第7章几个特殊类型的常微分方程
高等数学 上册 第7章 微分方程
形如
dny dxn
a1
(
x)
d n1 y dxn1
an1
(
x)
dy dx
an (x) y
f (x)
的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为 n阶非线性微分方程.
例如，xy 2 y x2 y 0 是三阶线性微分方程．
dy dx
2
x
dy dx
y
cos
x
是一阶非线性微分方程．
y 2 y( y)2 2x 1 是二阶非线性微分方程.
可分离变量的微分方程 dy f (x)g( y) 的解法总结如下：
dx
① 分离变量： 1 dy f (x)dx
g( y)
②
两边积分：
1 g( y)
dy
f
(x)dx
二、可分离变量的微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量，得 d y 4x3 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
dx x
；
5、回代变量：将u回代成 .
一、齐次方程
例1. 求微分方程 x2 dy y2 xy 满足初值条件 y |x1 1 的特解 x2
①
假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且 g( y) 0，
设y＝(x)是方程①的解, 则有恒等式
1 (x) d x f (x) d x g( (x))
两边积分, 得
f (x)dx
设函数G(y)和F(x)依次为 则有
和f(x)的原函数, ② 这说明方程①的解满足等式②
二、可分离变量的微分方程
①
dx
y x1 3
②
由①得
( C为任意常数)
常微分方程特殊类型及解法的应用拓展
常微分方程特殊类型及解法的应用拓展常微分方程是数学中一种重要的方程类型，广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域。
在解常微分方程的过程中，我们常常遇到一些特殊类型的方程，需要采用相应的解法来求解。
本文将介绍几种常见的特殊类型常微分方程及其解法，并探讨这些解法在实际问题中的应用拓展。
一、线性微分方程线性微分方程是最基本的一类常微分方程。
形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的一阶线性微分方程，可以通过积分因子法来求解。
具体步骤如下：1. 将方程化为dy/dx + Py = Q的形式，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
2. 根据积分因子的定义，积分因子μ(x)满足μ(x) = e^(∫P(x)dx)。
3. 两边同时乘以μ(x)，得到μ(x)dy/dx + Pμ(x)y = Qμ(x)。
4. 将左边化为(μ(x)y)'的形式，并对方程两边同时积分。
5. 最后解出y(x)即可。
线性微分方程的解法能够涉及到求解常数变易法、常数变异法、待定系数法等多种方法，具体根据问题的特点选择合适的方法。
二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程是常微分方程中的典型问题。
形如d^2y/dx^2 + ay' + by = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程法来求解。
具体步骤如下：1. 将方程化为特征方程r^2 + ar + b = 0的形式。
2. 求解特征方程的根r1和r2。
3. 根据特征值的不同情况，得到方程的通解。
- 当特征根为实数且不相等时，通解为y(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)。
- 当特征根为实数且相等时，通解为y(x) = (C1 + C2x)e^(r1x)。
- 当特征根为复数时，通解为y(x) = e^(αx)(C1cosβx + C2sinβx)，其中α为特征根的实部，β为特征根的虚部。
三、一阶可分离变量微分方程一阶可分离变量微分方程是常微分方程中的另一类特殊类型方程。
高等数学第七章微分方程微分方程
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
2013/9/23
第一节 微分方程的基本概念
解
2
在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联 系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们 的导数或微分间的关系。
例1
解 原方程即 对上式两边积分，得原方程的通解
例2
解
对上式两边积分，得原方程的通解 经初等运算可得到原方程的通解为
4
原方程的解为
例3
解 两边同时积分，得
故所求通解为
2013/9/23
例4
解 原方程即 两边积分，得 故通解为
曲线族的包络。
例6求解微分方程 解 分离变量
两端积分
工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解。
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
2013/9/23
19
特解:
故
等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
因
本质上为实函数 ,
均为 m 次实多项式 .
