数列专题练习
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高中数学《数列》专题练习1．与的关系：，已知求，应分时；n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =1S 时，=两步，最后考虑是否满足后面的.2≥n n a 1--n n S S 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d--=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，dn a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->mn m n n n q a a q a a --==,11中项如果成等差数列，那么叫做与,,a A b A a 的等差中项．。
b 2a b A +=等差中项的设法：da a d a +-,,如果成等比数列，那么叫做与的等,,a G b G a b 比中项．abG =2等比中项的设法：，，aq a aq前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=时；时1=q 1,na S n =1≠q qqa a q q a S n n n --=--=11)1(,11*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若，则2m p q =+qp ma a a +=2若，则q p n m +=+qp nm a a a a =2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An B d d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法(1)定义法：证明为常数；)(*1N n a a n n ∈-+(2)等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n (1)定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+(2)等比中项：证明21n n a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥(3)通项公式：均是不为0常数）(,nn a cq c q =3.数列通项公式求法：(1)定义法(利用等差、等比数列的定义)；(2)累加法；(3)累乘法(型)；n n n c a a =+1(4)利用公式；(5)构造法(型)；(6)倒数法等11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩b ka a n n +=+14.数列求和(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)裂项求和法；(5)倒序相加法。
数列(一)(练习题)
数列的基础练习题一、数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是 （ ）A. 数列1，3，5，7可表示为{1,3,5,7}B. 数列1，0，-1，-2与数列-2，-1， 0， 1是相同的数列C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N *的函数3、已知数列的通项公式为2815n a n n =−+，则3（ ） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项C. 只是数列{}n a 中的第6项D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 5、已知数列1,3,5,7,,21,,n −则35是它的 （ ） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知130n n a a +−−=，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列二、等差数列题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1−n n a a 在直03=−−y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=−=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=−，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +−=−=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．218、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q −−+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2−的前n 项和为 （ ）A. ()4321−n nB. ()7321−n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++−−n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。
一轮复习专题31 数列综合练习
专题31数列综合练习一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是()。
A 、1=n aB 、21)1(+-=n n a C 、|2sin |2π-=n a n D 、23)1(1+-=+n n a 【答案】C【解析】由|2sin|2π-=n a n 可得11=a ，22=a ，13=a ，24=a ，…，故选C 。
2．数列}{n a 中“n a 、1+n a 、2+n a (+∈N n )成等比数列”是“221++⋅=n n n a a a ”的()。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】+∈N n ，n a 、1+n a 、2+n a 成等比数列，则221++⋅=n n n a a a ，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1、0、0、0、…故选A 。
3．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为()。
A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓【答案】A【解析】选取1作为起点，由图可知，位置变化规律是以4为周期，由于250442018+⨯=，可知2018在2的位置，2019在3的位置，2020在4的位置，故选A 。
4．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为()。
A 、130B 、170C 、210D 、260【答案】C【解析】由已知得30=m S 、1002=m S ，则m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…为等差数列，则30=m S 、702m m S S -、11023=-m m S S ，则2103=m S ，故选C 。
5．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为()。
A 、20B 、21C 、22D 、23【答案】A【解析】由题意知这些数构成2+n 项的等差数列，且首末项分别为4和67，由等差数列的求和公式可得7812)2()(21=+⨯+=+n a a S n ，解得20=n ，故选A 。
数列专题练习
