《合情推理》文字素材1(新人教B版选修1-2)
新课标人教B版 选修1-2] [整理]人教B版选修1-2直接证明
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求证：AB=CD，BC=DA
A
D
14
32
B
C
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4
又AC=CA 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般形式为：
本题条件
21 5
21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
练一练：
1、求证： 6 7 2 2 5
2、求证：a a 1 a 2 a 3(a 3)
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
练一练：
已知a、b、c为不全等的正数，
求证：b c - a c a b a b c 3
a
b
c
例2在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的 边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列， a、b、c成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三 角形．
点评：解决数学问题时，
文字语言
只需证：10 2 21 20
只需证：21 5
只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
（ 3 7）2 （2 5）2
10 2 21 20
方法叫做分析法（也叫逆推证法或执果 索因法）．特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
高中数学 选修1-2 4.合情推理与演绎推理
4.合情推理与演绎推理教学目标 班级______姓名_________1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.理解演绎推理的意义，掌握演绎推理的基本模式，能进行简单推理.3.了解合情推理与演绎推理的区别和联系.教学过程一、合情推理.1.归纳推理：（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.【B A ⊆，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】（2）特征：部分⇒整体；个别⇒一般.（3）举例：①铜、铁、铝等金属能导电⇒一切金属都能导电；②哥德巴赫猜想：336+=；538+=；5510+=；......8631391002+=......⇒任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.2.类比推理：（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）.【A 、B 具有相同性质P ，且A 具有特征Q ⇒B 具有特征Q 】（2）特征：相似⇒相似.（3）举例：①加法运算与乘法运算都满足交换律，且加法运算满足结合律⇒乘法运算满足结合律； ②平面内和空间内，平行于同一条直线的两条直线相互平行，且平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行⇒空间内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.3.合情推理：根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.（1）归纳推理与类比推理都属于合情推理；（2）合情推理能帮我们猜测和发现结论，能为我们提供证明的思路和方向；（3）一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.二、演绎推理.1.定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，称为演绎推理.【B A ⊇，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】2.特征：一般⇒特殊；整体⇒部分.3.举例：①所有的金属都能导电，铀是金属⇒铀能导电；②所有奇数都不能被2整除，101是奇数⇒101不能被2整除.4.结构：演绎推理三段论：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（应用三段论解决问题时，若大前提是显而易见的，则可省略）5.在演绎推理中，只要大前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。
数学知识点人教B版选修(1-2)2.1.1《合情推理》word学案1-总结
学案16 §2.1.1 合情推理一、知识目标（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用。
掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
二、新课讲授1．归纳推理<1>、归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由 的推理.讨论： (i) 归纳推理有何作用？(ii)归纳推理的结果是否正确？<2>. 练习：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（2）已知 )2,1(0n i a i ，⋯⋯=>考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥.可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .(3). 观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ <3>、例题讲解例1.已知数列{}n a 的第1项a 1=1，且 ),3,2,1(11 =+=+n a a a nn n ，试归纳出这个数列的通项公式。
例2:汉诺塔问题有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?巩固练习：（1） 对于任意正整数n ，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？ 1（2）已知数列}{n a 满足11=a ，)12111--+=n n n a a a （，（)2≥n 求}{n a 的通项公式。
人教B版高中数学选修1-2 2-1-1 合情推理 学案 精品
2.1.1 合情推理（学案）一、知识梳理（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、情境导学探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出. 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.探究任务：类比推理鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理。
三、典例解析2，例1、观察下列等式：1+3=4=21+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.四、当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ） A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ） A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x = （ ）.A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆. 5.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.6. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .。
人教版高中数学选修(1-2)-2.1《合情推理》参考课件
⑴ 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个 奇质数之和；
⑵ 没有发现反例 。
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为 归纳推理(简称归纳).