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
常微分方程的几何意义和解法
常微分方程的几何意义和解法在数学领域中，常微分方程是一类非常重要的问题之一。
这类问题包括了数学中最基本的物理问题，而且是很多实际问题的数学模型。
在这篇文章中，我们将会探究常微分方程的几何意义和解法。
首先，我们需要明确什么是常微分方程。
常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是数学中的一类方程，是描述一个未知函数在自变量上导数的函数关系式。
常微分方程的例子包括了以下几种:1. y' = f(x,y) (一阶常微分方程)2. y''+y = 0 (二阶齐次常微分方程)3. y''+y = cos x (二阶非齐次常微分方程)我们先来看第一种类型的常微分方程。
对于y' = f(x,y)，我们可以将其看作一个二维函数图像中的切线斜率问题。
这里，y代表了这个函数的纵坐标，x代表了这个函数的横坐标，y'代表了这个函数图像在这个点的切线斜率。
而f(x,y)则代表了这个切线斜率与这个点（x,y）的坐标之间的关系。
因此，我们可以使用一系列箭头指向各个点上的切线，从而得到图像的整体特征。
对于二阶常微分方程：y''+y = 0，我们可以将其看作一个简谐振动的问题。
在这个问题中，y代表运动物体的位置，而加速度则等于y的二阶导数。
因此，方程中的y''可以被看作物体的加速度，而y相当于物体在相应时刻的位置。
当y<0时，物体向一个方向运动，而当y>0时，则向相反的方向运动。
而对于非齐次方程，比如y''+y = cos x，我们就需要通过特殊的技巧求解。
在这个方程中，cos x可以被看作外力的结构，而y代表了这个问题的解。
因此，在求解这个方程时，我们可以先求得它的齐次部分解，然后再利用特殊的技巧来求得其非齐次解。
接下来，我们需要了解一下求解常微分方程的几种方法。
1. 变量分离法：变量分离法是常微分方程求解中最常用的方法之一。
高等数学第七章常微分方程
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高等数学
第七章 常微分方程
因此y=eλ1x是原方程的解。 函数y=C1eλ1x+C2eλ2x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x y″=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x 代入原方程，则 (C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x)-(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2( C1eλ1x+eλ2x)≡0 说明y=C1eλ1x+C2eλ2x也是原方程的解。
微分方程的概念 一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程
第一节 微分方程的概念
一、 微分方程的基本概念
例1 已知一条曲线经过点(2，1)，且该曲线上任一点
P(x，y)处切线斜率为x，求该曲线的方程.
解 设所求曲线方程为y=y(x).由导数的概念及几何意义
F(x，f(x)，f′(x)，…，f(n)(x))≡0 则称y=f(x)为微分方程 (7-1-1) 在区间I上的解。
第一节 微分方程的概念
例2 验证函数y=eλ1x和y=C1eλ1x+C2eλ2x均为方程 y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0的解。
解 y=eλ1x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=λ1eλ1x， y″=λ12eλ1x 将y，y′，y″代入原方程中，则 λ12eλ1x-(λ1+λ2)λ1eλ1x+λ1λ2eλ1x≡0
dx
常微分方程的特殊类型及解法
常微分方程的特殊类型及解法在数学中，微分方程是研究自变量与其导数之间关系的方程。
它们在多个学科领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学和生物学等。
常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是指仅涉及一元函数的微分方程，相对于偏微分方程来说，常微分方程的研究较为简单。
在本文中，我们将介绍常微分方程中的一些特殊类型及其解法。
一、一阶线性常微分方程首先，让我们来讨论一阶线性常微分方程。
它可以表示为：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$其中，P(x)和Q(x)是已知函数。
为了求解这类方程，我们可以采用积分因子的方法。
具体步骤如下：1. 将方程变形为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 寻找积分因子$\mu(x)$，它满足$\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$。
3. 将方程两边同时乘以积分因子$\mu(x)$，得到$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$。
4. 将左侧变为导数形式，即$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$。
5. 对上式两边同时积分，解得$\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx + C$，其中C为常数。
6. 最终求得方程的解为$y = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)Q(x)dx +\frac{C}{\mu(x)}$。
二、一阶可分离变量常微分方程接下来，我们来探讨一阶可分离变量常微分方程。
它可以写成以下形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$其中，f(x)和g(y)是已知函数。
这类方程的求解步骤如下：1. 将方程变形为$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$。
2. 对上式两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$。
第7章几个特殊类型的常微分方程
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用分离变量法解这个问题，先令
u( x , y, t ) V ( x , y )T (t ),
代入方程(7.1)得
2V 2V VT 2 2 y x T ,
或
2V 2V T x 2 y 2 T V
( 0).