数列（专题练习）（一）等差数列1.设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，公差d 不等于零．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则（ ）A ．a 1d ＞0，dS 3＞0B ．a 1d ＞0，dS 3＜0C ．a 1d ＜0，dS 3＞0D ．a 1d ＜0，dS 3＜0 2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=16，S 5=35，则{a n }的公差为（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．2 3.已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2．若a 7+a 5=12，且a 7=7，则a 8=（ ）A ．6B ．12C ．10D ．84.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（ ）A ．96石B ．78石C ．60石D ．42石 5.在a ，b 中插入n 个数，使它们和a 、b 组成等差数列a ，a 1，a 2，…a n ，b ，则a 1+a 2+…+a n =（ ） A ．n （a+b ） B ．2b a n ）（+ C ．2b a 1n ））（（++ D ．2b a 2n ））（（++ 6.在等差数列{a n }中，a 1011=5，a 1+2a 4=9则a 2019=（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 7.数列{a n }满足a n +a n+2＝2a n+1(n∈N*)，且a 1+a 2+a 3=9，a 4=8，则a 5=（ ） A ．221 B ．9 C ．217D ．7 8.已知等差数列{a n }的公差为d ，若b n ＝2an ，且b 1+b 3=17，b 2+b 4=68，则d=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，a 10•S 21＜0，则S n 最大时，n 的值为（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．810.已知数列{a n }、{b m }的通项公式分别为a n =4n -2（1≤n≤100，n∈N *），b m =6m -4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（ ）A ．6788B ．6800C ．6812D ．6824 11.已知函数f （x ）（x∈R ）满足f （2-x ）=2-f （x ），若函数y=1-x 1x +与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑=+m1i i i y x ）（=（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m 12.等差数列a 1，a 2…，a n (n∈N *)，满足|a 1|+|a 2|+…+|a n |=|a 1+1|+|a 2+1|+…+|a n +1|=|a 1+2|+|a 2+2|+…+|a n +2|=|a 1+3|+|a 2+3|+…+|a n +3|=2010，则（ ） A ．n 的最大值是50 B ．n 的最小值是50 C ．n 的最大值是51 D ．n 的最小值是5113.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=-3，S 5=-10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 14.已知数列{a n }与{na 2n }均为等差数列（n∈N*），且a 1=1，则a 10=__________．15.若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n -2，则a 2019=__________．16.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若1n 22-n 3n n +=T S ，则99b a=__________．17.设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．18.在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3=12，a 2+a 4=18，n∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n ．19.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2+a 6=-8，a 3a 5=7． （1）求{a n }的通项公式；（2）记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n =|a n |，n∈N *，若T n ≥1464，求n 的最小值．20.在等差数列{a n }中，a 15+a 16+a 17=-45，a 9=-36，S n 为其前n 项和． （1）求S n 的最小值，并求出相应的n 值；（2）求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．21.设{a n }为递增等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 1a 3-a 5=S 10，S 11=33． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使2m 3m 1m a aa +++为正整数．22.数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1（n≥1）． （1）求a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求T n ．（二）等比数列1.在等比数列{a n }中，a 4、a 12是方程x 2+3x+1=0的两根，则a 8=（ ）A ．1B ．-1C ．±1D ．±32.已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1008a 1011+a 1009a 1010=8，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2018等于（ ） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．20193.正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得n m a a ＝1a 3，且a 7=a 6+6a 5，则n4m 1+的最小值是（ ） A ．3 B ．23 C ．625 D ．37 4.若a ，b 是方程x 2-px+q=0（p ＜0，q ＞0）的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 5.已知数列{a n }是公比为2的正项等比数列，若a m ，a n 满足2a n ＜a m ＜1024a n ，则（m -1）2+n 的最小值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．10 6.已知各项为正的等比数列{a n }，其公比为q ，且对任意n∈N *有a n+2=a n+1+2a n ，则q=（ ） A ．2 B ．23C ．2D ．1 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列等式中一定成立的是（ ）A ．S n +S 2n =S 3nB ．S 22n =S n S 3nC ．S 22n =S n +S 2n -S 3nD ．S 2n +S 22n =S n （S 2n +S 3n ）8.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A ．2.2天B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天 9.