面BDEF ，//AM ∴平面BDEF ，同理可证//AN 平面BDEF ，AM AN A = ，所以，平面//AMN 平面BDEF ，在线段MN 上任取一点P ，则AP ⊂平面AMN ，//AP ∴平面BDEF ，即点P 的轨迹为线段MN ，在AMN 中，AM AN ==MN =，当AP MN ⊥时，即当P 为MN 的中点，AP 的长度取最小值，即min2AP =，当点P 与点M 或点N 的重合时，AP 的长度取最大值，即max AP AM ==.因此，线段AP 长度的取值范围是2⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度取值范围的求解，解题的关键就是利用//AP 平面BDEF 推测出点P 的轨迹，一般利用线面平行的性质或面面平行的性质来找出动点P 的轨迹，在确定点P 的轨迹后，再利用几何知识求解.26．B 【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=，其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x xx x x x xx ---+⋅+⋅++-+====+++⋅，所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41xf x x =+-，所以()()2log 414122222x x xf x x x x +--+===+，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-，等价于()222223mh m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22 22324mm m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．27．D 【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()f x 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出ω的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个ω的范围，两个范围取交集即可求解.【详解】令2,222x k k ππωππ⎡⎤∈-+⎢⎣⎦，解得22,22k k x ππππωωωω⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，而函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以223230ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得304ω<≤，当[]0,x π∈时，[]0,x ωω∈π，因为|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，所以232πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1322ω≤<.综上所述，ω的取值范围是1324ω≤≤.故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得ω的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得ω的另一个范围.这里要注意，|()|1f x =说明()1f x =±，而根据题意，|()|1f x =只有一个解，所以()f x 只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现()f x 只能等于1.如果能够取到1-，那么根据自变量的范围，此时()f x 肯定也可以取1，所以舍去.28．D【分析】A ．按λ的正负分类讨论可得，B ．由新定义的意义判断，C ．可举反例说明进行判断，D ．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．【详解】A ．()sin ,a b a b a b λλλ⊗=<> ，0λ>时，,,a b a b λ<>=<> ，()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=<>=⊗ ，0λ=时，()()0,0a b a b λλ⊗=⊗=，成立，0λ<时，,,a b a b λπ<>=-<>，sin ,sin(,)sin ,a b a b a b λπ<>=-<>=<>()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=-<>=-⊗ ，综上，A 不恒成立；B ．a b ⊗ 是一个实数，()a b c ⊗⊗ 无意义，B 不成立；C ．若(0,1),(1,0)a b == ，(1,1)c = ，则(1,1)a b += ，,0a b c <+>= ，()sin 000a b c a b c +⊗=+== ，,,,44a c b c ππ<>=<>= ，()()1sin 1sin 244a cbc ππ⊗+⊗=+= ，()()()a b c a c b c +⊗≠⊗+⊗ ，C 错误；D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则a =b =cos ,a b <>=，sin ,a b <>== ，所以1221sin ,a b a b a b x y x y ⊗=<>=- ，成立．故选：D ．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin ,a b <> 用cos ,a b <> ，而余弦可由数量积进行计算．29．D【分析】分离变量将问题转化为a 0,0x y >>的最(0)t t =>及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，a 0,0x y >>恒成立，1x =+(0)t t =>2111t t x +=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m y t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a故选：D.30．A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C A A C b c C⎛⎫++= ⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C A B b c C⎛⎫+= ⎝⎭即cos cos 3sin B C A b c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴b = 3B π=∴1sin sin sin a b c A B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b c r A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2a A r =，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=31．(1)3π4;(2)7-.【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量的夹角公式计算求解即可；（2）由共线向量的坐标表示求解即可.【详解】（1）因为()11,0e =u r ，()20,1e =u r ，所以1232(3,2)a e e =-+=- ，125(5,1)b e e =+= ，35213a b →→⋅=-⨯+=-，||||a b →→==，cos2||||a ba b θ→→→→⋅∴==-，0θπ≤≤Q ，3π4θ∴=.（2）1242(4,0)(0,2)(4,2)c e e =-=-=- ，(3,2)(5,1)(53,21)ka b k k k +=-+=-+ ，1242c e e =- 与ka b + 共线，4(21)2(53)0k k ∴++-=，解得7k =-.即实数k 的值为7-.。
2025届河北省正定中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
2025届河北省正定中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．42．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B = A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}04x x <≤ D ．{}14x x -≤≤ 3．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A ．3B ．13C ．2D ．124．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧ 6．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(,)e -∞ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(0,)e7．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．78．已知函数()(0)f x x x x =->，()x g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<9．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ） A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>-D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 10．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．31- B ．31+ C ．132+ D ．132-11．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ）A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.812．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ）A ．﹣21B ．﹣24C ．85D ．﹣85二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：河北省2020年9月普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
A. 2
B. 2
8. 若两个单位向量 a, b 互相垂直，则 a b （
1 C.
2 ）．
D. 1
D. 1 2
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
9. 下列函数中，在 0, 上是增函数的是（ ）．
A. y ex
B. y x3
C. y ln 1 x
D. y sin x
10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是 CC1 的中点，则异面直线 A1E 是 AD1 所成角的余弦值等于（ ）．
故选：A.
4. 若角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴，且终边经过点 P 12,5 ，则 sin （ ）．
12
A.
13
5
B.
13
C. 12 13
D. 5 13
【答案】B
【解析】 【分析】 根据任意角的三角函数的定义，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】因为角 终边经过点 P 12,5 ，
0.100
0.075
0.075
A. 108
B. 108.5
C. 109
D. 109.5
30. 为了解全年级 1180 名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了 80 份试卷并对试
卷得分(满分：150 分)进行了整理，得到如下频率分布表：
分 60, 70 70,80 80,90 90,100 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
B. x kπ π ， k Z 3
C. x 2kπ π ， k Z 6
D.
