【2016年高考数学总复习】(第33讲)等比数列(46页)
等比数列高考专题复习资料.doc
- 1 -等比数列【知识点回顾】 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11. 3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2. 4.等比数列的判定方法⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a mn m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. 【方法总结】1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.例1.已知等比数列{}n a 的前n 项和1-=nn p S (p 是非零常数),则数列{}n a 是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.非等差数列 [名师点拨]先由n S 求出n a ，再根据等差、等比数列定义作出判定.解：Θ1-=n n p S ，∴)2()1(11≥-=-=--n p p S S a n n n n∴当,1≠p 且0≠p 时，{}n a 是等比数列；∴当0=p 时，{}n a 是等差数列，选C. 2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论. 例2.若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2a .- 2 -[名师点拨]本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式4122⨯=a ，得.22±=a解：Θ4,,,,1321a a a 是等比数列，∴4122⨯=a ，得.22±=a 又21,,1a a 是等比数列，∴R a a a ∈⋅=1221,1，∴22=a .考点一 等比数列的通项与前n 项和 题型1：已知等比数列的某些项，求某项例1.已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a [解题思路]可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质 解：方法1：Θ811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2：Θ812162264===a a q ，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3：Θ{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数.例2.⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. [解题思路]⑴利用等比数列的通项公式11-=n n qa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.解：⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a n n n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc 2，则- 3 -⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ；方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2； 方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 题型3：求等比数列前n 项和例3.等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.[解题思路]可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ， 由10765,,,,a a a a Λ成等比数列求解. 解：由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 例4.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S[解题思路]可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解. 解：Θ212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n n a Λ，∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++=Λ 即.432143--=n S n n 例5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，nn n a 3)12(⋅-=，求n S .[解题思路]分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和.解：Θnn n a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅=Λ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ-------------② ①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S Λ63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n ∴.33)1(1+⋅-=+n n n S- 4 -变式1：已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，Θ6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++；考点二 证明数列是等比数列例6.已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.[解题思路]⑴证明数列{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列， 常用：①定义法；②中项法.解：⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ⋅=，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n n n n n b n a 32)213()1(321-=+--=+ 又)18(11+-=λb ，所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列； 当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列【名师点拨】等比数列的判定方法：⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.变式1：已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；C ∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.考点三 等比数列的性质例7.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . [解题思路]结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 解：Θ{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S . 【名师点拨】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.- 5 -变式1：已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a . 解：Θ{}n a 是等比数列，0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点四 等比数列与其它知识的综合例8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21nn n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式。
等比数列课件PPT
股票和债券定价
在股票和债券定价模型中， 等比数列用于预测未来的 股价或债券收益率。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学干涉
放射性衰变过程中，原子核的数目按 照一定的比率减少，形成等比数列。
在光学干涉实验中，干涉条纹的形成 与等比数列有关。
声音传播
在声音传播过程中，声波的振动次数 按照一定的比率增加或减少，形成等 比数列。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公 式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
02
03
解决实际问题
等比数列求和公式可以应 用于解决一些实际问题， 如存款、贷款、投资等问 题。
简化计算
等比数列求和公式可以用 于简化一些复杂的数学计 算，如组合数、阶乘数的 计算等。
证明数学定理
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用 等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收 敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们 更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括 通项公式、求和公式和几何画板等。
等差数列的每一项与前一项的差是常数，而等比数列的每一项与前一项的比值是常 数。
等差数列和等比数列在求和、求积等方面都有各自的方法和公式，可以相互转化。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式可以转化 为指数函数的形式，即$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$。
指数函数具有一些特殊的性质， 如指数函数的单调性、周期性 等，这些性质在等比数列中也 有体现。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
高考数学理一轮复习 3-3等比数列精品课件
[ 规律总结 ]
本题利用了推广的通项公式 an ＝ amqn －
m(其中n，m∈N*，可以n＞m也可以n≤m)及其他性质.
备选例题3已知{an}是等比数列，且an＞ 0，a2a4＋2a3a5 ＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于 A．5 C．15 B．10 D．20 ( )
答案：A
例4
已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30, S3m a1和q是等比数列的两个基本量．由Sm＝10，S2m
－
题型二
等比数列基本量的有关计算
思维提示
例2 求an.
灵活利用定义、公式及其变形
已知等比数列 {an}中， a1 ＋ a2 ＋ a3 ＝7 ，a1a2a3 ＝ 8 ，
[分析]
和q.
