技法篇 选择题、填空题常用解法
技巧解决填空题难题的五种方法
技巧解决填空题难题的五种方法填空题作为考试中常见的题型之一，常常给考生带来困扰。
正确填写空白处的单词或短语往往需要考生对上下文的理解、逻辑推理以及词汇掌握的熟练运用。
本文将介绍五种技巧，帮助考生解决填空题的难题。
一、理解上下文填空题通常出现在一篇文章或段落中的特定位置，因此理解上下文是解决该题型难题的首要考虑。
在填空之前，可以先通读全文，了解文章的大意和主题。
然后，仔细阅读填空前后的句子，确保对上下文有清晰的认识。
通过这样的方式，我们可以更好地理解文章的逻辑关系，从而更准确地选择填空选项。
二、寻找关键词填空题中关键词的查找是解决难题的一种有效方法。
关键词通常是指在题目中明确出现的词语或短语，也可以是在上下文中反复出现的词语。
通过找到关键词，可以帮助我们缩小选项范围，更好地判断正确答案。
然而，需要注意的是，并不是所有关键词都是正确选项。
因此，在查找关键词的同时，仍然需要借助其他方法进行判断。
三、使用逻辑推理逻辑推理是填空题解答中常用的方法之一。
根据文章的逻辑关系，我们可以推断填空处可能需要表达的含义。
如果是因果关系，我们可以从上下文推断出造成某种结果的原因；如果是转折关系，我们可以推断填空处选项所需表达的转折点。
通过逻辑推理，我们可以更好地揣摩作者的意图，选择正确的答案。
四、考虑语法和词汇搭配填空题中，正确答案往往需要符合语法和词汇搭配的规则。
因此，在选择答案时，需要对英语语法和词汇进行充分理解。
例如，主谓一致、形容词和名词的搭配等都是我们需要注意的。
此外，进行词汇推测也是解决填空难题的重要方法之一。
通过对选项中单词的词义辨析，我们可以更好地选择最佳答案。
五、实践训练和复习巩固最后，实践训练和复习巩固是解决填空题难题的关键。
通过做大量的练习题，特别是一些真实的考试题目，我们可以熟悉填空题的常见要求和技巧。
同时，及时总结和复习错误的题目，并找出解答错误的原因和规律。
通过不断的实践和复习，我们可以不断提高解答填空题的能力。
填空题的常见题型及解题技巧
填空题的常见题型及解题技巧
填空题是我们在考试中常遇到的一种考题，考生要按照题意给出正确
的答案才能获得相应的分数。
尽管每种填空题的考查要求各不相同，
但使用一些解题技巧可以有效帮助我们更准确、更快速地完成填空题。
首先，我们需要弄清题目背后的含义，如果能够熟悉填空题的不同类型，学会去理解题目的问题即可大大降低考试的难度，比如说：定义
型让考生填入相应的概念，现象型让考生填入现象，原因型让考生填
入原因，结果型让考生填入结果等等。
其次，还要多利用细节题的特性，利用题目上提供的细节和解释找到
答案，这样可以有效提高我们做题的速度和正确率。
另外，考生还要根据上下文联系来帮助判断答案，例如，如果我们想
要判断某个词的准确意思，那么我们可以读它的前后文来确定答案。
最后，我们需要做好总结，在每道填空题完成之后，再逐一检查一下，以防出现误判而造成分数损失。
总之，只有不断掌握并熟练掌握填空题的相关技巧，才能更好地提高
我们的考试成绩。
数学填空题的常用解法解读
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。
若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos 。
解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53。
例5 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+。
例6 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令0=a ，得结果为23。
数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。
数学填空题的常用解法
高考填空题的常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
初中数学选择题、填空题解法方法归纳
初中数学选择题、填空题解法方法归纳选择题十大解法方法一：排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。
方法二：赋予特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
方法四：直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元方法五：数形结合法解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。
方法六：代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
方法七：观察法观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
方法八：枚举法列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )A.5种B.6种C.8种D.10种分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。
方法九：待定系数法要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
方法十：不完全归纳法当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。
初中数学解题技巧归纳
初中数学解题技巧归纳初中数学万能解题技巧一、选择题解题技巧1、排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。
2、直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
3、代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
4、观察法观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
二、填空题解题技巧初中数学填空题主要题型一是定量型填空题，主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度；二是定性型填空题，考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。
1.直接法；2.特例法；3.数形结合法；4.猜想法；5.整体法。
三、压轴题解题技巧1、函数型综合题先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