例:观察下图,可以发现
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
1+3+…+(2n－1)=n2
归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理
“火星上是否有生命”
表2-1
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发数明学行家星波三利大亚运曾动指定出律“的类开比普是勒一曾个说伟类大比的 引推路理人是,「求自解然立奧体妙几的何参往与往者有」赖和于自平己面「几最何好的类 比的问老题师.」”
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别 到一般的推理。
例如：
金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们 受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼 此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
人教B高中数学选修1-2全套ppt课件：2.1.1合情推理
【问题导思】 已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； 1 (2)三角形的面积等于高与底乘积的 . 2
1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．
【提示】 四个面的面积．
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第
1 (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 . 3
2．以上两个推理有什么共同特点？ 【提示】 素得出结论的． 都是根据三角形的特征，类比四面体相关元
【自主解答】 法一 5件首饰的珠宝数依次为：1＝1×1， 6＝2×3，28＝4×7，45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠 宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝数为n×(2n－1)＝ 2n2－n(颗)． 法二 设第一件宝石数a1＝6， 第n－1件工艺品所用的宝石数an－1， 第n件工艺品所用的宝石数an， 则an－an－1＝5＋4(n－2)， ∴an－1－an－2＝5＋4(n－3)，
2．过程与方法 让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生 积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培 养学生归纳推理、类比推理的思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养 成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的 良好品质，善于发现问题，探求新知识．
1 S ·pa V pa 3 △BCD P－ BCD 证明如下： ＝ ＝ ， ha 1 VA－BCD S ·ha 3 △BCD pb VP－ ACD pc VP－ ABD pd VP－ABC 同理， ＝ ， ＝ ， ＝ . hb VA－BCD hc VA－BCD hd VA－BCD ∵VP－BCD＋VP－ ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝ VA－BCD， pa pb pc pd ∴ ＋ ＋ ＋ ha hb hc hd VP－BCD＋VP－ ACD＋VP－ABD＋VP－ABC ＝ ＝1. VA－BCD
高中数学新人教B版选修1-2合情推理
■orER ZHANG合情推理与演绎推理2.12抽象问謹情境化 新知无师自通推理.归纳推理（乙）（乙）[对应学生用书P11]（3）推理一般分为合情推理与演绎推理图（甲 推理2.合情推理（1）根据一个或几个已知事实（或假设）得岀一个判断，这种思维方式就是推理1.推理的概念与分类合情推理提示：由图知：a i = OA i = 1前提为真时，结论可能为真的推理, 叫做合情推理.常用的合情推理有归纳推理和类比 问题1:图（甲）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 A 7A 8= 1,把图（乙）中的（2）推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实 （或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结 ______直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1, OA 2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA 1= A 1A 2= A 2A 3试计算 a 1, a 2, a 3, a 4的值 OA n 的长度构成数列{a n }a 2 = OA 2 = J OA 2 + A 1A 2= , 12+ 12= J 2, a 3 = OA 3 = \/OA 2 + A 2A 3 = ^（x/2 J + 12 = V 3a4 = OA4 = OA3 + A3A4 = ® 2 + 1 =申=2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a.}的通项公式a n吗？提示：能猜想出a n= n.(n € N +)问题3:直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论.归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程.⑵归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).mro 类比推理已知三角形的如下性质(1) 三角形的两边之和大于第三边；1(2) 三角形的面积等于高与底乘积的2.问题1:试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.1(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的3.问题2:以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征.问题3:以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是.归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理.类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).［归纳-升华-领悟］----------------------------- 、1. 归纳推理的特点：(1) 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2) 归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.2. 类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现.⑵类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能.3. 归纳推理和类比推理都属于合情推理.运駅/点巫也也：T-W总瑟［对应学生用书P12］数、式中的归纳推理［例1］根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式:(1) a i = 1, a n + 1 = 2a n+ 1(n€ N +);. a n(2) a1 = 1, a n+1 = ~(n€ N + ).1十a n［思路点拨］由a1求a 由a2求af由a3求af分析a2、a3、a4的结构特征猜想通项公式［精解详析］(1)由a n + 1 = 2a n+ 1 及a〔= =1 得a2= 2 x 1 + 1 = 3,a3= 2X 3 + 1 = 7, a4= 2X 7 + 1 = 15,a5= 2X 15+ 1 = 31.