高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

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人教A版高中数学必修四(2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示)

行四边形？
B
N
PC
O
MA
思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 OM ON OC ？
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2，
OC =a，则向量OM,ON 分别与e1，e2的
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作OA a，OB b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。

【高中数学必修四】2.3.1平面向量基本定理

e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
N
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
显然： a OM ON
想一想：
确定一对不共线向量e1， e2 后，是否平面内任意一个向量都可以用
1 e1 2 e2来表示呢？
讨论：
⑴ 当a与e1或e2 共线时，可令
1或2为0即可使结论成立.
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情况时，怎样构造平行四边形？
2.3.1
平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
a b
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件： o
A
P
B
OP OA 1 OB R

问题：如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量， a 是这一平面内的任一向量，那么 a 与 e1 , e2 之间有什么关系呢？ » 创设情境、提出问题怎样探求这种关系？
C
e2

人教A版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示教案(1)

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（）A.6 B .5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解
(1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)．
→ ∴AB＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； → AC＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； → → AB＋AC＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； → → AB－AC＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
提醒在平面直角坐标系中，平面内的点，以原点为起点的向量，有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：
课前探究学习
课堂讲练互动
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2．向量的几种运算体系 (1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算． (2)由产生过程看，先有几何表示下的几何运算，再有字母表示下的运算，最后有坐标运算．在运算过程中三种运算体系相互补充是一个有机的整体． (3)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ → 若是平行四边形 ACBD，则由AC＝DB得，可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得 x＝2，y＝－1. 故所求顶点 D 的坐标为 D(2，－1)．综上可得，以 A、B、C 为顶点的平行四边形的另一个顶点 D 的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．
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规律方法
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则
进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

人教课标版高中数学必修四《平面向量基本定理及坐标表示》教案(1)-新版

（1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a＝ .不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（2）向量夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝叫作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角＝；当a与b反向时，夹角＝ .如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直记作a⊥b.
【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义．
【解题过程】如图，
作，，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则，，，因为，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角为60°；因为，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，∠COA＝，即a+b与a的夹角为30°．
【解题过程】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形．
由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，，可得平行四边形的边长为2和4，所以＝2＋4＝6．
【思路点拨】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将用向量与表示即可．
【答案】6
●活动⑤强化提升，灵活应用
例3如图，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相较于点E，设，，试用基底，表示向量．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：
（1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a＝ .我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（2）向量夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝叫作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角＝；当a与b反向时，夹角＝ .如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直记作a⊥b.

高中数学人教A版必修课件：平面向量的基本定理及坐标表示

高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43 张PPT)
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)
如图所示，分别求它们的坐标.
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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2020年12月5日星期六
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高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43 张PPT)
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当向量起点被限制在原点时，作OA a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.
解： A
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)
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e2
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高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43 张PPT)

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(三)

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示（三）----fa5d529f-6ea4-11ec-997e-7cb59b590d7d2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式和定点坐标公式；（3）将根据向量的坐标判断向量是否共线教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、回顾介绍：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；（3）根据该定理，在给定基E1和E2的条件下，任意向量a都可以分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示? 以与x轴和y轴方向相同的两个单位向量I和j为基，根据平面向量的基本定理，任何向量a都有且只有一对实数x和y，因此a？席？YJ调用（x，y）向量a的（矩形）坐标，并将其记录为a？（x，y）其中x称为a在x轴上的坐标，y称为a在y轴上的坐标，尤其是，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2.平面向量的坐标运算（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，然后是a？B（x1？x2，y1？y2），a？B（x1？x2，y1？y2）？A.（？X，？Y）两个向量的和和和差的坐标分别等于两个向量对应坐标的和和和差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）如果a（x1，Y1），B（X2，Y2），那么AB？？x2？x1，y2？y1？向量的坐标等于端点的坐标减去表示向量的有向线段起点的坐标。

向量AB的坐标与从原点开始并在点P.3结束的向量的坐标相同。

高中数学人A教版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)

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2019年12月18日星期三
思考
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？
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2019年12月18日星期三
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N .
向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得
OM 1e1，ON 2e2.由于OC OM ON， M
C
所以a 1e1 2e2，
A
O
NB
也就是说任一向量a都可以表示成1e1 2e2的形式.
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• 若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值.
x=3
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2019年12月18日星期三
练一练
• 已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标 .
• a=(-1,2)，b=(-2,-1)
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2019年12月18日星期三
x1 2x2 , y1 2 y2
3
3
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2019年12月18日星期三
练一练
• 已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐标.
• (-6,-8)，(12,5)
• 已知：A(2,3)，B(-1,5)，且 AC 1 AB, AD 3AB, AE - 1 AB

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§2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； .
一、课前准备
（预习教材P93—P96）
复习1：向量b 、()
0a a ≠
是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .
复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e + 、122e e -
.
二、新课导学 ※ 探索新知
探究：平面向量基本定理
问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+
的向量表示呢？
1. 平面向量的基本定理:
如果1e ,2e
是同一平面内两个的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一
对实数,21,λλ使。

其中，不共线的这两个向量,1e 2e
叫做表示这一平面内
所有向量的基底。

注意：
(1) 我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a
在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量
问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a
=OB b ，则
叫做向量a
与b 的夹角。

如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是。

当时，表示a 与b 同向；当时，表示a
与b 反向；
当时，表示a
与b 垂直。

记作：a b ⊥ .
在不共线的两个向量中，90θ= ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表
示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基底。

对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使
得____________，这样，平面内的任一向量
a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做
a 在x 轴上的坐标，y 叫做
a 在y 轴上的坐标。

几个特殊向量的坐标表示
===
___________,_________,______
i j o
※ 典型例题
寻找表示。

例1、已知梯形ABC D 中，//AB D C ，且2AB CD =，E 、F 分别是D C 、AB 的中点，设
AD a = ，AB b = 。

试用,a b 为基底表示DC 、BC
.
例2、已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，OA = 60xOA ∠=
，求向量OA 的坐标.
三、小结反思
1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示
3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1、已知点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为
（6，5），O 为原点，则 OA =________，
OB =_______。

2、已知向量 a 的方向与x 轴的正方向的夹角是30°，且= ||4a ，则 a 的坐标为__________。

3、已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+ ，1232b e e λ=- ，若a 与b 共线，则实数λ= .
4. 设O 是平行四边形ABC D 两对角线A C 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（）
①AD 与AB ②DA
与BC ③CA 与DC ④OD 与OB
A.①②
B.③④
C.①③
D.①④
5、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a
，AC ＝b ，则AM ＝（）
Ａ．21（ a － b ）Ｂ．－2
1
（ a － b ）
Ｃ．－21（ a ＋b ）Ｄ．2
1
（ a ＋b ）
1、在矩形ABC D 中，A C 与BD 交于点O ，若15BC e =
，23DC e =
，则O C
等于多少？
2．已知点A（2，2），B（-2，2），C（4，6），D（-5，6），E（-2，-2），F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量
AC BD EF并求向量
AC BD EF的坐标。