2、几何型综合题先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
填空题的解题方法
填空题的解题方法填空题是考试中常见的一种题型，要求在给定的空格中填入正确的答案。
在解题过程中，正确的方法和技巧可以帮助我们高效地完成填空题。
下面将介绍一些常用的填空题解题方法。
1.仔细审题：在开始解答填空题之前，首先要仔细审题，理解题目的意思。
注意关注题目中的关键词和提示信息，这有助于我们缩小答案的范围并提高答题的准确性。
2.根据上下文推断：填空题通常是在一个大段落或长篇文章中出现的，上下文的信息可以提供线索来推断答案。
通过理解上下文的语意和逻辑关系，我们可以推测出应该填入的内容。
3.利用前后对应关系：有些填空题的前后空格之间存在着一定的逻辑关系或者对应关系。
当我们填写前一个空格时，可以通过对后一个空格的要求或者提示来进一步确定答案。
4.注意形式和语法：填空题中的答案不仅仅是内容上的匹配，还要符合语法规则和句子的表达习惯。
在填写答案时，需要注意词性、时态和句型等方面的要求，以确保填入的答案符合语法和句子结构的要求。
5.排除法：当我们对某个空格无法确定答案时，可以通过排除法来缩小答案的范围。
通过对其他选项进行分析比较，我们可以推断出最有可能的答案。
6.利用知识和背景信息：对于一些专业性的填空题，我们可以利用自己的知识和背景信息来解答。
有时候，一些专业术语或者常识性的知识可以帮助我们准确填写答案。
7.多做练习：填空题是一项需要积累和练习的技能。
通过多做题目，积累解题经验，我们可以提高对问题的敏感度和判断能力，从而更好地应对不同类型的填空题。
总结起来，解答填空题需要仔细审题、思维缜密以及灵活运用各种解题方法。
通过不断的练习和积累，我们可以提高解答填空题的准确度和效率。
祝你在考试中取得好成绩！。
高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧
高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧方法一：直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．【典例1】(1)(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数2－i 1－3i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】选A.因为2－i1－3i ＝（2－i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ） ＝5＋5i 10 ＝12 ＋12 i ，所以复数2－i 1－3i 对应的点位于第一象限．(2)(2021·烟台二模)已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若2F A ·2F B ＝0，且|2F A |＝|2F B |，则C 的离心率为( ) A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ．7【解析】选B.由F 2A·F 2B ＝0且|2F A |＝|2F B |知：△ABF 2为等腰直角三角形且 ∠AF 2B ＝π2 、∠BAF 2＝π4 ，即|AB|＝ 2 |2F A |＝ 2 |2F B |， 因为⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A|－|F 2A|＝2a ，|F 2B|－|F 1B|＝2a ，|AB|＝|F 1A|－|F 1B|，所以|AB|＝4a ，故|F 2A|＝|F 2B|＝2 2 a ，则|F 1A|＝2( 2 ＋1)a ，而在△AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|F 2A|2＋|F 1A|2－2|F 2A||F 1A|cos ∠BAF 2， 所以4c 2＝8a 2＋4(3＋2 2 )a 2－8( 2 ＋1)a 2，则c 2＝3a 2，故e ＝ca ＝ 3 . 【变式训练】1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝( ) A ．1 B ．i C ．1－i D ．1＋i【解析】选D.方法一：z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi ，则(a ＋b)＋(b －a)i ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b －a ＝0， 解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i.2．(2021·郑州二模)已知梯形ABCD 中，以AB 中点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E 在线段AC 上，且AE→ ＝23 EC → ，若以A ，B 为焦点的双曲线过C ，D ，E 三点，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．7C ． 6D ． 2【解析】选B.设双曲线方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1，由题中的条件可知|CD|＝c ， 且CD 所在直线平行于x 轴， 设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y 0 ，A(－c ，0)，E(x ，y)，所以AE → ＝(x ＋c ，y)，EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－x ，y 0－y ，c 24a 2 －y 20 b 2 ＝1，由AE → ＝23 EC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25c y ＝25y 0，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25c ，25y 0 ，因为点E 的坐标满足双曲线方程，所以4c 225a 2 －4y 2025b 2 ＝1， 即4c 225a 2 －425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 24a 2－1 ＝1，即3c 225a 2 ＝2125 ，解得e ＝7 .