由a1= 1 = 21—1, a2= 3= 22—1,a3= 7= 23—1, a4= 15 = 24—1, a5= 31 = 25—1, 可归纳猜想a n= 2n—1(n€ N +).⑵当n = 1 时，a1= 1，由a n+1= an (n € N +)得1 + a nB A W01a i 1 a2=1 + a i = 2， a 22 1a3=右==3，1+ 2 1 a 331 a4=右=4. 1+ 31可归纳猜想：｛a n ｝的通项公式a n = n［一点通］归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1) 通过条件求得数列中的前几项；(2) 观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式.1. 将全体正整数排成一个三角形数阵：4 5 6 7 89 1011 1213 1415根据以上排列规律，数阵中第 n 行(n 》3)的从左到右的第3个数是.解析：前1行共1个数； 前2行共1 + 2= 3个数； 前3行共1 + 2+ 3= 6个数；前4行共1 + 2+ 3+ 4= 10个数； 前5行共1 + 2+ 3+ 4+ 5= 15个数；前 n — 1 行共 1 + 2+ 3+ 4+ - + (n — 1)= 因此，第n 行第3个数是全体正整数中第答案： 2 n — n +62•在数列｛a n ｝中，a 1= 1且S n , 5+1,23成等差数列，计算 生，S 4并猜想S n 的表达式.解：依题意得 2S n + 1= S n + 2S 1, S 1 = a 1 = 1. 当 n = 1 时，2S 2= S| + 2S 1,个数.c 3 3…£ = 一 S*i = —；2 2 1 23 7当 n = 2 时，2S 3= S 2 + 2S i =㊁ + 2 =㊁；Ss =4；7 15当 n = 3 时，2S 4= S 3 + 2S i = 4 + 2 =才,B. 31D . 36［思路点拨］解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块 “公共”的有菱形纹正六边形.［精解详析］法一：有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 + 5X (6 — 1)= 31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需 6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块"公共”的菱形纹正六边形 )，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为： 6 + 5X (6 —1)= 31.答案：B［一点通］解决图形中归纳推理的方法(1) 从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2) 从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 数值发生了怎样的变化.猜想S n =2n - 12“-1 (n € N +).几何中的归纳推理 [例2]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(C . 32 第一牛图秦)第二个图案第三个图案- S A PBC + S A FAC + S ^PAB = S ^ABC ,3.如图，第n 个图形是由正（n + 2）边形“扩展”而来（n = 1,2,3，…），则第n 个图形中 的顶点个数为（）解析：第一个图形共有12= 3X 4个顶点，第二个图形共有20 = 4X 5个顶点，第三个图 形共有30= 5X 6个顶点，第四个图形共有 42= 6 X 7个顶点，故第n 个图形共有（n + 2）X （n+ 3）个顶点.答案：B 4.把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形（如下图），则第七个三角形数是.解析：第七个三角形数为 1 + 2 + 3+ 4+ 5 + 6 + 7= 28. 答案：28类比推理的应用［例3］ （12分）如图所示，在平面上，设 h a , h b , %分别是△ ABC 三条边上的高，P 为证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.A . (n + 1)(n + 2) C . n△ ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为P a , P b ，P c ，可以得到结论瓷+瓷+穿1［精解详析］1?BC p a；BC h a& PBCS^ABC’ ,△ 1 3同理, P b= S^PAC P c = FAB h b SS BC ' h c S^ ABC(2分)-S A PBC+S A FAC+S^PAB = S^ABC,类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 h a , h b ,h e ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离， P 为四面体内 任意一点，P到相应四个面的距离分别为 P a ，P b ，P e ，P d ，可以得到结 论計壯計h d =1.(8分)•' V p -BCD + V p - ACD + V p -ABD + V p -ABC = V A -BCD ，• P a +P b + 囚+ Pd • h a h b h e h dVp -BCD+Vp - ACD+Vp -ABD+Vp - ABC=1.V A -BCD［一点通］(1) 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元 素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2) 平面图形与空间图形类比如下：平面图形 占八、、线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体""暑値臬制"和5•实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质： a b = b a ， a b = b a ，(a + b) e = a c + b e ， (a + b) e = a e + b e. 则由①(a b) e = a (b e)，②若 0， a e = a b ，贝U b = e ，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？ 解：猜想：①(a b) e = a (b e)， ②若 a 工 0， a e = a b ，贝U b = e ，证明如下：1S ABCD P aP a 3 V P - BCD h a 1V A - BCD’BCD h aP b V P - ACD P e V P -ABD P d V p - ABCh b V A - BCD’h e V A -BCD 'h d V A -BCD’P »+ P e _ S A PBC + S A FAC + S A PABSx ABC1. （4分）同理,（10分） （12 分） h b h eA这两个结论都不正确.①式左边表示与e共线的向量，右边表示与a共线的向量，e与a不一定共线，就不一定相等.②a e= a b，|a||e| eos〈a，e>= |a| |b| eos〈a，b>，可得|e| eos〈a，e>= |b| eos〈a，b>，则c , b 在a 方向上的投影相等，b , c 不一定相等.6.如图所示，在△ ABC 中，a = b c os C + c c os B ,其中a , b , c 分别为角 A , B , C 的 对边•写出对空间四面体性质的猜想.