x
kπ
π 6
，
k
河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
2020年12月河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)参考公式：柱体的体积公式：V=Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)锥体的体积公式：V=31Sh(其中S 为锥体的底面面积，h 为高) 台体的体积公式：V=)(31''S S S S ++h(其中S ′、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高)球的体积公式：V=π34R 3(其中R 为球的半径) 球的表面积公式：S=4πR 2(其中R 为球的半径)一、选择题 (本题共30道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．若集合A=N ，B={x ||x |≤1}，则A ∩B=A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{x|-1≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤1} 2．tan120°=A ．33-B ．33 C ．3- D ．3 3．等差数列{a n}的通项公式为a n =3n-1，则它的公差是A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量a =(1，-1)，b =(-1，2)，则|2a +b |=A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a>b ，则下列不等式成立的是A ． a 2>b 2B ．b a >1 C ．b a 2121< D ． lg(a-b)>0 6．在等差数列{a n }中，a 3=2，a 6+a 10=17，则a 13A ．31B ．64C ．15D ．30 7．对任意实数x ，不等式x 2-2x -a ≥0恒成立，则实数a 取值范围是A ．a ≥-1B ．a ≤-1C ．a <-1D ．a >-1 8．已知点A(2，-1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．2x 十y -3=0B ．2x -y -1=0C ．x -2y +1=0D ．x +2y -3=0 9．函数f (x )=2x +3x 的一个零点所在的区间是A ．(-2，-1)B ．(-1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)10．假设某车站每隔5分钟发一班车，若某乘客随机到达该车站，则其等车时间不超过3分钟概率是A ．51 B ．52 C ． 53 D ．54 11．已知平面α⊥平面β，α∩B=l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A ．m ∥lB ．m ∥nC ．m ⊥nD ．n ⊥l12．若实数x ，y 满足 则z=x-3y 的最小值是 A ．34-B ．-10C ．-8D ．4 13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A ．21B ．33C ．36D ．45 14．若53cos -=α，παπ<<2，则sin α= A ．2512 B ．2512- C ． 2524 D ．2524-15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A ．23B ．3C ．0D ．21 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a tanC= c sinA ，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形17．函数f (x )=sin(ϕω+x )(ω>0，0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，8π B ．1，85πC ．2，4π D ．2，43π18．在直角三角形ABC 中，A=90°，AB=2，则AB ·BC = A ．-4 B ．4C ．-8D ．819．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2-a n ，则S 5=x+2≥0y ≥x x+2y-2y ≤0A ．31B ．63C ．1631 D ．3263 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=60°，a =1，b =3，则c ＝A ．1B ．2C ．2D ．3 21．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1，CA ⊥CB ，CC 1⊥底面ABC ，则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值是A ．33 B ．36 C ．22D ．3222．右面茎叶图表示是甲、乙两人在5次综合测评成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩概率是A ．54 B ．53C ．52 D ．5123．已知函数y =f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+ax ，且f (1)=2，则a ＝A ．-1B ．1C ．-3D ．3 24．若直线x+y+1=0与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m=A ．1B ．17C ．9-22D ．9+22 25．已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．[1，+∞)B ．[2，+∞)C ．(－∞ ，1 ]D ．(－∞ ，2 ] 26．若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．627．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱侧面积之比是A ．3：2B ．2：3C ．1：2D ．1：128．三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，已知G 为△ABC 的 重心，AB =a ，AC =b ，则BG =A ．32-a +31b B ．31-a －31bC ．32-a －31bD ．31-a +32b29．过坐标原点O 的直线l 与圆C ：4)32(22=+-y x 交于A ，B 两点，若OA OB 2=，则A ．63±B ．33± C ．±1 D ．3±30．若对函数y =f (x )图象上任意一点A ，在其图象上均存在点B ，使得OA ⊥OB(O 为坐标原点)则称该函数为“好函数”，给出下列4个函数：①f(x)=x1; ②f (x )=x +1; ③f(x)=-x 2+2x +3; ④f (x )=2x 其中“好函数”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、解答題(本题共3道小题，31题6分，32题7分，33题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程)31．已知数列{a n }为等比数列，且a 1=1，8a 2-a 5=0(I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n +1}的前n 项和S n 。
2023-2024学年河北省唐山市高一上册学业水平调研数学试题(含解析)
2023-2024学年河北省唐山市高一上册学业水平调研数学试题一、单选题1．已知集合{}21xM x =≤，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．(],1-∞D ．[]1,1-【正确答案】B【分析】根据指数函数的单调性求出集合M ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}210xM x x x =≤=≤，所以[]1,0M N ⋂=-.故选：B.2．()3in 0s 3-︒=（）A ．12B ．2C ．12-D ．【正确答案】A【分析】由诱导公式一求解即可.【详解】()()1sin 330sin 36030sin 302-︒=-︒+︒=︒=故选：A3．命题“0x ∃>，sin 0x x -≤”的否定为（）A ．0x ∀≤，sin 0x x ->B ．0x ∃>，sin 0x x -≤C ．0x ∀>，sin 0x x ->D ．0x ∃≤，sin 0x x ->【正确答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】由题意知命题“0x ∃>，sin 0x x -≤”为存在量词命题，其否定为全程量词命题，即0x ∀>，sin 0x x ->，故选：C4．若幂函数()af x x =的图象经过第三象限，则a 的值可以是（）A ．2-B ．2C ．12D ．13【正确答案】D【分析】根据幂函数的图象和性质，一一判断各选项，即得答案.【详解】当2α=-时，()2f x x -=为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A 不合题意；当2α=时，()2f x x =为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，图象不经过第三象限，B 不合题意；当12α=时，()12,[0,)x f x x ∈=+∞，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C 不合题意；当13α=时，()13,R f x x x =∈为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D 符合题意，故选：D5．方程22log 6x x +=的解一定位于区间（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】C【分析】令()22log 6f x x x =+-，再根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】令()22log 6f x x x =+-，定义域为()0,∞+，因为函数22,log 6y x y x ==-在()0,∞+都是增函数，所以函数()22log 6f x x x =+-在()0,∞+是增函数，又因为()()2241610,33log 30f f =+-=-<=+>，则()()230f f <，所以函数()22log 6f x x x =+-在区间()2,3上，即方程22log 6x x +=的解一定位于区间()2,3上.故选：C.6．已知函数()f x 满足()()2f x f x x +-=，则()1f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【正确答案】A【分析】分别令1x =，=1x -，然后解方程组可得.【详解】分别令1x =，=1x -，则(1)2(1)1(1)2(1)1f f f f +-=⎧⎨-+=-⎩，解得(1)1f =-.故选：A7．已知x ∈R ，则“311x ≥+”是“2x ≤”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先解不等式，然后根据集合的包含关系可得.【详解】不等式3321100111x x x x -≥⇔-≥⇔≤+++，解得12x -<≤记{|12}A x x =-<≤，{|2}B x x =≤因为A B Ü，所以“311x ≥+”是“2x ≤”成立充分不必要条件.故选：A8．下列结论正确的是（）A ．0.90.4448<B ．0.12log 0.22>C>22a b >D >，则22a b >【正确答案】D【分析】根据指数函数的单调性即可判断A ；根据指数函数与对数函数的单调性结合中间量法即可判断B ；根据不等式的性质即可判断CD.【详解】对于A ，因为0.9 1.80.44 1.3242,82==，所以 1.8 1.3222>，即0.90.4448>，故A 错误；对于B ，因为0.1022log 0.2log 10,221<=>=，所以0.12log 0.22<，故B 错误；对于C ，当1,8a b ==-12=-，此时22164a b =<=，故C 错误；对于D >0a b >≥，所以22a b >，故D 正确.故选：D.二、多选题9．将函数πsin 236x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的16，纵坐标不变；再向右平移π3个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()cos 2g x x=B ．函数π4y g x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭为奇函数C ．