一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有43的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 10.设{a n }为等比数列，给出四个数列：∈{2a n }；∈{a n2}；∈{2a n }；∈{log 2|a n |}，一定为等比数列的是（ ） A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈∈ D ．∈∈11.记S n 为数列{a n }的前n 项和；已知{a n }和{S n -k}（k 为常数）均为等比数到，则k 的值可能为（ ） A ．a 1 B ．a 2 C ．a 3 D ．a 1+a 3 12.若存在等比数列{a n }，使得a 1（a 2+a 3）=6a 1-9，则公比q 的最大值为（ ）A ．451+ B ．251+ C ．451-+ D ．251-+ 13.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（ ）A ．若a 5＞0，则S 2019＜0B ．若a 5＞0，则S 2019＞0C ．若a 6＞0，则S 2018＜0D ．若a 6＞0，则S 2018＞014.已知无穷等比数列{a n }满足：对任意的n∈N *，sin a n =1，则数列{a n }公比q 的取值集合为__________．15.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 9=S 3+2S 6，则S 6+31S 取得最小值时，S 9的值为__________．16.设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若63a a ＝−21，则63S S =__________． 17.设无穷等比数列{a n }的公比为q ，若{a n }的各项和等于q ，则首项a 1的取值范围是__________．18.已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 21a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．19.设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n+1=3n -2a n （n∈N *）．（1）判断数列{a n −53n}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围．20.已知数列{a n }的前n 项和S n =n （n+1）+2，其中n∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a 2，a k+2，a 3k+2（k∈N *）为等比数列{b n }的前三项，求数列{b n }的通项公式．21.已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n −a n ＝2n +1，且S n +T n ＝2n+1+n 2−2． （1）求T n -S n ； （2）求数列{nn2b }的前n 项和R n ．22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n -n ，（n∈N *） （1）证明：{a n +1}是等比数列；并求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =（2n+1）a n +2n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ；（3）若c n =3n +（-1）n -1λ•（a n +1）（λ为非零常数，n∈N *），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N *，都有c n+1＞c n ？专题（三）数列的递推式1.设a ，b∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=a n 2+b ，n∈N *，则（ ） A ．当b=21时，a 10＞10 B ．当b=41时，a 10＞10 C ．当b=-2时，a 10＞10 D ．当b=-4时，a 10＞102.在数列{a n }中，a 1=-41，a n =1-1-a 1n （n ＞1），则a 2019的值为（ ） A ．41-B ．54C ．5D ．以上都不对 3.在数列{a n }中，已知a 1=1，a n+1-a n =2n ，则a n =（ ）A ．2n -1B ．2n -1C ．2n+1-3D ．2n+1-1 4.已知数列{a n }满足a 1＝21，a n+1＝a n +nn 12+，则a n =（ ） A ．n 1-23 B ．2-1n 3+ C ．1−1n 1+ D ．n123+5.已知等比数列{a n }满足：a 1=4，S n =pa n+1+m （p ＞0），则p −m 1取最小值时，数列{a n }的通项公式为（ ）A ．a n =4•3n -1B ．a n =3•4n -1C ．a n =2n+1D ．a n =4n 6.数列{a n }满足a n+2=a n+1+2a n ，且a 1=1，a 2=2，则a 6=（ ）A ．24B ．25C ．26D ．277.已知数列{a n }满足（n+1）a n =na n+1，a 2=4，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 2=a 2，则{b n }的前6项和为（ ） A ．-63 B ．-126 C ．63 D ．126 8.各项均正的数列{a n }满足a 1=4，a n+1＝2a n +2n+1，则a n 等于（ ）A ．n •2n -1B ．（n+1）•2nC ．n •2n+1D ．（n -1）•2n 9.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n+1=S n +a n +1，a 2+a 6=10，则S 7=（ ）A ．20B ．25C ．30D ．35 10.已知数列{a n }满足2a n ≤a n -1+a n+1（n ∈N *，n ≥2），则（ ）A ．a 5≤4a 2-3a 1B ．a 2+a 7≤a 3+a 6C ．3（a 7-a 6）≥a 6-a 3D ．a 2+a 3≥a 6+a 711.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，a n +a n+1=2n （n ∈N *），则S 13=（ ）A ．34213-B ．32213+C ．34214-D ．32214+12.若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a 2=2，（S n +1）（S n+2+1）=（S n+1+1）2，则S n =（ ）A ．21n n ）（+ B ．2n+1 C ．2n -1 D ．2n+1+1专题（四）数列与三角、向量综合1.在平面四边形ABCD 中，∈ACD 面积是∈ABC 面积的2倍，数列{a n }满足a 1=3，且CA =（a n+1-3）CB +（a n -2）CD ，则a 5=（ ）A ．31B ．33C ．63D ．652.已知数列{a n }为等差数列，且满足OA =a 1OB +a 2107OC ，若AB =λAC （λ∈R ），点O 为直线BC 外一点，则a 1009=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．21 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设A （a 1009，1），B （2，-1），C （2，2）为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若向量OA 与OB 在向量OC 方向上的投影相同，则S 2017为（ ） A ．-2016 B ．-2017 C ．2017 D ．04.