方法二：特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．【典例2】(1)(2021·郑州三模)在矩形ABCD 中，其中AB ＝3，AD ＝1，AB 上的点E 满足AE ＋2BE ＝0，F 为AD 上任意一点，则EB ·BF ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3 【解析】选D.(直接法)如图，因为AE ＋2BE ＝0， 所以EB ＝13 AB ， 设AF ＝λAD ，则BF ＝BA ＋λAD ＝－AB ＋λAD ，所以EB ·BF ＝13 AB ·(－AB ＋λAD )＝－13 |AB |2＋13 λAB ·AD ＝－3＋0＝－3.(特例法)该题中，“F为AD上任意一点”，且选项均为定值，不妨取点A为F. 因为AE＋2BE＝0，所以EB＝13AB．故EB·BF＝13AB·(－AB)＝－132 AB＝－13×32＝－3.(2)(2021·成都三模)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C－sin A sin C＝________．【解析】(方法一：直接法)由内角A，B，C成等差数列，知：2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，所以B＝π3，而由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，结合正弦定理得：sin2B＝sin2A＋sin2C－sin A sin C＝3 4.(方法二：特例法)该题中只有“内角A，B，C成等差数列”的限制条件，故可取特殊的三角形——等边三角形代入求值．不妨取A＝B＝C＝π3，则sin 2A＋sin2C－sin A sin C＝sin2π3＋sin2π3－sinπ3sinπ3＝34.(也可以取A＝π6，B＝π3，C＝π2代入求值．)答案：34【变式训练】设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC → ，则AM → ·NM → 等于( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6【解析】选C.若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC→ ，知M(6，3)，N(4，4)，所以AM → ＝(6，3)，NM → ＝(2，－1)，所以AM → ·NM → ＝6×2＋3×(－1)＝9.方法三：数形结合法对于一些含有几何背景的问题，往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断解决相应的问题．如Veen 图、三角函数线、函数图象以及方程的曲线等，都是常用的图形．【典例3】已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．22【解析】选C.如图，设OA→ ＝a ，OB → ＝b ，则|OA → |＝|OB → |＝1，OA → ⊥OB → ，设OC → ＝c ，则a－c ＝CA → ，b －c ＝CB → ，(a －c )·(b －c )＝0，即CA → ·CB → ＝0.所以CA → ⊥CB → .点C 在以AB 为直径的圆上，圆的直径长是|AB→ |＝ 2 ，|c |＝|OC → |，|OC → |的最大值是圆的直径，长为 2 .【变式训练】1．设直线l ：3x ＋2y －6＝0，P(m ，n)为直线l 上动点，则(m －1)2＋n 2的最小值为( ) A ．913 B ．313 C ．31313 D ．1313【解析】选A.(m －1)2＋n 2表示点P(m ，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l 的距离，即|3－6|13 ＝313，则(m －1)2＋n 2的最小值为913 .2．(2021·河南联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x （x>0），x 2＋1（x≤0）， 若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y ＝－32 的对称点在直线kx －y －3＝0上，则实数k 的取值是________． 【解析】直线kx －y －3＝0关于直线y ＝－32 对称的直线l 的方程为kx ＋y ＝0，对应的函数为y ＝－kx ，其图象与函数y ＝f(x)的图象有2个交点．对于一次函数y ＝－kx ，当x ＝0时，y ＝0，由f(x)≠0知不符合题意． 当x≠0时，令－kx ＝f(x)，可得－k ＝f （x ）x ，此时， 令g(x)＝f （x ）x ＝⎩⎨⎧ln x －2（x>0），x ＋1x （x<0）.当x>0时，g(x)为增函数，g(x)∈R ，当x<0时，g(x)为先增再减函数，g(x)∈(－∞，－2]. 结合图象，直线y ＝－k 与函数y ＝g(x)有2个交点， 因此，实数－k ＝－2，即k ＝2. 答案：2方法四：排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而确定正确选项．【典例4】(1)(2021·郑州二模)函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x在(－π，π)的图象大致为()【解析】选A.根据题意，函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x，x∈(－π，π)，f(－x)＝sin (－x)ln π＋xπ－x＝sin x lnπ－xπ＋x＝f(x)，则f(x)在区间(－π，π)上为偶函数，所以排除B，C，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ln π23π2＝ln 13 <0，所以排除D.(2)(2021·太原二模)已知函数y ＝f(x)部分图象的大致形状如图所示，则y ＝f(x)的解析式最可能是( )A ．f(x)＝cos x e x －e －xB ．f(x)＝sin x e x －e －xC ．f(x)＝cos x e x ＋e －xD ．f(x)＝sin x e x ＋e －x 【解析】选A.由图象可知，f(2)<0，f(－1)<0， 对于B ，f(2)＝sin 2e 2－e －2>0，故B 不正确；对于C ，f(－1)＝cos （－1）e －1＋e＝cos 1e －1＋e>0，故C 不正确； 对于D ，f(2)＝sin 2e 2＋e －2 >0，故D 不正确．【变式训练】1．