()g x 的图象关于点()π,0对称D ．()g x 的图象关于直线π2x =对称【正确答案】BD【分析】根据周期变换和平移变换的原则求出函数()g x 的解析式，再根据正余弦函数的性质逐一判断即可.【详解】函数πsin 236x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的16，可得πsin 226y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再向右平移π3个单位长度，可得πππsin 22sin 22cos 2362y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后再向下平移2个单位长度，可得()cos 2g x x =-，故A 错误；πcos 2sin 22π4x x y g x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝+⎭⎭=⎝，因为()πsin 2π4sin 24g x x x g x ⎛⎫⎛⎫=-=-=-+⎪ ⎪+⎭⎝-⎝⎭，所以函数π4y g x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确；因为()πcos 2π1g =-=-，所以点()π,0不是函数()g x 的对称中心，故C 错误；因为πcos π12g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于直线π2x =对称，故D 正确.故选：BD.10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b +>D ．关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为{}31x x -<<-【正确答案】BC【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得()3,40a c b c a ==-<，进而结合选项即可求解.【详解】由不等式20ax bx c ++>的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以13和1是方程20ax bx c ++=的两个根，由根与系数的关系可得113113b ac a ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得()3,40a c b c a ==-<，故A 错误，B 正确，0a b c +=->，故C 正确，不等式20cx bx a ++>变为22430430cx cx c x x -+>⇒-+<，解得{}13x x <<，故D 错误，故选：BC11．定义域为R 的函数()f x 满足()()2f x f x +=，()()2=f x f x -，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，已知()112g x x =-，则（）A ．()f x 的最大值是1B ．()()515g f =C ．()()50f g =D ．()f x 与()g x 的图像有4个交点【正确答案】ACD【分析】根据()f x 的对称性以及周期性即可判断ABC,根据画图，即可根据函数图象的交点个数求解.【详解】对于A ，由于()21xf x =-在[]0,1x ∈单调递增,故此时()()max 11f x f ==，由()()2=f x f x -可知()f x 关于1x =对称，故[]0,2x ∈的最大值也为1,又()()2f x f x +=知()f x 是周期为2的周期函数，因此在定义域内，()max 1f x =，故A 正确，对于B,()()511f f ==，所以()()()510g f g ==，故B 错误，对于C,()()()()()52,5200g f g f f =∴===，故C 正确，对于D ，在同一直角坐标系中，画出()(),f x g x 的图象如下图，即可根据图象得两个函数图象有4个交点，故D 正确.故选：ACD12．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A ．sin()sin sin αβαβ+<+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+【正确答案】AD【分析】根据和角公式结合正弦余弦函数的性质判断AB ；取15αβ==︒判断C ；由0ααβπ<<+<结合余弦函数的单调性判断D.【详解】因为α，β是锐角，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin 1sin 1sin sin αβαβ<⋅+⋅=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+cos 1cos 1cos cos βααβ<⋅+⋅=+，故A 正确，B 错误；当15αβ==︒时，cos()cos30αβ+=︒=sin sin sin15sin15αβ+=︒+︒=（其中sin15=︒4=），22>，故C 错误；因α，β是锐角，则0ααβπ<<+<，而函数cos y x =在(0,)π上单调递减，于是得cos()cos αβα+<，又cos 0β>，有cos()cos cos αβαβ+<+，D 正确.故选：AD三、填空题13．23log 3log 4⨯=______．【正确答案】4【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.【详解】23log 3log 4⨯lg3lg4lg32lg2224lg2lg3lg2lg3=⨯⨯=⨯⨯=.故答案为.414．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin πα-，则tan 2α=______．【正确答案】【分析】根据诱导公式以及同角关系可得sin tan cos ααα==入求解.【详解】由()sin π3α-=得sin 3α=，由π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 3α==-，故sin tancos ααα==由二倍角公式得22tan tan 21tan ααα===-故15．已知正数,x y 满足30x y xy +-+=，则xy 的最小值为_______．【正确答案】9【分析】利用基本不等式，结合解一元二次不等式，即可求得答案.【详解】对于正数,x y ,有x y +≥当且仅当x y =时取得等号，故由30x y xy +-+=得3xy x y -=+≥，即3xy -≥，所以1)0≥3≥1≤-（舍去）,故9xy ≥，即xy 的最小值为9，当且仅当3x y ==时取最小值，故9四、双空题16．已知函数()23,11,1mx mx x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩①当1m =时，不等式()30f x ->的解集为______；②若()f x 是定义在R 上的增函数，则实数m 的取值范围为______．【正确答案】()2,+∞2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】①分类讨论解分段函数不等式；②分段函数单调递增等价于各分段单调递增以及分段处单调递增，分别根据二次函数性质、幂函数性质列式求解即可.【详解】①1m =时，()23,11,1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，由()30f x ->得223333002411x x x x x ⎧⎛⎫⎧-+->-+<⎪ ⎪⇒⇒⎨⎨⎝⎭≤⎩⎪≤⎩x 无解，或13021x x x +->⎧⇒>⎨>⎩.故所求解集为()2,+∞；②()f x 是定义在R 上的增函数等价于()23,1g x x mx x =-+≤单调递增，()1,1m h x x x =+>单调递增，且()()11g h ≤，则有31220131311m mm m m ⎧≥⎪⎪>⇒≤≤⎨⎪-+≤+⎪⎩，故实数m 的取值范围为2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故()2,+∞；2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.五、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--≤，{}B x x a =<．(1)当0a =时，求A B ⋃，()R A B ð；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){|3}A B x x =≤ ，()R {|03}A B x x =≤≤ ð(2)(3,)+∞【分析】（1）先解不等式得集合A ，然后根据集合运算可得；（2）利用数轴分析可解.【详解】（1）解不等式2230x x --≤，得{}13A x x =-≤≤当0a =时，{}0B x x =<，所以{|3}A B x x =≤ 因为{|0}R B x x =≥ð，所以()R {|03}A B x x ⋂=≤≤ð（2）因为A B A = ，所以A B⊆所以3a >，即实数a 的取值范围为(3,)+∞18．已知函数()22cos sin 6πf x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的最小值及此时对应的x 值．【正确答案】(1)()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)5π12x =-时，()min 32f x =【分析】（1）先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的单调性可得；（2）根据x 的范围求得π23x +的范围，然后由正弦函数的性质可解.【详解】（1）()1cos 21cos 21333π32cos 222222223x x f x x x x π⎛⎫+- ⎪⎫-⎛⎫⎝⎭=-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2πππ2333x -≤+≤故当ππ232x +=-，即5π12x =-时，()min 5π3π3sin 12222f x f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知函数()2ln2x f x x-=+．(1)判断()f x 在定义域内的单调性，并给出证明；(2)求()f x 在区间[]1,1-内的值域．【正确答案】(1)单调递减，证明见解析(2)1ln ,ln 33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用复合函数的单调性性质，结合对数函数与反比例函数的单调性，可得答案，利用单调性的定义证明即可；（2）根据（1）所得的函数单调性，可得其最值，可得答案.【详解】（1）由函数()()2424ln ln ln 1222x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，则函数()f x 在其定义域上单调递减.证明如下：由函数()2ln2xf x x -=+，则202x x->+，()()220x x -+>，()()220x x -+<，解得22x -<<，即函数的定义域为()2,2-，取任意()12,2,2∈-x x ，设12x x <，()()12121212122222lnln ln 2222x x x x f x f x x x x x ⎛⎫---+-=-=⋅ ⎪+++-⎝⎭()()2112121242ln 42x x x x x x x x +--=+--，由12x x <，则12210x x x x -<<-，即()()121221124242x x x x x x x x +--<+--，故()()2112121242142x x x x x x x x +-->+--，所以()()12f x f x >，则函数()f x 在其定义域上单调递减.（2）由（1）可知函数()f x 在其定义域上单调递减，则函数()f x 在[]1,1-上()()max 1ln 3f x f =-=，()()min 11ln 3f x f ==，所以函数()f x 在[]1,1-上的值域为1ln ,ln 33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*N x x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．【正确答案】(1)()232402000,04649002830,4620x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪+⎝⎭⎩(2)年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.