解：如图所示，在四面体 P —ABC 中，S i ,色，S 3, S 分别表示△ PAB , △ PBC , △ PCA , △ ABC 的面积，a 3, 丫依次表示面FAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想 S = S i cos a+ S 2 cos 3+ S 3 cos 丫［方法-规律 —J 、结］ --------------------------1•用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事 例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.2•进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一 点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.3•多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. ⑵这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3) 这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.1. 观察下列各式： 1= 12,2+ 3+ 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6+ 7= 52,4+ 5 + 6 + 7+ 8+ 9+ 10 =72,…，可以得出的一般结论是( )2A . n +(n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n - 2) = n2B. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 2) = (2n — 1)2C. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 1) = n2D. n +(n + 1) + (n + 2) + …+ (3n — 1) = (2n — 1)解析：观察很容易发现规律： n +(n + 1) + (n + 2)+…+ (3n — 2) = (2n — 1)2.应用阪YINGYQNG课下训练经典化，贵衽触类旁通［对应学生用书P15］答案：B2. 已知｛b n｝为等比数列，b5 = 2,贝V Sb2b3…b g= 29若｛a n｝为等差数列，a5= 2,则｛a n｝的类似结论为()9. a i + a2+•…+ a9= 29A . a i a2a3…a?= 2BC. a i a2…a9 = 2x 9D. a i + a2+…+ a9= 2 x 9答案：D3 •用火柴棒摆“金，如图所示：鱼”①②③按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A. 6n —2B. 8n—2C. 6n + 2D. 8n+2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1= 8= 6 + 2.又a2= 14= 6X 2 + 2, a3= 20 = 6x 3 + 2,…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n + 2.答案：C4•平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A•空间中平行于同一直线的两直线平行B •空间中平行于同一平面的两直线平行C. 空间中平行于同一直线的两平面平行D. 空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比.答案：Dx5. (山东高考)设函数f(x)= ― (x>0)，观察：x I 2xfi(x)= f(x)= x + 2，xf2(x) = f(fl(x))= 3x+ 4，xf3(x) = f(f2(x))= 7x| 8，xf4(x)= f(f3(x))=亦x i品，根据以上事实，由归纳推理可得：当n € N +且n>2 时，f n(x)= f(f n-i(x))=.X —、 xf 2（x ） = 22— 1 x + 22，f3（x ）= 23- 1 X + 23， f4（x ） = 24— 1x + 24， X ____ f n （x ） = 2n — 1 x + 2n . 6. 给出下列推理: (1)三角形的内角和为(3 — 2) 180 °四边形的内角和为(4 — 2)180°五边形的内角和为(5 — 2) 180°所以凸n 边形的内角和为(n — 2) 180°;(2) 三角函数都是周期函数， y = tan x 是三角函数，所以y = tan x 是周期函数；(3) 狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的， 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4) 在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空 间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断.因为 (1)(3)都是归纳推理， ⑷是类比推理，而 ⑵不 符合合情推理的定义，所以⑴(3)(4)都是合情推理.答案：⑴⑶⑷17. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1 且 S n - 1+ S + 2 = 0(n > 2)，计算 S 1，S 2, S 3 , S 4,并猜想S n 的表达式.解：当 n = 1 时，S 1= a 1= 1 ；1 1当 n = 2 时，&=一 2 一 S 1 = — 3，…S 2=—：； S 2 31 5 3当 n = 3 时，§ = — 2 — S 2= — 3，二 S 3=— 5；1 7 5当 n = 4 时，(=—2 — &=_?二 S 4=—刁.S 4 5 72n — 3解析：由已知可归纳如下:f l （x ） = 答案: X ___2n — 1 x + 2n x猜想：S n= —2n—1 (n€ N +).&已知椭圆具有以下性质：已知 M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，若直线 点P 的位置无关的定值. PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM , k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与 2 试对双曲线 x a 解：类似的性质为: 已知 M , N 是双曲线 2 y = 1(a > 0, b > 0)写出类似的性质，并加以证明. 2 x —2 a 2 -y2= 1(a > 0, b > 0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线 PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM ，k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点 M 、P 的坐标为(m , n), 2 2•••点M(m , n)在已知双曲线拿—y 2= 1上, 2 2 , 2 .m n 2 b 2 2•-孑-^= 1，得 n =尹-b ,(x . y),贝U N 点的坐标为(-m ,— n). 同理 y 2= O^x 2- b 2 2 2 二 y — n 2 —m 2). 2 2 y — n y +n y ― n 贝U k pM k PN = - = 2~x — m x + m x — m a x — m 2 2 2 b 2 x — m 2= -2 • ~2。
最新人教版高中数学选修1-2《合情推理》梳理探究1