如图，已知点E 为平行四边形ABCD 的边AB 上一点，AE =2EB ，F n （n ∈N *）为边DC 上的一列点，连接AF n 交BD 于G n ，点G n （n ∈N *）满足D G n =31a n+1A G n -（3a n +2）E G n ，其中数列{a n }是首项为1的正项数列，则a 4的值为（ ）A ．45B ．51C ．53D ．615.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB =a 7OA +a 2006OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 2012等于（ ）A ．1006B ．2012C ．22012D ．2-2012 6.设a k ＝(cos6πk ，sin 6πk +cos 6πk )，k∈Z ，则a 2015 • a 2016 =（ ） A ．3 B ．213-C ．132-D ．2 7.在等差数列{a n }中，a n ≠0（n ∈N *）．角α顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点（a 2，a 1+a 3），则ααααcos sin cos 2sin -+=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图，则∑=20191n 6n ）（πf =（ ）A ．-1B ．21C ．0D ．19.设等差数列{a n }满足）（）（）（65247274sin cos sin cos sin a a a a a a +-=1，公差d∈（-1，0），则d=（ ）A ．-4π B ．-5π C ．-6π D ．-7π10.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3）若点C 满足OC ＝a 1OA +a 2012OB ，其中{a n }为等差数列，且a 1006+a 1007=1，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．3x+2y -11=0B ．（x -1）2+（y -2）2=5C ．2x -y=0D ．x+2y -5=011.将向量a 1=（x 1，y 1），a 2=（x 2，y 2），…a n =（x n ，y n ）组成的系列称为向量列{a n }，并定义向量列{a n }的前n 项和S n ＝a 1+a 2+…+a n ．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{a n }是等差向量列，那么下述四个向量中，与S 21一定平行的向量是（ ）A ．a 10B ．a 11C ．a 20D ．a 21 12.设函数f （x ）=2x -cosx ，{a n }是公差为8π的等差数列，f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 5）=5π，则[f(a 3)]2−a 2a 3=（ ）A ．0B ．161π2 C ．81π2 D ．1613π2 13.已知A ，B ，C 为∈ABC 的三个内角，向量m 满足|m |＝26，且m ＝(2sin 2C B +，cos 2CB -)，若A 最大时，动点P 使得|PB |，|BC |，|PC |||BC PA 的最大值是__________．14.已知点集L ＝{(x ，y)|y ＝m •n }，其中m ＝(x−2b ，2)，n ＝(1，b+1)，点P n （a n ，b n ）∈L ，P 1=L∩{（x ，y ）|x=1}，且a n+1-a n =1，则数列{b n }的通项公式为__________．15.已知向量a ，b 满足a =（-2sinx ，3（cosx+sinx ）），b=（cosx ，cosx -sinx ），函数f （x ）=a •b （x∈R ）． （1）求f （x ）的单调区间； （2）已知数列a n ＝n 2f(24112n ππ-)(n∈N *)，求{a n }前2n 项和为S 2n ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a -b sin -sin 3C B =csin +sin BA ．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{a n }的公差不为零，a 1sinA=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列；若b n =1n n a a 1+，求数列{b n }的前n 项和S n ．专题（五）数列求和1.已知数列{a n }满足：a n ≠1，a n+1=2-n a 1（n∈N *），数列{b n }中，b n =1a 1n -，且b 1，b 2，b 4成等比数列； （1）求证：{b n }是等差数列； （2）S n 是数列{b n }的前n 项和，求数列{n1S }的前n 项和T n ．2.在数列{a n }中，a 1＝23，a n+1＝4a n −））（（2n 1n n 8n 3+++(n ∈N *)． （1）设b n ＝a n −）（1n n 1+，求证：数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．3.已知正项数列{a n }的前n 和为S n ，且2a 1S n ＝a n 2+a n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(31)n •a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．4.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列（d ≠0），S n 是前n 项和．记b n =cn n 2n+S ，n ∈N *，其中c 为实数． （1）若数列{c n }满足c n =nnS ，证明：数列{c n }等差数列； （2）若c=0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk =n 2S k （k ，n ∈N *）； （3）若{b n }是等差数列，证明：c=0．。
数列综合练习题
Ⅰ题型归类练习1．已知等比数列{}n a ，12a =，且2525(3)2n n n a a -⋅≥=，试求21222l o g ()l o g ()l o g ()n a a a +++ 例1． 数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，求212a ab -。
练习1．等比数列{}n b 中，0nb >，524346236b b b b b b ++=，求53b b +。
练习2．等比数列{}n b 前n 项和n S ，若422S S =，求{}n b 公比。
二、求数列通项例1． 数列{}n a 满足21nn S a =+(1n ≥)，求n a 。
练习1．数列{}n a 满足11a =，且10n n n a S S -⋅+=(2n ≥)，试求n a 。
类型3．1()n n a a f n +=+⇒1()n n a a f n +-=⇒利用累加法(逐差相加法)求解例3．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，求n a 。
练习3．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n n +=++，求n a 。
类型4．1()n n a f n a +=⨯ ⇒1()n na f n a +=⇒利用累乘法(逐商相乘法)求解例4．已知数列{}n a 满足123a =，1(1)n n n a na ++=，求n a 。
练习4．已知数列{}n a 满足13a =，1(43)(41)n n n a n a ++=-，求n a 。
类型5．1n n a pa q +=+(其中p,q 为常数,(1)0pq p -≠) ⇒ 待定系数法例5．已知数列{}n a 中，满足12a =，121n n a a +=+，求n a 。
解：由条件得：12()n n a t a t ++=⨯+⇒ 1t = ⇒112(1)n n a a ++=⨯+ ⇒ 令1n n b a =+，则{}n b 是以1113b a =+=为首项，2为公比的等比数列 ⇒ 132n n b -=⨯ ⇒ 1321n n a -=⨯-练习5．已知数列{}n a 中，满足11a =，124nn a a +=+，求n a 。