【分析】（1）分046x ≤<和46x ≥两种情况分别求出年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式，即得答案；（2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案.【详解】（1）由题意可得∶当046x ≤<时，225003260200032000240y x x x x x =--=---+，当46x ≥时49004900500(5014830)20002830()2020y x x x x x =-+--=-+++,所以年利润y （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式为：()232402000,04649002830,4620x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪+⎝⎭⎩.（2）由（1）得046x ≤<时，22320003(40+2800240y x x x =--=+--），此时40x =（百台）时，max 2800y =（万元），当46x ≥时，49002830(285022850270271020y x x =-+≤--⨯=+），当且仅当4900+2020x x =+，即50x =时等号成立，max 2710y =（万元），而28002710>，故40x =（百台）时，利润最大，综上所述：年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.21．已知定义域为[],21a a --的偶函数()f x ，当021x a ≤≤-时，()cos f x x x =-+．(1)求实数a 的值及()f x 的解析式；(2)解关于t 的不等式()()12f t f t <-．【正确答案】(1)1a =，()cos ,10cos ,01x x x f x x x x +-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩(2)1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称即可求出1a =，令10x -≤<，则01x <-≤，根据函数为偶函数即可求得10x -≤<时，函数的解析式，即可得解；（2）先判断函数在[]0,1上的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可，注意函数的定义域.【详解】（1）因为定义域为[],21a a --的偶函数()f x ，所以210a a -+-=，解得1a =，则函数()f x 的定义域为[]1,1-，又当021x a ≤≤-时，即当01x ≤≤时，()cos f x x x =-+，令10x -≤<，则01x <-≤，()()()()cos cos f x x x x x f x -=--+-=+=，所以()cos ,10cos ,01x x x f x x x x +-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩；（2）当01x ≤≤时，()cos f x x x =-+，因为函数,cos y x y x =-=在[]0,1上都是减函数，所以函数()f x 在[]0,1上是减函数，又函数函数()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，所以关于t 的不等式()()12f t f t <-，即为12111121t t t t ⎧>-⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得113t <<，所以关于t 的不等式()()12f t f t <-的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．如图，长方形ABCD，AB =8AD =，Rt MPN △的直角顶点P 为AD 中点，点M 、N 分别在边AB ，CD 上，令ππ63DPN θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭．(1)当tan θ=时，求梯形BCNM 的面积S ；(2)求MPN △的周长l 的最小值，并求此时角θ的值．【正确答案】(2)当4πθ=时，min 1)l =.【分析】（1）在,DPN APM △△中，由直角三角形的边角关系得出,NC MB ，进而得出梯形BCNM 的面积S ；（2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出sin cos 14sin cos l θθθθ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可.【详解】（1）tan 42DN DP θ===DPN PMA θ∠=∠= ，tanPA PMA AM ∴∠==，43AM ∴=⨯3NC MB ∴==18323S ⎛⎫∴=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭（2）由（1）可知，44,cos sin PN PM θθ==4sin cos MN θθ∴===⋅444sin cos 14cos sin sin cos sin cos l θθθθθθθθ++⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭sin cos4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，57,41212πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，sin 4πθ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦令1sin cos 2t θθ++=∈⎢⎣，则()21sin cos 12t θθ=-，即28(1)811t l t t +==--当t =，即4πθ=时，min 1)l =.。
河北省高二普通高中学业水平(12月)考试数学试题
河北省2012年高二普通高中学业水平（12月）考试数学试注意事项：1本试卷共4页，包括两道大题，33道小题，共100分，考试时间120分钟.2 •所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效•答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3•做选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，请用橡 皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案.4 .考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回. 参考公式:柱体的体积公式： V = Sh （其中S 为柱体的底面面积，h 为高） 锥体的体积公式： 1 V =ySh （其中S 为锥体的底面面积，h 为咼） 台体的体积公式：AV = y （S + SS + S ）h （其中S 、S 分别为台体的上、下底面面积,h 为高）球的体积公式：V = y r ：R 3 （其中R 为球的半径）球的表面积公式：S = 4二R 2 （其中R 为球的半径）、选择题（本题共 30道小题，1- 10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分•在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. sin 150 =_322•已知集合 A = {1 , 2, 3, 4} , B = {2 , 4,B . 1个C . 2个3.函数f （x ） = sin@x +才）（x € R ）的最小正周期为6. 在等比数列{a n }中，a 1= 1, a 5= 4，贝V a 3=A . 2B . — 217. 函数f(x)= log 2 x —1的零点所在区间是JIA .B .二4. 不等式（x - 1）（x + 2）V 0的解集为 A . （— s, — 1） U （2 ,+s ） C . （ — s,— 2） U （1 ,+s ）5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是 A .圆锥C .棱锥C . 2二B . (— 1 , 2) D . ( — 2, 1)B .棱柱 正视图俯视图侧视图D .圆柱 6｝，贝U A n B 中的元素个数是 C .± 2D . .22)B . ，1)&过点A(1 , — 2)且斜率为3的直线方程是 A . 3x — y — 5= 0C . 3x — y + 1 = 0 A . (0, c . (1, 2)D . (2, 3)3x + y — 5 = 0 3x + y — 1 = 0 9.长方体的长、宽、高分别为 2, 2, 1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积 D . 36 二 C . 24二 B . 9 二 10.当 0 v a v 1 时, 11.将函数 y = sin2x (x € R )图象上所有的点向左平移 个单位长度，所得图象的函数解 6析式为 A . y = sin @x — g) (x € R ) y = sin (?x + ^g )(x € R ) C . y = sin (?x — 3)y = sin @x + ―) (x € R ) 12 .某单位有青年职工 160人，中年职工人数是老年职工人数的 2倍，老、中、青职工共有 430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年 职工32人，则该样本中的老年职工人数为 A . 16 B . 18(x € R ) C . 27 D . 3613 .下列函数中，既是偶函数又在 (0,+^ )上单调递增的函数是 1 A . y =—x C . y =— x 2 + 3 B . y = cosx D . y = e |x| 14 .在厶ABC 中，a 、b 、c 分别为角 A 、B 、C 的对边，若 c = 1, A . 3 B . 3 C . .5 f,2x + 1 , x > 0, Jx| ,15 .已知函数f(x) = 16 .从集合｛1 , 2, 3, 4, b ,贝U b >a 的概率是 1 A . 5 b = 2, C = 30，贝V a =D . 1X V 0 且 f (x 0) = 3,则实数 X 0 = 5｝中随机选取一个数为 a ,从集合｛1 , 2, 3｝中随机选取一个数为17 .若等差数列｛a n ｝的前5项和S 5=青，则tana 3 =A. .3 B . — .3 C . 3 D •- 318•已知向量a = (1, 0), b = (--2, 貞 贝U a 与b 的夹角为A . 30 sB . 60°C . 120°D . 150° 甲乙 19.函数 y "2x- 1的定义域是2 0.04 1 2 36A . (0,+^ )B . [0,9 3 0.05 9+ )6 310.06 29 C . (1 ,+s )D . [1 ,3 310.07 9+ ^)640.0838 920. PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据北京某日早 7点至晚8点甲、乙两个 PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，如图，则甲、乙两地所测数据的中位数 较低的是A .甲B .乙C .甲乙相等D .无法确定21 .下列命题中正确的是（）A .若直线 m//平面二，直线n 二:;，则 m//n B. 若直线m 丄平面：•，直线n 二:工，则m 丄n C.若平面 W /平面直线 m =口，直线n =伏贝U m//nD .若平面：丄平面3,直线m :■,贝U m ± i① 若直线y = &x + b 1与直线y = k 2x + b 2垂直，则 佥炬=—1; ② 若向量a , b 满足a • b = 0，贝U a = 0或b = 0; ③ 若实数a , b , c 满足b 2= ac ,则a , b , c 成等比数列.22.在下列直线中，与圆 x 2 + y 2+ 4x — 2y + 4= 0相切的直线是 A . x = 0 B . y = 0 C .D . x — y = 023. 某程序框图如x + y = 0f(x)= — , f(x) = x 2, f(x) = e x , f(x) x 24.25. =sinx ,则可以输出的函数是2 A . f (x)= x 2C . f (x)= e x在厶ABC 中，龜2+走V 0，则△ ABC 为 A .锐角三角形 C .钝角三角形B .直角三角形 D .锐角或钝角三角形现有下列四个命题:f(x)二 f (x)= sin x其中真命题的个数是 A . 026.已知函数f(x)=〔 3sin2x + 2cosx,则函数f(x)最大值为()A . 2B . 2 3C . 3D . 2 .3+ 227 .如图，点(x, y)在四边形 OACD 所围成的区域内(含边界)，若(1, 是目标函数z=mx -y 唯一的最优解，则实数 m 的取值范围是A . (- 1 ,+8 )B . (-m,- 2)D . (-m,- 2) U (- 1 ,+m )28.定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的*也€ (-m,。