数学人教B选修1-2第二章2.1.1 合情推理1．结合已学过的数学实例和生活中的实例了解合情推理的含义．2．能利用归纳推理和类比推理进行一些简单的推理，认识合情推理在数学发现中的作用．1．合情推理前提为真时，结论____为真的推理，叫做合情推理．________和____________是数学中常用的合情推理．(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．(2)合情推理的结论具有或然性，既可能为真，也可能为假．(3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向，对于数学的创新和发现十分有用．【做一做1】下列说法正确的是()A．由合情推理推出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判断正误2．归纳推理(1)概念根据一类事物的________具有某种性质，推出这类事物的________都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称____)．归纳是从____到____的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些________；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．(3)归纳推理的几个特点：①归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．②归纳是依据若干已知的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性．③归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论．运用归纳推理得出结论时要注意以下两点：(1)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题越可靠；(2)通过大量的实例去分析，才能归纳出比较可靠的一般性结论(命题)．【做一做2－1】数列2,5,11,20,x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27【做一做2－2】从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…中，可得到一般规律为__________．3．类比推理(1)概念根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的______或______；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(1)类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果；②类比是从一类事物的特殊属性推测另一类事物的特殊属性；③类比的结果有猜测性，不一定正确．(2)提高类比所得结论的可靠性，应尽量满足下列条件：①类比对象的共同属性或相似属性尽可能多些；②这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性；③这些共同(或相似)属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的； ④需推测的未知属性应该和共同(或相似)属性属于同一类型．【做一做3－1】下列说法正确的是( )A ．类比推理一定是一般到一般的推理B ．类比推理一定是个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是个别到一般的推理【做一做3－2】若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N ＋)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N ＋)是等比数列，且c n ＞0，则数列d n ＝__________(n ∈N ＋)也是等比数列．1．归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题．2．类比推理的一般步骤是什么？剖析：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)，一般情况下，类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论具有或然性，既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理．题型一 归纳推理【例题1】根据所给数列前n 项的值23，415，635，863，1099，…，猜想数列{a n }的通项公式． 分析：根据数列中前n 项的值给出数列的一个通项公式，主要是对数列各项的特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律，猜想出通项公式．反思：归纳的方法是获得数学结论的一条重要途径，通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想．题型二 类比推理【例题2】如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长分别交对边于点A ′，B ′，C ′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”．OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明．分析：考虑到用“面积法”证明结论时把O 点与三角形的三个顶点分别连接起来，把原三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似的结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．反思：平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．题型三 推理的综合应用【例题3】有一个雪花曲线序列，如图：其产生规则是：将正三角形P 0的每一边三等分，而以其中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条线段，便得到第1条雪花曲线P 1；再将P 1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第2条雪花曲线P 2；……；把P n －1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第n 条雪花曲线P n (n ＝1,2,3,4，…)．(1)设P 0的周长为L 0，求P n 的周长；(2)设P 0的面积为S 0，求P n 的面积．反思：合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．题型四 易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误．解决此类问题的关键是先充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13. 错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积的乘积的12. 反思：类比的原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，我们可以从不同的角度出发确定类比对象，如围成几何体的几何元素的数目、位置关系等．1使|n 2－5n ＋5|＝1不成立的最小正整数是( )A ．1B ．2C ．4D ．52下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b nD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 3(2012东北四校一模)给出下列不等式：1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，则按此规律可猜想第n个不等式为__________． 4如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想__________．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为__________．答案：基础知识·梳理1．可能 归纳推理 类比推理【做一做1】B 由合情推理的概念可知选项B 正确．2．(1)部分对象 所有对象 归纳 特殊 一般 (2)①相同性质【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32.