数列分专题经典练习-题型大全-典型例题
数列专题一．等差数列练习题1.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。
2.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3.等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的范围是______。
5.如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么6.已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－37.已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.8.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-9.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则12.{}n a 是公差为-2的等差数列，a 1+a 4+….. + a 97 =50，a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-8213.}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k =14.在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= 15.已知}{n a 为等差数列，a 1+a 8+ a 13+ a 18=100，求a 10= 16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n -40)，则下列判断正确的是（ ） A.a 19＞0,a 21＜0B.a 20＞0,a 21＜0C.a 19＜0,a 21＞0D.a 19＜0,a 20＞017.等差数列{a n }中，a 1>0，S 4=S 9，则S n 取最大值时，n=18.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
数列的概念练习题(有答案)
一、数列的概念选择题1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.3．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．504．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A ．135B ．141C ．149D ．1555．已知数列{}ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）A ．13i =，33j =B ．19i =，32j =C ．32i =，14j =D ．33i =，14j =6．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-7．已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ，则3a=( )A ．10B ．8C ．6D ．48．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）A ．4-B ．5-C ．4D ．511．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207513．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．1214．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ．215．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1216．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．617．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列18．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个19．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（ ） A ．2B ．4C ．10D ．1420．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．12018B ．12019 C ．12020D ．12021二、多选题21．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T22．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦23．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.26．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列27．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-28．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 30．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列31．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <32．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <33．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列34．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.2．A解析：A 【分析】运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.3．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．4．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.20211110112-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.6．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.7．D解析：D 【分析】根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.8．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=-当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题11．B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.13．B解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.14．B解析：B 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.15．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A16．A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。