将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得
2V 1 V 1 2V 2 2 2 V 0, R;(7.7) V 0. （7.8） R
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再令 V ( , ) R( )( ) 代入(7.7)并分离变量可得
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以 yn ( x )乘（7 .22）减去 ym ( x ) 乘（7.23）得
dym ( x ) dyn ( x ) d d yn ( x ) k ( x ) ym ( x ) k ( x ) dx dx dx dx
(m n ) ( x ) ym ( x ) yn ( x ) 0.
b
(m n ) ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx
a
b
dym ( x ) dym (b) k ( b ) yn ( b ) ym ( b ) dx dx dym (a ) dyn (a ) k ( a ) yn ( a ) ym ( a ) dx dx
n( n 1)
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则得
1 d 2 dR r n( n 1), R dr dr
1 d d 1 d n( n 1). sin 2 2 sin d d sin d
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上式积分得
0
b a b dym ( x ) dyn ( x ) d d yn ( x ) k ( x ) dx ym ( x ) k ( x ) dx a dx dx dx dx
(m n ) ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx
7．2 勒让德方程的引出 对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量. 在球坐标系中拉普拉斯方程为
1 2 u 1 u 1 2u 0. r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin
方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville）型方程 方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件
2
y(b) 0;
y(a )
的非零解（固有函数）及对应于非零解的（固有值）。
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几点结论： 1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列， 即
将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得
2V 1 V 1 2V 2 2 2 V 0, R;(7.7) V 0. （7.8） R
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再令 V ( , ) R( )( ) 代入(7.7)并分离变量可得
b
a
( x ) ym ( x ) yn ( x )dx 0.
f ( x ) f n yn ( x ),
n1
4、固有函数 y 1 ( x ), y2 ( x ), y3 ( x ),, yn ( x ), 在 [a , b] 上构成一个完备系。
其中
fn
b
a
( x ) f ( x ) yn ( x )dx
（7.15） (7.16)
1d 2 m . 2 d
2
( ) 所满足的微分方程可写为
1 d d m n( n 1) 0. sin 2 sin d d sin
2
把上式第一项中的导数计算出来，并化简得
d 2 d m2 ctg n( n 1) 0, 2 2 d d sin
这时(7.18)简化成
2 d P dP 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) P 0. dx dx
(7.19)
方程(7.19)称为勒让德方程
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7．3 施特姆-刘维尔理论简述 前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个 特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可 引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都 归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们 讨论更一般的微分方程
r 以 乘上式各项得 R
2
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1 d 2 dR 1 d d 1 d 2 0 r sin 2 2 R dr dr sin d d sin d
或 1 d 2 dR 1 d d 1 d 2 , r sin 2 2 R dr dr sin d d sin d
( ) ( ) 0
(7.9) (7.10)
2 R ''( ) R '( ) ( 2 ) R( ) 0.
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由于 u( x , y , t ) 是单值函数，所以V ( x , y ) 也必是单值的， 因此 ( ) 应该是以2 为周期的周期函数，这就决定了
d dy k ( x ) q( x ) y ( x ) y 0 dx dx
(a x b), (7.20)
方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.
n 若 k ( x ) x , q( x ) , ( x ) x , a 0, b R, x
只能等于如下的数：
2
0,12 ,22 ,32 ,
2 以 n n 代入方程(7.10)，并作代换 r
则得
2 2 r F ( r ) rF ( r ) ( r n )F ( r ) 0.
