高中数学第三章指数函数和对数函数3指数函数(二)学案北师大版必修1

3 指数函数（二）学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一 不同底指数函数图像的相对位置，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对(0,1)都是增函数，都过点x3＝y 与x2＝y 思考位置？梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．轴对称．y 的图像关于≠1)a 且0＞a (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝y 与xa ＝y 指数函数(2) 知识点二 比较幂的大小的大小关系如何？≠1)a 且0＞a (2ax 与1ax ，则2x ＜1x 若 思考梳理 一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的__________来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过__________来判断．知识点三 解指数方程、不等式的大小关系如何？2x ，1x ，则a ＜a 若 思考梳理 简单指数不等式的解法求解．______________的xa ＝y 的不等式，可借助)x (g a＞)x (f a形如(1) 的xa ＝y 为底数的指数幂的形式，再借助a 化为以b 的不等式，可将b ＞)x (f a形如(2)__________求解．的图像求解．xb ＝y ，xa ＝y 的不等式，可借助两函数xb ＞xa 形如(3) 知识点四 与指数函数复合的函数单调性的单调性1x ＝y 的单调性与⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝y 的定义域是什么关系？1x ＝y 的定义域与⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝y 思考有什么关系？函数的性质≠1)a 且，>0a ()x (f a ＝y 一般地，有形如 梳理 的定义域．________有)x (f ＝y 与函数)x (f a＝y 函数(1))x (f a＝y 时，函数<1a 0<的单调性；当________具有)x (f ＝y 与)x (f a＝y 时，函数>1a 当(2)与函数y ＝f (x )的单调性________．类型一 解指数方程例1 解下列关于x 的方程．；2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝x2(1)81×3 0.＝1－x3×2＋2＋x 2(2)2型通常化为同底来解．b ＝)x (f a(1) 反思与感悟 (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练1 解下列方程．；81＝2－x 3(1)3；325＝5x (2) 0.＝5＋x6×5－x2(3)5类型二 指数函数单调性的应用命题角度1 比较大小 例2 比较下列各题中两个值的大小．；0.31.50.3,(2)1.7；3－1.72.5,－(1)1.7.3.10.80.3,)1.7(3反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小．1.，π－⎝ ⎛⎭⎪⎫1π(2)；0.21.250.1,－(1)0.8命题角度2 解指数不等式 ．≠1)a ，且>0a (5－x a≤1＋x 2a的不等式：x 解关于 3例反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．．________的取值范围是x ，则x－12)＋a ＋2a >(x 2)＋a ＋2a (已知 3跟踪训练 命题角度3 与指数函数复合的单调性问题 例4 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调区间；(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调区间．反思与感悟复合函数单调性问题归根结底是由x1<x2到f(x1)与f(x2)的大小，再到g(f(x1))与g(f(x2))的大小关系问题．注意在此过程中不等号的变化．跟踪训练4 求下列函数的单调区间．(1)(2)y＝10.2x－1.1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a、b、c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．a＜b＜cC．a＜c＜b D．b＜c＜a2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝23．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式的解集为________．5．若指数函数y ＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m<c 且c <b n，则a m<b n；若a m>c 且c >b n，则a m>b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x 的不等式，可借助图像求解． 3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝af (x )与f (x )的单调性相同． 当0<a <1时，y ＝af (x )与f (x )的单调性相反．(2)研究y ＝f (a x)型单调区间时，要注意a x属于f (u )的增区间还是减区间．答案精析问题导学 知识点一思考 经描点观察，在y 轴右侧，2x＜3x，即y ＝3x图像在y ＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x在y ＝3x图像上方． 知识点二思考 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以ax 1＜ax 2， 当0＜a ＜1时，y ＝a x在R 上为减函数，所以ax 1＞ax 2. 梳理 (1)单调性 (2)图像 (3)中间值 知识点三思考 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，a ＜a ⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，a ＜a⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式． 梳理 (1)单调性 (2)单调性 知识点四思考 由于y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x1＞1x2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12，不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理 (1)相同 (2)相同 相反题型探究例1 解 (1)∵81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2. (2)∵22x ＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x－1＝0.令t ＝2x(t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x＝14，解得x ＝－2.跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x ＝325，∴5＝5， ∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x，则t >0， 原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x＝1， ∴x ＝1或x ＝0.例2 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图像位于y ＝1.5x的图像的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 方法二 ∵1.50.3＞0， 且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1， ∴y ＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1. 例3 解 (1)当0<a <1时， ∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．跟踪训练3 (12，＋∞)解析 ∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈(12，＋∞)．例4 解 (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减少的，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12在(－∞，3]上是增加的．在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增加的，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12在[3，＋∞)上是减少的． ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上递减，在[4，＋∞)上递增．令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤4，得x ≥－2.11 / 11 ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12 >⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 2－8t 2＋17.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]． 跟踪训练4 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a >1时，y 关于u 为增函数；当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)．(2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x 为减函数．而根据y ＝1u －1的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)． 当堂训练1．B 2.B 3.A4．(1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数，又∵∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1.5.5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12.。