第二章 汇交力系

M O ( R) M O ( Fi )
i 1
§2-4 力偶理论
1. 力偶与力偶矩
力偶 —— 由两个等值、反 向且不共线的平行力系组 成。记作（ F，F ’）
• 两个力组成的平面称 B F’
M
d F
n
A
力偶作用面
•
•
• 这一矢量称作
力偶矩矢
两个力间的垂距 d 称为
1） 其长度表示力偶矩大小；
d
F0
( F1 , F1) 的力偶臂也为 d
∴ F1 = F
等效
F
•
性质一的实质
（1） 力偶在其作用面内只要力偶矩 不变（即力与力偶臂的积不变），它就可 以随意的转移，也可以增大力的同时减小 力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂）， 不改变它对刚体的作用效应。
（2） 力偶的作用面可以随意平行搬 移，不改变它对刚体的作用效应。
• 假设力作用在图示 平面内，且 O点也 在此平面内，则力 F 对 O 点的矩为 M O ( F ) = ±F h
或： M O ( F ) =±2△OAB O ——称为矩心 h —— 称为力臂 单位：Nm 或 kNm
r O h
力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。
b.
空间力系中的力对点的矩 • 空间力系中力对点的 矩需用矢量表示： B n
1 FB P F 3
∑Y = 0 ,
FA cos30°+ F cos60 °－ P cos30° = 0
1 FA P F 3
显见，x 和 y 轴并不相互正交，而求解反而方便了。
§2-3 力对点的矩
1. 力对刚体的转动效应用力对点的矩来度量
a.
n
平面力系的力对同平面中的点之矩
B
F A
又由 R = Rx i + Ry j + Rz k
得： Rx =ΣX i ; Ry =ΣY i ; Rz =Σ Zi
y 显然，合力的大小
i
R=
(
X)
2
( Y ) 2 (
Z)
2
cos(R , i ) = R x / R ; cos(R , j )= R y / R ; cos(R , k) = R z / R
FB
FB
α
P FA
α
P Fmin
FB
F
F
•按比例量得： FA=11 .4 kN，FB=10kN (2) Fmin = P sinα = P/2 =10kN
z E
例2-2
C y α TC α TD β S A P’ P’
x D
重为 P 的物体受无重杆 AB 和绳索 AC、AD 的支承（ACD 位于同一水平 面内）。已知 P =1000N, β= 45°, CE = ED = 12cm ， EA = 24cm，求 绳索的拉力和杆所受到的力。 解：以节点 A 为研究对象，取坐 标轴如图 受力分析，假定 AB 杆受拉 EA 24 2 cos 2 2 DA 5 12 24
力多边形自行封闭了。
• 结
论
推广前述的证明可得 • 汇交力系平衡的充要条件：
R = F1+F2+… +FN = 0 即 ΣF i = 0
• 汇交力系平衡的几何条件：
力多边形自行封闭。 由 R=
(
X)
2
( Y ) 2 (
Z)
2
=0
• 汇交力系平衡的解析条件：
ΣX i = 0; ΣY i = 0 ; Σ Zi = 0
预备知识（两平行力的合力）
• 前面已经证明了力偶矩矢为自由矢，后面将再 从另一个角度说明力偶的性质，使同学们有一 个较直观的理解。 为此，先看看两平行力的合力。以一对大小相 等且同向的平行力为例。
两个方向相反的平行力有合力吗？
2. 力偶的性质
性质一
作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等， 则此二力偶等效。——力偶等效定理
= -2△a c b 将 F0 和 F0 分别分解
M ( F1 , F1 ) = -2△a e b
M ( F0 , F0)
c
F0
F2
F
F0
F1
e
b
∵两三角形同底等高
∴ △a e b = △a c b 得：
M ( F1 , F1 ) = M ( F0 , F0) = - F d
a
F1 F2
M O (F ) r F x X
y Y
z Z
= ( y Z - z Y ) i + ( z X - x Z ) j + ( x Y - y X )k
2. 合力矩定理
汇交力系的合力对点的矩等于该力系 所有分力对同一点的矩的矢量和。 证：
设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、F2、…、 Fn的合力，即： R = F1 + F2 +…+ Fn 可得： MO (R) = r×R = r×( F1 + F2 +…+ Fn ) = r× F1 + r× F2 + … + r× Fn = MO (F1) + MO (F2) + … + MO (F n ) n 也就是：