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟(八)数学试题(含答案解析)
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（八）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}|3213A x x =-≤-<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，则A B = （）A ．{}|12x x -≤<B ．{}|12x x -<≤C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-2．已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1，z 是z 的共轭复数，则zz=（）A ．34i55-+B ．34i 55--C ．34i55+D ．34i55-3．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论不正确的是（）A ．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量B ．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增C ．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿D ．第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数4．如图，某几何体的平面展开图为6个小正方形组合而成的图形，则在原几何体中AB 与CD 所成角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π5．复数z 满足||1z =，则|1i |z --的最大值为（）A 1B ．1C D 16．已知111333332,,555a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c<a<bD ．a c b<<7．已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -=，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．“12x x >”是“3312x x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B = ，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知向量()1,1a =- ，()2,b x =，若()2a a b ⊥+ ，则x 的值为（）A ．2B ．-2C ．6D ．-611．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为（）A ．18000B ．15000C ．12000D ．1000012．已知2x >，则函数42y x x =+-的最小值是（）A ．8B ．6C ．4D ．213．设集合{|04}A x x =<<,{2,3,4,5,6}B =，则A B = （）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}14．已知ln 2a =，ln 22b -=，()lg ln 2c =，则（）A ．a c b>>B ．b c a>>C ．b a c >>D ．a b c>>15．若3π4sin 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2=α（）A ．2425-B ．725C ．725-D ．242516．向量0a b ⋅= 是a b ⊥的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要17．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 一定是（）A ．正方形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形18．已知a ∈R ，若复数22i z a a a =++是纯虚数，则=a （）A ．0B ．2C ．1-D ．2-19．设复数122ω=-+，其中i 为虚数单位，则231ωωω+++=（）A ．0B ．1C ．i D ．1-20．设向量a ，b的模分别为2和3，且夹角为120°，则a b + 等于（）AB ．13C ．7D21．已知实数a ，b ，c 满足1ln ba e c==，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>22．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（）A ．3πB ．6πC ．23πD ．2π23．已知复数21i 1z =+-，则=z （）A ．0B ．1C D ．224．已知向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= ，则2a b - 等于（）A ．BCD ．25．若复数z 满足()2i z ⋅+=i 是虚数单位，则z z ⋅的值为（）A B ．2CD ．326．下表为随机数表的一部分：080151772745318223742111578253772147740243236002104552164237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（）A ．11B ．15C ．25D ．3727．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}x x -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣28．函数1()sin 222f x x x =-的单调递增区间为（）A ．52,2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．511,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 29．设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限30．已知三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP两两互相垂直，AB AC AP ===，以顶点A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（）A ．π2B．3C．3D．3二、解答题31．已知函数()1010ax x f x x x-≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，，且()20f =.(1)求()()1f f ；(2)若()f m m =-，求实数m 的值.参考答案：1．C【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-<=-≤<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，所以A B = {}1,1-，故选：C 2．D【分析】依题意2i z =+，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：由题知2i z =+，则2i z =-，所以()()()()()22i 2i 2i 2i 34=i 2i 2i 2i 555z z ----===-++-.故选：D.3．C【分析】对于A ，计算出第五次总人数增长量和第四次总人数增长量即可判断；对于B ，由题意可得我国城镇人口数量逐次递增即可判断；对于C ，计算出第三次全国人口普查城镇人口数即可判断；对于D,计算出第七次全国人口普查城镇人口数即可判断.【详解】解：对于A,与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量为12658311336813215-=万，第四次总人数增长量为11336810081812550-=万，故A 正确.；对于B ，对比这7次全国人口普查结果，人口总数以及城镇人口比重都在增长，所以我国城镇人口数量逐次递增，故B 正确；对于C ，第三次全国人口普查城镇人口数约为10081820.91%2108120000⨯≈>万，故C 不正确；对于D,第七次全国人口普查城镇人口数约为14117863.89%9019870000⨯≈>万，D 正确.故选：C.4．C【分析】先得出该几何体的直观图，再由//AB ED 以及等边三角形的性质得出AB 与CD 所成角.【详解】该平面展开图为正方体的平面展开图，该几何体的直观图如图所示，把AB 平移到DE 位置，则CDE ∠为AB 与CD 所成的角，连接CE ，易知CDE 为等边三角形，所以3CDE π∠=.故选：C.5．D【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】复数z 满足||1z =，其对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点，复数|1|z i --几何意义是复数z 对应的点到点(11)B ，的距离，所以|1i |z --的最大值为+1=OB 1，故选：D.6．C【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.【详解】11333355b -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数13y x =是实数集上的增函数，所以由531352>>可得：111333532355⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝>⎝⎭>⎭，即c<a<b ，故选：C 7．C【分析】对等式22a b -=两边平方即可求得夹角.【详解】 |2|2a b -= ，224a b ∴-= ，即22444a a b b -⋅+=，即2244cos 4a a b b θ-+=，又21b a == ，，48cos 44θ∴-+=，解得1cos 2θ=，[0,]θπ∈，所以60θ=︒.故选：C 8．A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】由不等式性质由12x x >得333122x x x >≥，充分性满足，但11x =，22x =-时，满足3312x x >，但不满足12x x >，不必要．应为充分不必要条件．故选：A ．9．B【分析】由交集的结果，根据233a +≥及集合的性质，即可求a 的值.【详解】由{}1A B = ，而233a +≥，故1a =，故选：B.10．C【分析】根据向量的坐标运算，求得()24,2a b x +=-，结合向量垂直的条件和数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量()1,1a =- ，()2,b x = ，可得()24,2a b x +=-，因为()2a a b ⊥+ ，则()2420a a b x ⋅+=+-= ，解得6x =.故选：C .11．C【分析】根据给出的数据算出事件发生的概率，再乘以总数即可.【详解】在随机抽取10人中，身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数为4人，所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 的概率为42=105，所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为230000=120005⨯人.故A ，B ，D 错误.故选：C.12．B【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．13．B【分析】根据交集的概念可得答案.【详解】A B = {2,3}.故选：B 14．D【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到a c >且b c >，令ln 2x =，设()2xf x x -=-，结合函数的单调性与最值，得出a b >，即可求解.