排列组合二项复习

例7.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒 中则4个有一个是空盒的放法有多少种. 例8.从1、2、3、4、…、9九个数字中，选出3个不同 的数字作为y=ax2+bx+c的系数且a>b>c，这种系数有多 少种 N 例9.(走路问题)(方法:数格子)如图在某 城市中M、N两地之间有整齐的道路网， 若规定只能向东或向北两个方向沿图 中路线前进，则M到N不同的走法共有：M
例2.7人排成一排，其中甲乙两人不相邻的排 法有多少？
例 3.7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各 自不同站法多少种？
(1).两名女生必须相邻而站. (2).4名男生互不相邻. (3).若4名男生身高都不等且男生按从高到底 的一种顺序站.
(4).老师不站中间，女生不站两端.
A.140
B.80
C.70
D.35
例3.在100件产品中，有4件次品，现任意抽出5件， 其中至少有1件是次品的抽法有多少？
例4.从四面体顶点和各棱中点共10个点中任取4个不共 面的点，不同取法有 ( ) A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
例5.10名优秀学生名额分到6个班，每班至少一个名额 的分法有多少种？ 例6.11名学生中有5名只会英语，4名只会日语，2人 既会英语又会日语，从中选出4人参加英语比赛，4人 参加日语比赛有多少种不同的选 法？
(5).女生甲不站左端，女生乙不站右端.
例4.由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五 位数120个，把这些五位数从小到大的顺序排 列起来。 (1).43251是第几个数? (2).写出第 93个数? 例5.已知甲组有2n人，乙组有n+1人，设从甲 组中选出 3 人分别参加数理化三科竞赛 ( 每科 限一人参加)的选法数是x，从乙组中选出4人 站成一排照相的站法数是 y，若 x=2y, 求 n、x、 y.
一.两个基本原理
乘法原理： 做一件事完成它需要分n个歩骤： 做第1歩――有m1种不同的方法 做第2歩――有m2种不同的方法 …… 做第n歩――有mn种不同的方法
则完成这件事共有N＝m1×m2×……×mn种不同的方法
理解: 需要依次完成所有歩骤才能完成这件事，而完成 每一个歩骤各自有若干方法，即各歩骤不可缺少
n
题型
【方法】:利用通项与分解因式列表法
1 100 例2.在( x 3 ) 的展开式中有多少项是有理项. x
【分析】:列表法分类讨论
例4.在(x 2 3 x 2)5的展开式中x的系数
(-168)
(240)
▲ ( a b c)
n
题型
(-15120) (-20) (-51)
【方法】:先任意组合两项或分解因式列表法
0 n 2 n 4 n 6 n n 2
六.二项式定理题型
(1)求展开式：
例1.求(1 2 x) 8的展开式
例3.若(2 x 3 ) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x
4 2 3
4
求(a0 a2 a4 ) (a1 a3 )
2
2
例5.已知(1 x) n 展开式中奇数项之和为A，偶数项之 和为B, 求A B
【小结】
1 例2.求(| x | 2) 3 展开式中常数项 | x| 1 例3.求(x 1) 5 展开式中常数项 x
第九章 排列
组合 二项式定理
一.两个基本原理
加法原理： 做一件事，完成它可以有n类办法 第1类办法中――有m1种不同的方法 第2类办法中――有m2种不同的方法 …… 第n类办法中――有mn种不同的方法
则完成这件事共有N＝m1+m2+…+mn种不同的办法
(不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事) 理解: ①前提：做一件事完成它有n类办法 ②在这n类办法中选用任何一种方法都可完成这件事 ③完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的,
A.25 B.15 C.13 D.10 例10.(组成长方形问题)(方法:数线)如上图可组成多少 个长方形.
三.二项式定理及其应用 一.二项式定理及展开式
◆项数 ◇杨辉三角 ◆二项式系数
二.二项式定理的通项 是第几项?
是第r+1项
三.二项式定理展开式的中间项
n为偶数时:中间项为第 n为奇数时:中间项为第
中间项的二项式系数最大
四.二项式系数 的性质 首先构建一个函数式 f ( x) (1 x)n
(1).当x 1时则C C C C C 2
0 n 1 n 2 n 3 n n n n
由(1)(2)得.C C C C C C 2
加法原理(并联) 两个基本原理的区别： 乘法原理(串联)
一.两个基本原理
附加： 抽屉原理： 把n个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有mn种
一.两个基本原理
二.排列及其应用
从n个不同元素中，任取m(n≥m)个元 ▲排列定义： 素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列(树图). 问：一个排列指什么？
(4)排除法： 反面情形较为简单，可计算反面情形再从所有情形 中减去. (5)捆绑法： 部分元素要连排在一起时，可将它们排列后视为 一个元素再和其它排列(相邻问题). (6)插空法： 某些元素要求隔开或顺序有规定时，可先排其余 元素(不相邻问题)
例 1 . 已 知 集 合 A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4,b5,b6}, 若A中的不同元素对应到B中的不同象，则这样 的映射个数其有( ) A. 3 B. 20 C . 64 D. 120
二.组合及其应用
从n个不同元素中，任取m(n≥m)个元 ▲组合定义： 素并成一组，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个组合(树图). 问：一个组合指什么？
▲组合数：从n个不同元素中取出m(n≥m)个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数，
问：所有组合指什么？
▲组合数公式： 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 m 合数，记为 C n
0 规定： C n
C 1
n n m n
▲组合数的两个性质：
定理1： C 定理2：
C
nm n
排列与组合关系：
排列 组合
顺序问题 相同 与 相异 公式
与元素的顺序有关 ab与ba是不同的排列 abc与abd是不同的排列 abd与abd是相同的排列
与元素的顺序无关 ab与ba是相同的组合 abc与abd是不同的组合
规定
例1.从4个不同元素a、b、c、d中取出3个元 m m m 素的排列与组合关系： Pn Cn Pm
组合 排列
例1.9人分往3处劳动，若
(1)甲处要4人，乙处要3人，丙处要2人，有几种分法. (2)一处要4人，一处要3人，一处要2人，有几种分法. 例2.从4名男生和5名女生中任选出3名，其中至少男女 生各一名，则不同取法有 ( )
▲排列数：从n个不同元素中取出m(n≥m)个元素的 所有排列的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的排列数，
问：所有排列指什么？
▲排列数公式： 从 n▲规定：
常用方法：
(1)直接法 (2)间接法：处理“至多”或“至少”一类问题非常有效求其反面
(3)优选法： 部分元素要排在某些特殊位置时要优先予以考虑。
2 2
(2)求证整除问题：
例2.今天是星期二, 再过2 天是星期几 ?
(3)证明恒等式
100
(2n)! 例2.求证 : (C ) (C ) (C ) (C ) C2nn n!n!
0 2 n 1 2 n 2 2 n n 2 n
(4)求近似问题
▲组合数的两个性质的应用
m 定理1： C n
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
n 1
n n [ 2 (cos i sin )] 2 (cos i sin ) 4 4 4 4
n n 2


五.区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系 数”
例如
n 结论：(1).C C C C 2 cos 4 n n 1 3 5 7 2 (2).Cn Cn Cn Cn 2 sin 4
C
nm n
定理2：
例1：填空
(2).C C C C
4 5 4 6 4 7 4 10
例2：证明下列恒等式
0 2 n 1 n n (1).C m C1 C C C C m 1 m2 m n 1 m n m n 1
▲ (a b)