利用等比数列的基本量a1、q，根据条件求出a1
等比数列{an}的通项公式 an＝a1· qn 1，前 n a1－anq a1(1－qn) 项和公式 Sn＝na1(当 q＝1 时)， 或 Sn＝ ＝ (当 1－q 1－q q≠1 时)中有五个量 a1、an、n、q、Sn，通过解方程(组)，知 三可求二． 其中 a1 和 q 是两个基本量， 用它们表示已知和未 知，是经常使用的方法．等比数列中的量 a1、an、q 皆不为 0，这是等比数列的一大特点．在等比数列求和中，要注意 q ＝1 和 q≠1 两种情况，这是极易被忽视的. [规律总结]
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对于任意的n∈N*皆成立．
解：(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1) ＝4(an－n)，n∈N*. 又 a1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 数列 {an － n} 是首项为 1 ，且公比为 4 的
等比数列．
等比数列知识点归纳总结图文
等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。
它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。
1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。
其中，n表示数列中的第n项。
2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。
（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。
3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。
（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。
根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。
（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。
根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。
高三数学总复习优秀ppt课件(第33讲)等比数列(46页)
an bn
是等比数列吗？
是
（2）已知数列an,数列{ bn }是项数相同的等比数
列，那么数列an bn是等比数列吗？ 不一定
an bn (n≥ 2)? an1 bn1
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！ （2）基本策略：作商！ aann1（n≥2）为常数. （3）思维误区：作商时不考虑等比数列的特征． （4）解题策略：注重整体思想的应用．
聚焦重点：知三求二的策略
基础知识
1．等比数列的通项公式
如果等比数列an的首项是a1，公比是 q，则等比
数列的通项公式为 an a1qn1.
2．等比数列的前n项和公式
当q=1时， Sn na1
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
问题研究
对于等比数列{an}中的a1，q，n，an，Sn，如 何由其中已知的三个量求出其余两个量？
是以
1 2
为公比的等比数列，{an}的前
n
项和为
Sn，
试问：S1，S2，S3…，Sn，…能否构成等比数列？
为什么？
1．14 2．2n－1
参考答案
3. 当 n=1 时，S1=a1=1．
当
n≥2
时，an=a2qn-2=-
1 2
(
1 2
)n-2=-(
1 2
)n-1．
1 (n 1),
∴an=
(
1 2
)n1
= 3n－3n-1=3 3n1 3n1=2·3n-1．
纵上，an
1 (n 1),
2
3n1(n
≥
2).
可知a1=1，a2=6，a3=18． ∵a22≠a1 a3，
高中数学总复习考点知识讲解课件32 等比数列
an=kan 的形式,则 k=() A. B. C.6D.
【解析】选 C.数列的通项公式为 an=3×
=6× ,因此 k=6.
2.(忽视隐含条件)若数列 1,a,b,c,9 是等比数列,则实数 b 的值为()
A.5B.-3
C.3D.3 或-3
【解析】选 C.因为数列 1,a,b,c,9 是等比数列,
所以 a1=-2,由 Sk=
=- ,解得 k=5.
答案:5
3.(2022·武汉模拟)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2,则 a2=()
A.4B.3C.2D.1
【解析】选 A.设正项等比数列{an}的公比为 q, 因为 2S3=3a2+8a1,
所以 2(a1+a2+a3)=3a2+8a1, 即 6a1+a2-2a3=0,所以 6a1+a1q-2a1q2=0. 因为 a1>0,所以 6+q-2q2=0,解得 q=2 或 q=- (舍去).因为 S8=2S7+2,
【题型一】等比数列基本量的计算 [典例 1](1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前 3 项和为 168,a2-a5=42, 则 a6=() A.14B.12C.6D.3 【解析】选 D.设等比数列{an}的公比为 q,q≠0, 若 q=1,则 a2-a5=0,与题意矛盾,所以 q≠1,
奇
偶
(4)若
或
则等比数列{an}是递增数列;
若
或
则等比数列{an}是递减数列.
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点睛性质(1)由 am·an=ap·ak 不一定推出 m+n=p+k,因为有非零常数列的存 在.
高三一轮复习等比数列课件
判断性质
根据通项公式判断等比数 列的性质，如公比、项数 等。
求解问题
利用通项公式解决等比数 列相关的问题，如求和、 判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等 差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8， 则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等 ，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数） 。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连 续性。
04 等比数列在实际生活中的 应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付 时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的 公比，用a_1表示第一项，用n表 示项数。
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主要内容
一、聚焦重点 等比数列的定义，知三求二的策略． 二、廓清疑点 等比数列中的最大（小）项． 三、破解难点 等比数列性质的应用．
聚焦重点：等比数列的定义
基础知识
等比数列的定义 文字语言：
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示.