(2021·嘉兴二模)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x 的图象可能是()【解析】选C.由f(－x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x －1＋1－x ＋1 cos (－x) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝－f(x)知， 函数f(x)为奇函数，故排除B.又f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝2x x 2－1 cos x ， 当x ∈(0，1)时，2xx 2－1 <0，cos x>0⇒f(x)<0.故排除A ，D.2．(2021·石家庄一模)甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为( ) A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【解析】选B.丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人是丙． 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝．方法五：构造法构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等模型转化为熟悉的问题求解．【典例5】(1)(2021·昆明三模)已知函数f(x)＝e x －a －ln x x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】选D.方法一(切线构造)：函数f(x)＝e x －a －ln xx －1有两个不同的零点， 则e x －a －1＝ln xx 有两个解， 令g(x)＝e x －a －1，h(x)＝ln xx (x>0)，则g(x)与h(x)有2个交点，h′(x)＝1－ln xx 2 (x>0)， 当x>e 时h′(x)<0，h(x)单调递减， 当0<x<e 时h′(x)>0，h(x)单调递增， 由g′(x)＝e x －a (x>0)得g(x)单调递增， 图象如下，当g(x)与h(x)相切时，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0x 0 ， h′(x 0)＝1－ln x 0x 2＝g′(x 0)＝0x ae －， 同时ln x 0x 0 ＝ex 0－a －1，得ln x 0x 0 ＋1＝1－ln x 0x 2，即x0ln x0＋x20＝1－ln x0，(x0＋1)ln x0＝－(x0＋1)(x0－1)，又x0>0，ln x0＝1－x0，所以x0＝1，此时1＝e1－a，所以a＝1，当a>1时，可看作g(x)＝e x－1－1的图象向右平移，此时g(x)与h(x)必有2个交点，当a<1时，图象向左平移二者必然无交点，综上a>1.方法二(分离参数)：由题意，方程e x－a－ln xx－1＝0有两个不同的解，即e－a＝ln xx＋1e x有两个不同的解，所以直线y＝e－a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点．g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1′×e x－（e x）′×⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1（e x）2＝－（x＋1）（ln x＋x－1）x2e x.记h(x)＝ln x＋x－1.显然该函数在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，所以0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)>0，函数单调递增；所以x>1时，h(x)>0，即g′(x)<0，函数单调递减．所以g(x)≤g(1)＝ln 11＋1e1＝1e.又x→0时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→0.由直线y＝e a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点，可得e －a <1e ＝e －1，即－a<－1，解得a>1.方法三：由题意，方程e x －a －ln x x －1＝0有两个不同的解，即e x －a ＝ln x x ＋1，也就是1e a (xe x )＝x ＋ln x ＝ln (xe x ).设t ＝xe x (x>0)，则方程为1e a t ＝ln t ，所以1e a ＝ln t t .由题意，该方程有两个不同的解．设p(x)＝xe x (x>0)，则p′(x)＝(x ＋1)e x (x>0)，显然p′(x)>0，所以p(x)单调递增，所以t ＝p(x)>p(0)＝0.记q(t)＝ln t t (t>0)，则q′(t)＝1－ln t t 2 .当0<t<e 时，q′(t)>0，函数单调递增；当t>e 时，q′(t)<0，函数单调递减．所以q(t)≤q(e)＝ln e e ＝1e .又t→0时，q(t)→0；t→＋∞时，q(t)→0.由方程1e a ＝ln t t 有两个不同的解，可得0<1e a <1e ，解得a>1.(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【解析】选C.将三棱锥P-ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22 ＝2 3 .设外接球的半径为R ，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(2 3 )2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.【变式训练】1．已知2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，则( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b【解析】选D.因为2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，化为：ln a a ＝ln 22 ，ln b b ＝ln 33 ，ln c c ＝ln 55 ，令f(x)＝ln x x ，x ∈(0，e)，f′(x)＝1－ln x x 2 ，可得函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f(c)－f(a)＝ln 55 －ln 22 ＝2ln 5－5ln 210＝ln 253210 <0，且a ，c ∈(0，e)， 所以c<a ，同理可得a<b.