【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得0ln1ln 2ln 1e =<<=，即01a <<，ln 2ln 212()02b -==>，()lg ln 2lg(ln )0c e =<=，所以a c >且b c>令ln 2x =，因为232e e <<，所以213x <<，设()2xf x x -=-，则函数()f x 在2(,1)3上为单调递增函数，所以()123322432()2336f x f --⨯>=-=，因为3464=且133(32)54⨯=，所以13334(32)>⨯，所以()132432()036f x f -⨯>=>，所以a b >，所以a b c >>.故选：D.15．B【分析】利用诱导公式得到4cos 5α=-，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】3π4sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故4cos 5α=-，2247cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B16．B【分析】利用数量积的定义||||cos ,a b a b a b ⋅=<> 判断即可【详解】由题意，向量垂直是对非零向量而言的，故充分性不成立；若a b ⊥ ，则,2a b π<>= ，cos ,0a b <>= ，故||||cos ,0a b a b a b ⋅=<>= 因此必要性成立故向量0a b ⋅= 是a b ⊥的充要条件故选：B 17．D【分析】由向量的运算可得AD BC = ，四边形ABCD 为平行四边形；利用0AC BD ⋅=，说明四边形对角线互相垂直，然后得到结果．【详解】解：由AC AB AD =+,得AD AC AB BC =-= 可知，四边形ABCD 为平行四边形；又由0AC BD ⋅=可知，四边形对角线互相垂直，故四边形ABCD 为菱形．故选：D ．18．D【分析】结合复数的概念得到2200a a a ⎧+=⎨≠⎩，解之即可求出结果.【详解】因为22i z a a a =++是纯虚数，所以220,0,a a a ⎧+=⎨≠⎩解得2a =-.故选：D.19．B【分析】利用复数的运算法则，直接计算即可.【详解】因为12ω=-+，所以ω2122i =--，ω3＝（122--）（122i -+）＝1，则1+ω+ω2+ω3＝1112222i -+--+1＝1.故选：B.20．D【分析】应用向量数量积的运算律求模长.【详解】2222222||||cos .4697a b a a b b a a b a b b +=+⋅+=+<>+=-+= ，所以a b +.故选：D 21．D【分析】由1ln ba e c==，得到0b e >，所以1a >，0c >，分别令a e =，3a e =和1b =-，结合选项，得到,,A B C 正确，即可求解.【详解】由题意，实数,,a b c 满足1ln ba e c==，可得0b e >，所以1a >，0c >，当a e =时，0b =，1c =，此时a c b >>，故B 可能成立；当3a e =时，ln 3(1,2)b =∈，1(0.5,1)ln 3c =∈，此时a b c >>，故A 可能成立；当1b =-时，c e =，1ea e =，此时c a b >>，故C 可能成立；所以由排除法得D 不可能成立．故选：D.22．A【分析】先求得平移后的函数为cos 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎝⎭，再根据余弦函数的对称性列式求解即可【详解】将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到函数()cos 2cos 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为图象关于y 轴对称，所以23k πϕπ+=，k ∈Z ，则26k ππϕ=-，k ∈Z 故选：A.23．B【分析】根据复数的除法运算可得答案.【详解】()()()21i 2111i 1i i 11i 1i z ⨯--=+=+=--+=---+--，因此1z =．故选：B.24．A【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】由a b -= 得a b -== 两边平方得222525,0a a b b a b a b -⋅+=-⋅=⋅= ，所以2a b - .故选：A25．B【分析】由已知得z =()i ,z a b a b =+∈R ，化简计算可得.【详解】因为()2i 2i z z ⋅+=⋅+==z =，故设()i ,z a b a b =+∈R ，则=()()222i i ||2z z a b a b a b z ⋅=+-=+==.故选：B.26．A【分析】根据随机数表法读取出前8位同学的编号，由此可得出结果.【详解】从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，读取前8位同学的有效编号为15、17、53、18、22、37、42、11，因此，抽到的第8位同学的编号是11.故选：A.27．D【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D28．B【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.【详解】由辅助角公式,化简三角函数式1()222f x x x =-可得1()sin 222f x x x =-sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,Z k ∈故选：B29．D【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点.【详解】()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-∴z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D.30．D【分析】由条件可得球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，然后利用等体积法算出点A 到平面PBC 的距离，然后可得球A 与表面PBC 的交线为以PBC .【详解】因为三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===所以球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，其长度为π2，设点A 到平面PBC 的距离为d ，因为AB AC AP ==，所以PBC 是边长为2的等边三角形，由P ABC A PBC V V --=可得11112232322d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以球A 与表面PBC 的交线为以PBC =的圆，其长度为3，因为π32>，所以以顶点A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为3，故选：D31．(1)2-(2)23【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据分段函数解方程即可.【详解】（1）(2)210f a =-= 得12a =，11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪∴=⎨⎪<⎪⎩，1(1)2f ∴=-，1((1))22f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；（2）当0m ≥时，由()f m m =-得112m m -=-解得23m =；当m ＜0时，由()f m m =-得1m m =-，无实数解，综上所述，23m =.。
河北省各地2023-2024学年高一上数学期末学业质量监测试题含解析
河北省各地2023-2024学年高一上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A.1C.D.32．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P ，若α=π4，则点P 的坐标为 ( )A.(1，1)D.(1，1)3．下列说法错误的是（） A.球体是旋转体B.圆柱的母线垂直于其底面C.斜棱柱的侧面中没有矩形D.用正棱锥截得的棱台叫做正棱台4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是 A.[1,2]B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(0,2]5．函数()2x f x =的定义域为（ ） A.[1,)+∞ B.()0,∞+ C.[)0,+∞D.R6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos(α－β)的值等于 A.－12 B.12 C.－13 D.23277．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos α的值为 A.55-B.55 C.255-D.2558．已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1（粗线为()f x 部分图象，细线为()g x 部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A.()()y f g x = B.()()y f x g x = C.()()y g f x = D.()()f x yg x =9．设a >0，b >0，化简的结果是（ ）A.B.C.D.-3a10． “1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．函数()121f x x x =--的定义域为（） A.（－∞，2）B.（－∞，2]C.()(),11,2-∞⋃D.()(],11,2-∞⋃12．若函数()()R f x x ∈是偶函数，函数()()R g x x ∈是奇函数，则（） A.函数()()f x g x +是奇函数 B.函数()()⋅f x g x 是偶函数 C.函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数D.函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设θ为向量,a b 的夹角，且2a b a b +=-，3a =，则cos θ的取值范围是_____. 14．函数()2252f x x x =-+的单调减区间为__________15．如图所示，将等腰直角ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，使得60B AC '∠=︒．那么这个二面角大小是_______16．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合{}|33A x a x a =-≤≤+，{}2|40B x x x =-≥.（1）当2a =时，求A B ，A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数1()log 1ax f x x +=-，（0a >且1a ≠．） （1）求()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）设1a >，对于[2,7]x ∈，()log (1)(8)amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围19．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，AB AC =，,,D E F 分别为棱,,AA BB BC ''的中点（1）求证：BC AF '⊥；（2）若2,22,AB BC CC ==='求三棱锥D AEF -的体积 20．设函数()()212f x ax b x =+-+.（1）若不等式()0f x <的解集为()1,2，求实数a ，b 的值； （2）若()15f -=，且存在x ∈R ，使()1f x <成立，求实数a 的取值范围.21．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成30和45︒角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =-上时，求直线AB 的方程22．已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(123)A a a --，.（Ⅰ）在ABC ∆中，求边AC 中线所在直线方程 （Ⅱ） 求ABC ∆的面积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、B【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为222d =圆的半径为1，22817d r -- 故选：B【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题 2、D【解析】设出P 点坐标（x ，y ），利用正弦函数和余弦函数的定义结合4π的三角函数值求得x ，y 值得答案 【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，则由三角函数的定义得π42π42sin cos ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即π214π2 1.4x cos y sin ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故点P 的坐标为(1，1). 