(7.11)
称为 n 阶贝塞尔（Bessel）方程.
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用分离变量法解这个问题，先令
u( x , y, t ) V ( x , y )T (t ),
代入方程(7.1)得
2V 2V VT 2 2 y x T ,
或
2V 2V T x 2 y 2 T V
( 0).
(m n ) ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx ,
a b
(7,24)
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讨论： (i) y(b) 0, 从而
dy (b) dy (b) k (b) y (b) m y (b) n 0. n m dx dx dy(b ) 0, 从而 (ii) dx
(7.17)
方程(7.17)称为连带的勒让德(Legendre)方程. 果引用 x cos 自变量 ， 并将( ) 改记成 P ( x ) 则(7.17)变成
2
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2 dP m 2 d P (7.18) (1 x ) 2 2 x n( n 1) P 0. 2 dx dx 1 x 若 u( r , , ) 与 无关，则从(7.16)可知 m 0
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以 yn ( x )乘（7 .22）减去 ym ( x ) 乘（7.23）得
dym ( x ) dyn ( x ) d d yn ( x ) k ( x ) ym ( x ) k ( x ) dx dx dx dx
(m n ) ( x ) ym ( x ) yn ( x ) 0.
将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有
2 d R dR 2 r 2r n( n 1) R 0. 2 dr dr
-----欧拉方程
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以 sin2 乘方程(7.14)的两端得
2 1 d d 1 d 2 sin 0, sin n( n 1)sin 2 d d d
b
(m n ) ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx
a
b
dym ( x ) dym (b) k ( b ) yn ( b ) ym ( b ) dx dx dym (a ) dyn (a ) k ( a ) yn ( a ) ym ( a ) dx dx
dym ( x ) d k( x) q( x ) ym ( x ) m ( x ) ym ( x ) 0,（7。22） dx dx
dyn ( x ) d k( x) q( x ) yn ( x ) n ( x ) yn ( x ) 0. （7。23） dx dx
1 2 3 n n1
对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数
y1 ( x ), y2 ( x ), y3 ( x ),
2、当 q( x ) 0 时，所有固有值均不为负，即
n 0
( n 1,2,3,)
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3、设 m n 是任意两个不相同的固有值，对应于 这两个固有值的固有函数记为 y m ( x ), y n ( x ) 则
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由此我们得到
T ( t ) T ( t ) 0,
(7.4)
2V 2V 2 V 0. (7.5) 2 x y 方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz）方程，为了求出 这个方程满足条件
V
x 2 y 2 R2
0
(7.6)
的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.
n( n 1)
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则得
1 d 2 dR r n( n 1), R dr dr
1 d d 1 d n( n 1). sin 2 2 sin d d sin d
2
(7.13) (7.14)
2
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则(7.20)就变成贝塞尔方程
d dy n2 x y xy 0; dx dx x
若 k ( x ) 1 x 2 , q( x ) 0, ( x ) 1, a 1, b 1, 则方程(7.20)就成为勒让德方程
d 2 dy (1 x ) y 0; dx dx
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第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型 的常微分方程 7．1 贝塞尔方程的引出 求解下述定解问题
u 2 u 2 u t x 2 y 2 ;(7.1) （7.2） u t 0 ( x , y ); u x 2 y 2 R2 0. (7.3)
a
b
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dym ( x ) dyn ( x ) k ( x ) yn ( x ) k ( x ) ym ( x ) dx dx a
b dym ( x ) dyn ( x ) dyn ( x ) dym ( x ) k( x) dx k ( x ) dx a a dx dx dx dx b
dym (b) dyn (b) k ( b ) yn ( b ) ym ( b ) 0. dx dx
dy(b ) 0, (iii) y(b) h 则 dx dym (b ) dyn (b ) yn ( b ) ym ( b ) 0, dx dx dym (b) dyn (b) ym ( b ) 0. 从而 k (b) yn (b) dx dx