高中数学教案：2.1.2 指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质
知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用.
能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类
讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 ，增强识图用图的能力.
情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐
的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.
教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用.
教学难点：指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系.
教学方法：探究式教学法.
教学手段：采用多媒体辅助教学.
教学过程：
一、创设情景，引出课题
前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数.
问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。

我们来看一种球菌的分裂过程：
动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是：x y 2=.
问题2：某种机器设备每年按%6的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x 年后，机器的价值为原来的y 倍，则y 与x 的关系为x y 94.0=.
思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
共同点：变量x 与y 构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数； 不同点：底数的取值不同.
大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）
（指数函数）
这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）
二、探索研究
(一)指数函数的概念：
函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.其中x 是自变量.函数的定义域为R .
在以前我们学过的函数中，一次函数用形如)0(≠+=k b kx y 的形式表示，反比例函数用形如)0(≠=k x
k y 的形式表示，二次函数用)0(2≠++=a c bx ax y 的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？
若0=a ，当0>x 时，x a 恒等于0，没有研究价值；当0≤x 时，x a 无意义；
若0<a ,例如当21,2=
-=x a 时，2-无意义，没有研究价值； 若1=a ，则11=x ,x a 是一个常量，也没有研究的必要.
很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）.
（二）对数函数的图像与性质：
学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图像及性质，然后利用其图像和性质去解决数学问题和实际问题.
思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、图像、单调性、奇偶性.
思考2：如何来画指数函数的图像呢?
画函数图像通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图.
思考3：画出指数函数x y 2=、x y )2
1
(=的图像并观察图像有什么特征？
函数x
y 2=的图像位于x 轴的上方，向左无限接近x 轴，向上无限延伸, 从左向右看，图像是上升的,与y 轴交于(0,1)点. 函数x y )2
1
(=的图像位于x 轴的上方，向右无限接近x 轴，向上无限延伸，从左向右看，图像是下降的，与y 轴交于(0,1)点.
思考4：函数12()2x x y y ==与的图象有什么关系?能否由2x y =的图像得到x y )21(=的图
像？
关于y 轴对称.所以可以先画其中一个函数的图像，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图像，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用.
思考5：选取底数a 的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图像．观察图像，你能发现他们有哪些共同特征？
教师演示课件，以不同的底，作出函数的图像，描绘出其几何特征，将函数的图像和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a 的值，让学生观察图像的变化规律．
思考6：通过你们画的图像以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？
底数分1>a 和10<<a 两种情况．
很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质呢？
引导学生观察函数x y 2=的图像特征，并总结函数x y 2=的性质．
思考7：从特殊到一般，指数函数)1(>=a a
y x 有哪些性质？并类比得出)
10(<<=a a y x 的性质．
师生共同归纳：
指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图像与性质：
强调：利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像，记住性质的关键在于要脑中有图．
三、应用举例：
数学源于生活，还要服务于生活．学习函数的一个重要目标是应用．指数函数是生产生活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具．这节课我们先来了解一下它的简单应用．
利用单调性比较大小．
例1. 比较下列各组数中各个值的大小：
（1）5.27.1 ，37.1 ； （2） 1.08.0-，2.08
.0-； （3）)1,0(,2131
≠>a a a a 且 ； （4） 3.07.1，1.39.0，1．
分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小．
1a > 01a <<
图 象
性
质 （1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞
（3）过定点(0,1)，即当0=x 时，1=y
（4）在(,)-∞+∞上是增函数
（4）在(,)-∞+∞上是减函数
说明：
1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．
2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论．
3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．
四、反馈练习：
比较下列各组数中两个值的大小：
五、归纳小结，强化思想:
本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图像和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图像和性质是本小节的重点．
1．数学知识点：指数函数的概念、图像和性质．
2．研究函数的一般步骤：定义→图像→性质→应用.
3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想.
六、布置作业：
；
，）（3.25.01.31.31；）（）（）（24.03.032,322--.
2.03.231.05.0--，）（。