故选D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题 3、C【解析】利用空间几何体的结构特征可得.【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A 正确； 圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B 正确； 斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C 错误； 用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D 正确. 故选：C. 4、C 【解析】函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.5、D【解析】利用指数函数的性质即可得出选项. 【详解】指数函数()2x f x =的定义域为R . 故选：D 6、D【解析】∵α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α22129cos α－＝，而α，β∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)221()3cos αβ+－＝， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝714222()9393⎛⎫-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭＝2327. 7、A【解析】根据角的范围可知sin 0α<，cos 0α<；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果. 【详解】由3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：sin 0α<，cos 0α< 由22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：5cos 5α=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误. 8、B【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项. 【详解】由图1可知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，A 选项，()()()()()()f g x f g x f g x -=-=，所以()()y f g x =是偶函数，不符合图2.A 错. C 选项，()()()()g f x g f x -=，所以()()y g f x =是偶函数，不符合图2.C 错.D 选项，()00g =，所以()()f x yg x =的定义域不包括0，不符合图2.D 错.B 选项，()()()()f x g x f x g x --=-，所以()()y f x g x =是奇函数，符合图2，所以B 符合. 故选：B 9、D【解析】由分数指数幂的运算性质可得结果. 【详解】因为，，所以.故选：D. 10、A【解析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】当0a =时，方程的实数根为12x =， 当0a ≠时，方程2210ax x -+=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，则有1a ≤且0a ≠， 因此，关于x 的方程2210ax x -+=有实数根等价于1a ≤，所以“1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的充分而不必要条件. 故选：A 11、D【解析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.【详解】由题设，2010x x -≥⎧⎨-≠⎩，可得(,1)(1,2]x ∈-∞⋃，所以函数定义域为()(],11,2-∞⋃. 故选：D 12、C【解析】根据奇偶性的定义判断即可；【详解】解：因为函数()()R f x x ∈是偶函数，函数()()R g x x ∈是奇函数，所以()()f x f x -=、()()g x g x -=-， 对于A ：令()()()1h x f x g x =+，则()()()()()1h x f x g x f x g x -=-+-=-，故()()()1h x f x g x =+是非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：令()()()2h x f x g x =⋅，则()()()()()()22h x f x g x f x g x h x -=-⋅-=-⋅=-，故()()()2h x f x g x =⋅为奇函数，故B 错误；对于C ：令()()3h x f g x =⎡⎤⎣⎦，则()()()()()33h x f g x f g x f g x h x -=-=-==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故()()3h x f g x =⎡⎤⎣⎦为偶函数，故C 正确；对于D ：令()()4h x g f x ⎡⎤=⎣⎦，则()()()()44h x g f x g f x h x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦，故()()4h x g f x ⎡⎤=⎣⎦为偶函数，故D 错误； 故选：C二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、3[,1]5【解析】将2a b a b +=-平方可得cos θ22293119101010b a b b a b b b⎛⎫++ ⎪=⋅==+ ⎪⎝⎭，利用对勾函数性质可得最小值，从而得解.【详解】两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且2a b a b +=-， 可得：22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，可得cos θ2229311931010105b a b b a b b b⎛⎫++ ⎪=⋅==+≥ ⎪⎝⎭那么cos θ的取值范围：3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的求法，考查计算能力，属于中档题. 14、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦##1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.【详解】解：函数()f x =[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦，令()f u =()2252x x u x =-+，[)1,2,2x ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦，因为函数()fu =[)0,∞+上单调递增，()2252x x u x =-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)2,+∞上单调递增， 所以函数()f x =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调增区间为[)2,+∞.故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.15、2π 【解析】首先利用余弦定理求得B C '的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可. 【详解】由已知可得B DC '∠为所求二面角的平面角， 设等腰直角ABC ，则1B D CD '==， 由余弦定理可得：B C '==， 则在B DC '中，222B D CD B C ''+=，2B DC π'∴∠=即所求二面角大小是2π. 故答案为：π216、【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法， 可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.故答案：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）{|45}A B x x ⋂=，{|0A B x x ⋃=或1}x ； （2）(0,1)【解析】（1）当2a =时，求出集合A ，B ，由此能求出A B ，A B ；（2）推导出0a >，R A B 是的真子集，求出{|04}RB x x =<<，A ≠∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围【小问1详解】2{|40}{|0B x x x x x =-=或4}x ，当2a =时，{|15}A x x =，{|45}A B x x ∴⋂=， {|0A B x x ⋃=或1}x ；【小问2详解】若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，0a ∴>，R A B 是的真子集，{|04}R B x x =<<，A ≠∅，∴3034a a ->⎧⎨+<⎩，解得01a << ∴实数a 的取值范围是(0,1)18、（1）定义域为(,1)(1,)-∞-+∞；()f x 为奇函数；（2）08m <<【解析】（1）由函数()f x 的定义域满足101x x +>-，可得其定义域，由()()0f x f x 可判断其奇偶性.(2) 先由对数型函数的定义域可得0m >，当1a >时，由对数函数的单调性可得11(1)(8)x m x x x +>---在[2,7]x ∈上恒成立，即(1)(8)m x x <+-在27x ≤≤上恒成立，即可得出答案.【详解】（1）由题意，函数1()log 1a x f x x +=-，由101x x +>-， 可得1x >或1x <-，即定义域为(,1)(1,)-∞-+∞； 由1()()log log log 10111a a a x x x f x f x x --+=+=+-=+， 即有()()f x f x -=-，可得()f x 为奇函数；（2）对于[2,7]x ∈，()log (1)(8)a m f x x x >--恒成立， 由27x ≤≤，则(1)(8)0x x -->，又0(1)(8)m x x >--，则0m > 由1a >，即11(1)(8)x m x x x +>---在[2,7]x ∈上恒成立. 由27x ≤≤,即(1)(8)m x x <+-在27x ≤≤上恒成立. 由2781(1)(8)24y x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 可得7x =时，y 取得最小值8，则08m <<，因此可得，1a >时，m 的取值范围是：08m <<【点睛】关键点睛：本题考查对数型函数的定义域和奇偶性的判断，不等式恒成立求参数问题，解答本题的关键是由对数型函数的定义域则满足0(1)(8)m x x >--，可得0m >，然后将问题化为由27x ≤≤,即(1)(8)m x x <+-在27x ≤≤上恒成立，属于中档题.19、（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）可证AF ⊥平面BCC '，从而得到BC AF '⊥.（2）取AB 的中点为G ，连接FG ，可证FG ⊥平面ADE ，故可求三棱锥D AEF -的体积【详解】（1）因为侧棱CC '⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以CC AF '⊥，因为F 为中点，AB AC =，故BC AF ⊥，而CC BC C '⋂=，故AF ⊥平面BCC '，而BC '⊂平面BCC '，故BC AF '⊥.（2）取AB 的中点为G ，连接FG .因为2,AB AC BC ===222BC AC AB =+，故AC AB ⊥，因为,CF FB AG GB ==，故//FG AC ，且1FG =，故FG AB ⊥，因为三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，故三棱柱ABC A B C '''-为直棱柱，故BB '⊥底面ABC ，因为FG ⊂底面ABC ，故BB FG '⊥，而BB AB B '⋂=，故FG ⊥平面ADE ，而111244ADE S AD AB AA AB CC AB ='⨯⨯=⨯⨯=⨯'⨯=故113A DEF F ADE V V --===.