P
B
∑Z = 0 ，- S cosβ -P ’ = 0 S = - P ’/ cosβ = - 1414N 对于手算，在列平衡方程时，往往将第 ∑X = 0 ，-TC sinα+ TD sinα = 0 TC=TD 一个投影量作为正投影。对以后的投影 ∑Y = 0 ，-TC cosα-TD cosα - S sinβ = 0 量则认为：= S sinβ / (2 cosα) = 559 N 与第一个量方向同，取正 TC
M1
R
F2 F1
M2
Fn
Mn
M = M1+M2+ … +Mn = ∑M i
证： 设有 n 个力偶，由性质一,总可 得到两个汇交力系，汇交点分别为 A 和 B。
B
RBA
A 43; M2 + … + M n = rBA×F1 + rBA×F2 + … + rBA×Fn = rBA×( F1 + F2 + … + Fn ) = rBA×R = M 证毕。
号，否则，取负号。
平面汇交力系的特殊情形
1、力在轴上的投影
根据力在某轴上的投影等于力 的模乘以力与投影轴正向间夹角的 余弦。对于正交轴 Oxy ，有 Y F=Xi+Yj Fy 必须注意，力在轴上的投影 X、Y 为代数量（力与轴间的夹角为锐角 时，其值为正），而力沿两轴的分 O F x 量是矢量。 在两轴相互不正交时， 分力在数值上不等于投影。 y
z
F
A rr
MO(F)
1）矢量的模等于力矩的 大小；
2）矢量的方位与力和矩 心组成的平面 的法向 同，矩心为矢起端； 3）矢量的指向确定了转 向，按右手法则。
O h x y
矩的矢量记作 MO (F) ，且 MO (F) = r×F —— 定位矢量 显然 | M O (F) | = F h = 2 △OAB 见后续
第二章
汇交力系
§2-1汇交力系的合成
现实生活中往往有许多力的作用线汇交于一点。
我们把这样的力系称为汇交力系。
•几何法
设F1、F2、F3和F4为一组汇交力系作用于 刚体上。
c F3 F4 y b F1 a F2 R12 F3 R123 d F4 e
F1
z O x
F2
R
称多边形 abcde 为力多边形，R 为封闭边。 R = R123 + F4 = R12 + F3 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4 推广得： R = F1+F2+…FN = ΣFi
力对点的矩为零的条件： 要使 | MO (F ) | = 0， 就有r×F =0，得：
1） r = 0 或 r 与 F 共线，即力通过矩心； 2） F = 0
力对点的矩采用行列式可得如下形式：
由： r = x i + y j + z k 和 F = X i + Y j + Z k 可得： i j k
性质三
力偶没有合力。
•证：
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到 一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的 力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛 盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效 而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡
3. 力偶系的合成
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。
§2-2汇交力系的平衡条件
设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。 c z O x F1 y F3 F4 F2 F2 b F1 a R12 F3 R123 F4 d
由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足 R123 + F4= 0 又因为 R123 = F1+F2+F3 所以 R = R123 + F4= F1+F2+F3 + F4 = 0
• 解析法
z Zi k O Xi x 方向余弦 Yi j Fi
把空间中的力 Fi 向三个坐标轴投影， 分别为X i、Y i 和 Z i 。
Fi = X i i + Y i j + Z i k
R = F1 + F2 + … + FN =ΣF i =( ΣX i ) i +(ΣY i ) j +(Σ Z i )k
力偶臂