所以c<a<b.2．(2021·汕头三模)已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)－f(x)>0，f(2 021)＝e 2 021，则不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 的解集为( ) A ．(e 2 021，＋∞)B ．(0，e 2 021)C ．(e 2 021e ，＋∞)D ．(0，e 2 021e )【解析】选D.令t ＝1e ln x ，则x ＝e et ，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 等价转化为不等式f(t)<e e et ＝e t ，即f （t ）e t <1 构造函数g(t)＝f （t ）e t ，则g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t， 由题意，g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t>0， 所以g(t)为R 上的增函数，又f(2 021)＝e 2 021，所以g(2 021)＝f （2 021）e 2 021 ＝1，所以g(t)＝f （t ）e t <1＝g(2 021)，解得t<2 021，即1e ln x<2 021，所以0<x<e 2 021e .方法六：估算法估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围，从而解决相应问题的方法．【典例6】(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12 (5－12 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm【解析】选B.头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170～178 cm之间．【变式训练】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3【解析】选B.等边三角形ABC的面积为9 3 ，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4，8)，所以13×9 3 ×4<V三棱锥D-ABC <13×9 3 ×8，即12 3 <V三棱锥D-ABC<24 3 .。
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m－n＝－3.
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技法篇 选择题、填空题常用解法
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变试题 1．若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab 的值为( ) 4 2 A.3 B．8－4 3 C．1 D.3
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(2)f(x)＝4cos 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin －|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令 f(x)＝0， 得 sin 2x＝|ln(x＋ 1)|.在同一坐标系中作出函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)| 的大致图像，如图 2 所示． 观察图像可知，两个函数的图像有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点．
[答案] A
[解析] 由(a＋b)2－c2＝4 得 a2＋b2＋2ab－c2＝4， 又 C＝60°， a2＋b2－c2 4－2ab 1 4 ∴cos C＝ 2ab ＝ 2ab ＝2，解得 ab＝3.
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1 2．若 f(x)＝ x ＋a 是奇函数，则 a＝________． 2 －1
方法二 特例求解法 在解决选择题和填空题时， 可以取一个(或一些)特殊数值(或 特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊 图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于 只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦 琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选 择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到 “四两拨千斤”的功效．
[解析] (1)如数列为 1，2，3，4，去掉第 3 项，得 1，2，4 为 a1 等比数列，显然有 d ＝1.若改换成数列 4，3，2，1，去掉第 2 a1 项，得 4，2，1 为等比数列，则 d ＝－4，所以选 A.
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4 ．设 a>b>1 ，则 logab ， logba ， logabb 的大小关系是 ______________．
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[分析] (1)据垂直、平分的条件可得出点(4，0)关于直线 5x＋ 4y＋21＝0 的对称点坐标，但运算量较大，不可取．注意到 对称点已出现在选项中，所以只需代入验证即可． (2)显然焦点(1，0)一定是弦 MN 在某种状态下的中点，即在 所求轨迹上，可代入选项中进行验证，并结合其他一些条件 进行判断．
1 [答案] 2
1 [解析] ∵f(x)＝ x ＋a， 2 －1 1 2x ∴f(－x)＝ －x ＋a＝ ＋a. 2 －1 1－2x 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 2x 1 即 ＋a＝－( x ＋a)， 1－2x 2 －1 1 解得 a＝2.