1
2
n
n
变形，得 项用首项和公比表示出来，作商即可 .
a n1 an1 bn1 bn1 ( )( ). an bn an bn
求解过程
证明 1
bn 的首项为 b1，公比为 q2 ．那么数列an bn 的第 n
项与第 n+1 项分别为
设数列{an }的首项是 a1，公比为 q1；数列
经典例题2
例2 数列an ,bn 是项数相同的等比数
列，求证：数列an bn 是等比数列．
思路分析
例2 已知数列an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证：数列an bn 是等比数列． 思路 2 设数列{an }的公比为 q1，数列bn 的公比为 思路 1 设数列{an }的首项是 a1， 公比为 q1， 数列bn 的 b将数列 q2 ．找出数列 n 项，作商后 aqn ． n 的第 n a+1 b项与第 首项为 公比为 的第 n +1 项与第 n b，
它是一个与 n 无关的常数，所以数列an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列．
求解过程
证明 2 为 q2 ．
an1 bn1 a n1 bn1 q1 q2 ， an bn an bn
设数列{an }的公比为 q1，数列bn 的公比
它是一个与 n 无关的常数，所以数列an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列．
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！
an （2）基本策略：作商！ （n≥2）为常数. an1
（3）思维误区：作商时不考虑等比数列的特征． （4）解题策略：注重整体思想的应用．
聚焦重点：知三求二的策略
基础知识
1．等比数列的通项公式 如果等比数列an 的首项是 a1，公比是 q，则等比 n 2．等比数列的前 项和公式 数列的通项公式为 an a1q n1.
求解过程
解 ①当 n 1时，a1=S1=1； ②当 n≥2 时， an=Sn－Sn-1=3n－2－(3n-1－2) 1), 1 (n n 1 n 1 n n-1 n-1 3 3 3 = 3 － 3 = =2· 3 ． 纵上， an n1 2 3 (n ≥ 2).
{an }是否为等比数列，说明理由．
思路 1：直接由前n项和公式判断． 没有根据！ an 思路 3：计算 （ n ≥ 2） ． an1 a2 a3 思路 2：由Sn求an，分别计算 ， ，„ a1 a2
a1 (1 q n ) a1 n a1 Sn q 1 q 1 q 1 q
当q=1时， Sn na1
a1 (1 q n ) a1 anq 当q≠1时， Sn 1 q 1 q
问题研究
对于等比数列{an}中的a1，q，n，an，Sn，如
何由其中已知的三个量求出其余两个量？
经典例题3
7 63 在等比数列｛an｝中， S3 , S6 ，求 an． 2 2
1 所以， q 2 ，由此可得 a1 ， 2 1 n1 因此 an 2 2n 2. 2
例3
思路分析
例3
7 63 在等比数列｛an｝中， S3 , S6 ，求 an． 2 2
思路（通法）：将已知条件S3 ，S6中的量统一到基 本量a1与q后再用公式，解方程，进而求出an （基
本量思想，方程思想）．
求解过程
7 63 这与已知 则 若 S 2 S , q 1, 解 S3 , S 6 6 3 2 2 是矛盾的，所以 q 1.
an 符号语言： q ( n ≥ 2) an1
特征：
q 0, an 0
问题研究
如何判断一个数列是等比数列？
经典例题1
例1 已知数列{an }的前 n 项和 Sn=3n－2， 指出
{an }是否为等比数列，说明理由．
思路分析
例1 已知数列{an }的前 n 项和 Sn=3n－2， 指出
a1 (1 q 3 ) 7 S3 1 q 2 , 从而 6 a ( 1 q ) 63 S 1 . 6 1 q 2
想一想：利用Sn进行求和计算时，直接代入公式吗？
求解过程
a1 (1 q 3 ) 7 S3 1 q 2 , 从而 6 a ( 1 q ) 63 S 1 . 6 1 q 2 将上面两个等式的两边分别相除，得1 q3 9.
拓展延伸
（1）已知数列an , 数列{ bn }是项数相同的等比数
an 列，那么数列 是等比数列吗？ 是 bn
（2）已知数列an , 数列{ bn }是项数相同的等比数 列，那么数列an bn 是等比数列吗？ 不一定
an bn ) (b1 q2 n1 )与(a1 q1n ) (b1 q2 n ) ， 即a1b1 (q1q2 )n1与a1b1 (q1q2 )n ．
an1 bn1 a1b1 (q1q2 )n q1q2 ， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
可知a1=1，a2=6，a3=18． ∵a22≠a1 a3，
∴ {an }不是等比数列．
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！ an （2）基本策略：作商！ （n≥2）为常数. an1 （4）误点反思：由 Sn 求 an 时，要分 n=1 和 n≥2 （3）解题策略：判定命题的不正确性只需找 两种情况讨论． 到一个反例即可．