【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.20、（1）1,2a b ==-；（2）9a >或1a <.【解析】（1）根据()()2120f x ax b x =+-+<的解集为1,2，利用根与系数的关系求解； （2）根据()15f -=，得到2a b -=，再由存在x ∈R ，()2310ax a x +-+<成立，分0a =，0a <，0a >，利用判别式法求解.【小问1详解】解：因为()()2120f x ax b x =+-+<的解集为1,2， 所以01322a b aa⎧⎪>⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得1,2a b ==-； 【小问2详解】（2）因为()15f -=，所以2a b -=，因为存在x ∈R ，()()2121f x ax b x =+-+<成立，即存在x ∈R ，()2310ax a x +-+<成立， 当0a =时，13x >，成立； 当0a <时，函数()231y ax a x =+-+图象开口向下，成立；当0a >时，()2340a a ∆=-->，即21090a a -+>，解得9a >或1a <，此时，9a >或01a <<，综上：实数a 的取值范围9a >或1a <.21、(3230x y ++-=【解析】先求出OA 、OB 所在的直线方程，根据直线方程分别设A 、B 点坐标，进而求出AB 的中点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =-上以及A 、B 、P 三点共线列关系式解出B 点坐标，从而求出直线AB 的斜率，然后代入点斜式方程化简即可.【详解】解：由题意可得tan 30OA k =⋅︒=， ()tan 180451OB k =︒-︒=-，所以直线:OA l y x =，:OB l y x =-设,)A m ，(,)B n n -，所以AB的中点2m n C ⎫-⎪⎪⎝⎭由点C 在12y x =-上，且A 、P 、B 三点共线得12201m n n n ⎧-=-⎪⎪⎨--=-解得n =B又()1,0P，所以AB BP k k ===所以:1)AB l y x =-， 即直线AB的方程为(3230x y ++-=【点睛】知识点点睛：（1）中点坐标公式：()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； （2）直线的点斜式方程：11y k x x y .22、 (I)95130x y -+=；(II)8.【解析】（I ）由中点坐标公式得AC 边的中点17,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由斜率公式得直线BM 斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II ）由两点间距离公式可得可得BC 的值，由两点式可得直线BC 的方程为10x y -+=，由点到直线距离公式可得点A 到直线BC的距离d =由三角形的面积公式可得结果.试题解析：(I)设AC 边中点为M ，则M 点坐标为1722（，） ∴直线71921522BM k +==+. ∴直线BM 方程为： ()()9125y x --=+ 即： 95130x y -+=∴AC 边中线所在直线的方程为： 95130x y -+=(II) ()21),23B C --（，，BC ∴==由()()2,1,23B C --，得直线BC 的方程为： 10x y -+= A ∴到直线BC 的距离(),,d A B C==182ABC S ∆∴=⨯=.。
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2020年12月河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
参考公式：
柱体的体积公式：V=Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)
锥体的体积公式：V=31
Sh(其中S 为锥体的底面面积，h 为高) 台体的体积公式：V=)(3
1'
'S S S S ++h(其中S ′、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为
高)
球的体积公式：V=π3
4
R 3(其中R 为球的半径) 球的表面积公式：S=4πR 2(其中R 为球的半径)
一、选择题 (本题共30道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．若集合A=N ，B={x ||x |≤1}，则A ∩B=
A ．{0，1}
B ．{-1，0，1}
C ．{x|-1≤x ≤1}
D ．{x|0≤x ≤1} 2．tan120°=
A ．33-
B ．3
3 C ．3- D ．3 3．等差数列{a n}的通项公式为a n =3n-1，则它的公差是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．已知向量a =(1，-1)，b =(-1，2)，则|2a +b |=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．若a>b ，则下列不等式成立的是
A ． a 2>b 2
B ．
b a >1 C ．b a 2
1
21< D ． lg(a-b)>0 6．在等差数列{a n }中，a 3=2，a 6+a 10=17，则a 13
A ．31
B ．64
C ．15
D ．30 7．对任意实数x ，不等式x 2-2x -a ≥0恒成立，则实数a 取值范围是
A ．a ≥-1
B ．a ≤-1
C ．a <-1
D ．a >-1 8．已知点A(2，-1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线的方程是
A ．2x 十y -3=0
B ．2x -y -1=0
C ．x -2y +1=0
D ．x +2y -3=0 9．函数f (x )=2x +3x 的一个零点所在的区间是
A ．(-2，-1)
B ．(-1，0)
C ．(0，1)
D ．(1，2)
10．假设某车站每隔5分钟发一班车，若某乘客随机到达该车站，则其等车时间不超过3分钟概率是
A ．
51 B ．52 C ． 53 D ．5
4 11．已知平面α⊥平面β，α∩B=l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则
A ．m ∥l
B ．m ∥n
C ．m ⊥n
D ．n ⊥l
12．若实数x ，y 满足 则z=x-3y 的最小值是 A ．3
4
-
B ．-10
C ．-8
D ．4 13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是
A ．21
B ．33
C ．36
D ．45 14．若53cos -
=α，παπ
<<2
，则sin α= A ．
2512 B ．2512- C ． 2524 D ．25
24-
15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是
A ．
2
3
B ．3
C ．0
D ．
2
1 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a tanC= c sinA ，则△ABC 一定是
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
17．函数f (x )=sin(ϕω+x )(ω>0，0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是
A ．1，
8
π B ．1，85π
C ．2，4
π D ．2，43π
18．在直角三角形ABC 中，A=90°，AB=2，则AB ·BC = A ．-4 B ．4
C ．-8
D ．8
19．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2-a n ，则S 5=
x+2≥0
y ≥x x+2y-2y ≤0
A ．31
B ．63
C ．
1631 D ．32
63 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=60°，a =1，b =3，则c ＝
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3 21．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1，CA ⊥CB ，
CC 1⊥底面ABC ，则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值是
A ．
33 B ．36 C ．
2
2
D ．32
22．右面茎叶图表示是甲、乙两人在5次综合测评成绩，其
中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩概率是
A ．
5
4 B ．53
C ．5
2 D ．51
23．已知函数y =f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+ax ，且f (1)=2，则a ＝
A ．-1
B ．1
C ．-3
D ．3 24．若直线x+y+1=0与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m=
A ．1
B ．17
C ．9-22
D ．9+22 25．已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是
A ．[1，+∞)
B ．[2，+∞)
C ．(－∞ ，1 ]
D ．(－∞ ，2 ] 26．若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是
A ．10
B ．9
C ．8
D ．6
27．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱侧面积之比是
A ．3：2
B ．2：3
C ．1：2
D ．1：1
28．三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，已知G 为△ABC 的 重心，AB =a ，AC =b ，则BG =
A ．32-
a +31
b B ．3
1-a －31b
C ．32-a －31b
D ．31-a +3
2b
29．过坐标原点O 的直线l 与圆C ：4)32(22=+-y x 交于A ，B 两点，若OA OB 2=，则
A ．63±
B ．3
3± C ．±1 D ．3±
30．若对函数y =f (x )图象上任意一点A ，在其图象上均存在点B ，使得OA ⊥OB(O 为坐标原
点)则称该函数为“好函数”，给出下列4个函数：
①f(x)=
x
1
; ②f (x )=x +1; ③f(x)=-x 2+2x +3; ④f (x )=2x 其中“好函数”的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、解答題(本题共3道小题，31题6分，32题7分，33题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程)
31．已知数列{a n }为等比数列，且a 1=1，8a 2-a 5=0
(I)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a n +1}的前n 项和S n 。
32．某市在创建国家级卫生城(简称“创卫”)过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作满意程度，若市民满意指数不低于0．8(注：满意指数＝
100
满意程度的平均分
)，“创卫”
工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，为此该部门随机调查100位市民，据这100位市民给“创卫”工作的满意程度评分，按以下区间：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分为六组，得到如下频率分布直方图：
(I)为了解部分市民给“创卫”工作评分较低原因，该部门从评分低于60分的市民中随机选取2人进行座谈，求这2人所给的评分恰好都在[50，60)的概率；
(Ⅱ)据你所学的统计知识判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由。
33．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinC+sin(A-B)=2sin2A，且c2=a2+b2-ab
(I)求tanA;
(Ⅱ)若a=5，求△ABC的面积。
河北省普通高中学业水平考试数学试卷答案。