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例 2
(1)[2015· 陕西卷] 设 f(x)＝ln x，0<a<b，若 p＝ a ＋b 1 f( ab)，q＝f( 2 )，r＝2(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正 确的是( ) A．q＝r<p B．q＝r>p C．p＝r<q D．p＝r>q π (2)[2015· 福建卷] “对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x”是 “k<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] logabb<logab<logba
[解析] 考虑到三个数的大小关系是确定的， 不妨令 a＝4， b＝2， 1 1 1 1 则 logab ＝ 2 ， logba ＝ 2 ， logabb ＝ 3 ， 显 然 3 < 2 <2 ， ∴ logabb<logab<logba.
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2x
2x x·2cos 2－1
图2
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变试题 5．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 x，都 有 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在(－∞，1]上单调递增．若 x1<x2，且 x1＋x2＝3，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．不能确定
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例 1 (1)[2015· 安徽卷] 已知 x，y 满足约束条件 x－y≥0， x＋y－4≤0，则 z＝－2x＋y 的最大值是( ) y≥1， A．－1 B．－2 C．－5 D．1 π 2x (2)[2015· 湖北卷] 函数 f(x)＝4cos 2· cos( 2 －x)－2sin x－ |ln(x＋1)|的零点个数为________．
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[答案] (1)C
(2)B
[解析] (1)根据条件， 不妨取 a＝1， b＝e， 则 p＝f( e)＝ln e＝ 1＋e 1 1 1 1 ， q ＝ f( )>f( e ) ＝ ， r ＝ (f(1) ＋ f( e )) ＝ 2 2 2 2 2，在这种特例情 况下满足 p＝r<q，所以选 C. (2)若对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x 成立，不妨取 x＝ 4 ， 代入可得 k< 2 ，不能推出 k<1，所以是非充分条件；因为 x ∈(0， 2 )，恒有 sin x<x，若 k<1，则 kcos x<1，一定有 ksin xcos x<x，所以选 B.
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[答案] (1)A
(2)2
[解析] (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图 1 所示的 △ABC 内部及其边界，当直线 y＝2x＋z 过 A 点时 z 最大， 又 A(1，1)，因此 z 的最大值为－1.
图1
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方法一 直接法 直接解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、 性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结 果．直接法是求解填空题的常用方法．在用直接法求解选择 题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算 和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些 常用的性质、典型的结论，以提高解题速度．
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πππຫໍສະໝຸດ π技法篇 选择题、填空题常用解法
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变试题 3．a1，a2，a3，a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0， 若将此数列删去某一项得到的数列 ( 按原来的顺序 ) 是等 a1 比数列，则 d 的值为( ) A．－4 或 1 B．1 C．4 D．4 或－1
[答案] A
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[分析] (1) 从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值 大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下 更能成立，所以不妨对 a，b 取特殊值处理，如 a＝1，b＝e. (2)正常来说分析不等式 ksin xcos x<x 成立的条件很复杂， 也 没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对 x 取特殊值进 行分析，这样既快又准确．
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方法四 验证法 所谓验证法， 就是从选项出发， 将答案逐一代入题中去验证， 看看是否满足题设的条件，而从中选出正确答案的方法．
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例 4 (1)点(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0 的对称点是 ( ) A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8) (2)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于 M， N两 点，则 MN 中点的轨迹方程是( ) A．y2＝2x－1 B．y2＝2x－2 C．y2＝－2x＋1 D．y2＝－2x＋2
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1 1 例 1 (1)[2015· 重庆卷] 若 tan α ＝3， tan(α＋β)＝2， 则 tan β ＝( ) 1 1 5 5 A.7 B.6 C.7 D.6 (2)[2015· 江苏卷] 已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
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■ 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有 80 分，因此， 探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要 的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是 答案就在给出的选择项中．而填空题是一种只要求写出结 果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所 以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题 时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的 特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．
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π 6． 定义在区间(0， )上的函数 y＝6cos x 的图像与 y＝5tan 2 x 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y＝sin x 的图像交于点 P2，则线段 P1P2 的长为 ________．
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[分析] (1)虽然已知 α，α ＋β 的正切值，但还是不能确定 α， tan α ＋tan β α ＋β 的大小，由于 tan(α＋β)＝ ，在这个公 1－tan α tan β 式中，唯一不知道的就是 tan β 的值，所以直接使用此公式 就可求解． (2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量 m，n 的值．