第5章 树和二叉树

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13
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(a) 满二叉树
(b) 完全二叉树
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完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完 全二叉树的特例。
性质4：n个结点的完全二叉树的深度为：㏒2n +1。
其中符号： x表示不大于x的最大整数。 x 表示不小于x的最小整数。
+
* a b
c d
*
/
f
e
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树的表示方式
A D K L F C G E B H M J I
B A
A B E K L F C
C D
G D
J
嵌套集合
K
E
F
G
H
I
H M I J
L
M
树形表示
凹入表示
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
广义表
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5.1.2 树的基本术语
——包含一个数据元素和若干指向其子树的分支。 结点 结点的度 ——结点拥有的子树数 结点的层次 ——从根到该结点的层数（根结点算第一层） ——即度为0的结点，也称为终端结点 叶子 分支结点 ——即度不为0的结点，也称为非终端结点 树的度 ——树内所有结点度的最大值 树的深度 ——指树中所有结点的最大层次数，也称为高度 层次
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5.1.1 树的定义
树是n(n≥0)个结点的有限集
n=0的树称为空树。
E B
A
C
D
F
G
H
I
J
任意一棵非空树，满足： K M L ① 有且只有一个称为根的 T1 T2 T3 结点(root)； ② 当n>1时，除根结点外的结点可分为 m(m>0)个互不 相交的有限集T1 , T2 ,…, Tm。且每一集合本身又 是一棵树，称其为根的子树。每棵子树的根结点是 整棵树根结点的后继，整棵树的根结点是每棵子树 根结点的前驱。
由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结 点数为第i-1层上最大结点数的2倍，即： 2×2i-2＝2i-1 故命题成立。
20
性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≧1) 。 证明：
深度为k的二叉树的最大的结点数为二叉树中每层 上的最大结点数之和。 由性质1知，二叉树的第1层、第2层、⋯、第k层上 的结点数至多有： 20、21 、 …、2k-1 。
∴ 总的结点数至多有： 20+21+ …+2k-1=2k-1
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性质3：对任何一棵二叉树，若其叶子结点数为n0，度
为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
证明：
设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点 数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，则有： N=n0+n1+n2 再看二叉树中的分支数：除根结点外，其余每个结 点都有唯一的一个进入分支，设B为二叉树中的分支总 数，则有：N=B+1，而所有这些分支都是由度为1和2的 结点射出的，即：B＝n1+2n2 1 ∴ N=B+1=n1+2n2+1 2 ∴ n0+n1+n2=n1+2n2+1 即 n0=n2+1 4 3
(e)
(a) 空二叉树
(b) 单结点二叉树
(c) 右子树为空
(d) 左子树为空
(e) 左、右子树都不空
二叉树在树结构中起着非常重要的作用。因为二叉 树结构简单，存储效率高，操作算法相对简单，且任何 树都很容易转化成二叉树结构。 有关树的术语都适用于二叉树。
练习
具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？ 普通树呢？ 5种/2种
//根据LR为0或1，将二叉树c(右子树为空)插入成为T中p结点的 //左或右子树，p的原有左或右子树成为c的右子树
DeleteChild( &T, p, LR)
//根据LR为0或1，删除T中p结点的左或右子树 Root(T); //返回二叉树 T的根 Assign ( T, &e, value); //结点e赋值为value Value( T, e, ); //返回e 结点的值 PreOrderTraverse ( T ); //先序遍历T InOrderTraverse ( T ); //中序遍历T PostOrderTraverse ( T ); //后序遍历T LevelOrderTraverse ( T ); //层序遍历T
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当i=j+1时，由完全二叉树的定义知，若结点i的左 孩子结点存在，则其左孩子结点的编号一定等于编号 为j的右孩子的编号加1，即结点 i 的左孩子的编号为： (2j+1)+1=2(j+1)=2i 且有2i≦n。相反，若2i>n，则左孩子结点不存在。 同样地，若结点i的右孩子结点存在，则其右孩子 的编号为：2i+1，且有2i+1≦n。若2i+1>n，则左孩子 结点不存在。结论(2)和(3)得证。
⑵ 若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相交的 子集 T1,T2，分别称之为左、右子树，并且左、右 子树又都是二叉树。 由此可知，二叉树的定义是递归的。 与树的区别： ①二叉树每个结点最多只有两棵子树 ②二叉树的子树有左右之分
二叉树的基本形态
二叉树有5种基本形态：
A
A A A
(a)
(b)
(c)
(d)
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满二叉树：
一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二 叉树(Full Binary Tree)。
满二叉树的特点： 每一层上的结点数都是最大结点数。 可对满二叉树的结点进行连续编号，从根结点为1 开始，按“自上而下、自左至右”的原则进行。
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第5 章
树和二叉树
1
教学目标
1. 掌握二叉树的基本概念、性质和存储结构 2. 熟练掌握二叉树的前、中、后序遍历方法
3. 了解线索化二叉树的思想
4. 了解：森林与二叉树的转换，树的遍历方法
2
目
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
录
树和二叉树的定义 树和二叉树的抽象数据类型定义 二叉树的性质和存储结构 遍历二叉树与线索二叉树 树和森林 应用实例---利用二叉树求解表达式的值
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
11
森林 ——指m （m≥0）棵互不相交的树的集合
有序树 ——结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一） 无序树 ——结点各子树可互换位置。
B
C
D
B
A
E
F
G
H M
I
J
E
C
D
F
G
H
I
Hale Waihona Puke JKLK
L
M
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5.1.3
二叉树的定义
二叉树的定义
二叉树(Binary tree)是n(n≥0)个结点的有限集合。 若n=0时称为空树，否则： ⑴ 有且只有一个称之为根(Root)的结点；
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基本操作 P： InitTree( &T ); //初始化树 DestroyTree(&T); //销毁树 ClearTree(&T); //清空树 CreateTree(&T, definition ); //按definition建立树 TreeEmpty (T); //判断树是否为空 TreeDepth (T); //求树的深度 Root(T); //返回T的根 Assign ( T, &e, value); //结点e赋值为value Value( T, e, ); //返回e 结点的值 Parent(T, e); //返回e结点的双亲 LeftChild(T, e) ; //返回 e结点的最左孩子 RightSibling(T, e); //返回 e结点的右兄弟 InsertChild( &T, p, i, c); //将树c插入成为树T中p结点的第i棵子树 DeleteChild( &T, p, i); //删除树T中p结点的第i棵子树 TraverseTree( T ); //按某种次序遍历树 }ADT Tree
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二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ，称该二叉树为空二叉树； 若D≠Φ，则R= {H}，H是如下二元关系： ①在D中存在唯一的称为根的元素root，它无前驱。 ②除根以外，其余结点有且仅有一个前驱结点； ③所有结点最多可以有两个后继， 分别称为根的左 孩子与右孩子。 基本操作 P： InitBiTree( &T ); //初始化二叉树 T DestroyBiTree(&T) //销毁二叉树 T ClearBiTree(&T) //清空二叉树 T CreateBiTree(&T, definition ); //按definition建立二叉树 T BiTreeEmpty (T); //判断二叉树 T是否为空 BiTreeDepth (T); //求二叉树 T的深度
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5.2 树和二叉树的抽象数据类型定义
树的抽象数据类型定义
ADT Tree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D为空集，则称为空树； 若D中仅含一个数据元素，则R为空集； 其他情况下的R存在如下二元关系： ①有且仅有一个结点没有前驱，此结点称为根。 ②除根以外，其余结点有且仅有一个前驱结点。 ③所有结点可以有任意多个(含0个)后继。