【做一做2－2】n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N ＋) 第一个式子，左边一个数是1，右边结果是12；第二个式子，左边三个数相加，从2开始，右边结果是32；第三个式子，左边五个数相加，从3开始，右边结果是52；第四个式子，左边七个数相加，从4开始，右边结果是72；……第n 个式子，左边(2n －1)个数相加，从n 开始，右边结果是(2n －1)2.总结结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋[n ＋(2n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N ＋)，即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N ＋)．3．(1)两类不同事物 (2)①相似性 一致性【做一做3－1】B【做一做3－2】n c 1·c 2·c 3·…·c n 在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)，然后再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质．找出等差与等比数列在运算上的相似性，等差↔等比，求和↔求积，除法↔开方，可猜想：d n ＝n c 1·c 2·c 3·…·c n .典型例题·领悟【例题1】解：23＝2×11×3；415＝2×23×5；635＝2×35×7；863＝2×47×9；1099＝2×59×11；…… 于是猜想通项公式a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1). 【例题2】解：在四面体V －BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于E ，F ，G ，H 点，则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝1.证明：在四面体O －BCD 与V －BCD 中，设点O ，V 到平面BCD 的距离分别为h 1，h ，则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD·h ＝V O －BCD V V －BCD ， 同理有：OF DF ＝V O －VBC V D －VBC ；OG BG ＝V O －VCD V B －VCD ；OH CH ＝V O －VBD V C －VBD， ∴OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O －BCD ＋V O －VBC ＋V O －VCD ＋V O －VBD V V －BCD ＝V V －BCD V V －BCD＝1. 【例题3】解：(1)雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如下图所示，易得L n ＝43L n －1，n ∈N ＋， 所以L n ＝43L n －1＝…＝(43)n L 0，n ∈N ＋.(2)由雪花曲线的构造规则比较P 0和P 1，易得P 1比P 0的每条边增加了一个小等边三角形，其面积为S 032，而P 0有3条边，故有S 1＝S 0＋3·S 032＝S 0＋S 03. 再比较P 2与P 1，可知P 2在P 1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为132·S 032，而P 1有3×4条边，故有S 2＝S 1＋3×4×S 034＝S 0＋S 03＋4S 033. 类似地，有S 3＝S 2＋3×42×S 036 ＝S 0＋S 03＋4S 033＋42S 035， 故可猜想S n ＝S 0＋S 03＋4S 033＋42S 035＋43S 037＋…＋4n －1S 032n 1 ＝S 0＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 1－49S 0＝⎣⎡⎦⎤85－35⎝⎛⎭⎫49n S 0. 【例题4】错因分析：错解的原因有两个，其一是“三角形周长”的类比，其二是“12”的类比．第一个“a ＋b ＋c ”可类比为“S 1＋S 2＋S 3＋S 4”；第二个“12”应类比为“13”． 正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13. 随堂练习·巩固1．D 2．D3．1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1＞n ＋124．S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3如图，在△DEF中，由正弦定理，得dsin D＝esin E＝fsin F，于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3.5．32因为等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝12x x=＝12＝22，所以所求的值为6×22＝3 2.。
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第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
典型例题
例1 观察下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A ） 10 （B ） 13 （C ） 14 （D ） 100
解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以应选（C ）
例 2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
例3、观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
解析 猜想：。
证明
000
2200
1cos 21cos(602)sin(302)sin30sin cos (30)sin cos(30)222ααααααα-+++-++++=++
练习
一、选择题
1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展
到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2+ C D 2 + BD 2
(B) (C) (D)AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 2
3、已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。
5、在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
三、解答题
6在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
参考答案
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
一、选择题
（1）（A）观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。
（2）分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边
体积面积；二面角平面角
面积线段长；……
由此，可类比猜测本题的答案：
，故选（C）。
（3）由归纳猜想可得选（B）。
二、填空题
（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立
三、解答题
6．分析根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，
同乘以，得
即
7．解：（1）
（2）
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 12分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.。