15圆周运动及其运用

讲义编号：一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v ＝Δl Δt ＝ 2πr T. 2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量． ω＝ΔθΔt ＝ 2πT.3．周期和频率：描述物体绕圆心 转动快慢的物理量．T ＝2πr v ，T ＝1f.4．向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量．a ＝r ω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T2r .5．向心力：作用效果产生 向心加速度．F 向＝ma 向． 二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动．(2)性质：向心加速度大小不变，方向时刻变化的变加速曲线运动．(3)质点做匀速圆周运动的条件，合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． (4)两个结论①同一转动圆盘(或物体)上的各点角速度相同．②皮带连接的两轮不打滑时，则轮缘上各点的线速度大小相同． 2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均不断变化的圆周运动． (2)合力的作用①合力沿速度方向的分量F τ产生切向加速度，F τ＝ma τ，它只改变速度的大小． ②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度，F n ＝ma n ，它只改变速度的方向． 知识梳理【特别提醒】匀速圆周运动既不是匀速运动也不是匀变速运动，它是加速度大小不变，方向时刻在改变的变加速曲线运动．“匀速”指的是速度大小不变． 三、离心运动1．离心运动的定义：做匀速圆周的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动 所需向心力 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动． 2．离心运动的应用和防止(1)应用：洗衣机的脱水筒、制棉花糖等．(2)防止：公路弯道处车速不宜过快，砂轮、飞轮的转速不能过大等．【特别提醒】物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出．考点1.传动装置问题的处理方法皮带传动装置与齿轮传动装置是圆周运动知识在实际生活和生产中的两个典型应用．解决此类问题应抓住以下几点：(1)同轴转动的轮子或同一轮子上各点的角速度相等；(2)皮带(或链条)传动的两轮，皮带不打滑时，皮带(或链条)接触处的线速度大小相等； (3)齿轮传动装置中，还应注意齿轮的半径r 与齿数N 成正比，即r ＝kN .另外，应灵活运用公式ω＝2πT＝2πf 、v ＝ωr 、a ＝v ω进行求解．【例1】 图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r 1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮，Ⅲ是半径为r 3的后轮．假设脚踏板的转速为n r/s ，则自行车前进的速度为( )A.πnr 1r 3r 2B.πnr 2r 3r 1C.2πnr 1r 3r 2D.2πnr 2r 3r 1典型例题【思路点拨】两个齿轮之间通过链条传动，两轮边缘处的线速度相等；后轮与小齿轮同轴转动，角速度相等．【解析】自行车前进的速度即为Ⅲ的线速度，由在同一个轮上的角速度相等，同一链条上的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2再有：ω1＝2πn，v＝ω3r3所以自行车的前进速度v＝【答案】 C【反思】本题考查齿轮传动中线速度、角速度的关系，确定Ⅰ、Ⅱ的线速度相等和Ⅱ、Ⅲ的角速度相等是解题关键．变式探究1A、B两轮经过皮带传送(不打滑)，C轮与A轮同轴，它们的半径之比分别是：R A∶R B∶R C＝1∶2∶3，如图所示，求：(1)三轮边缘的线速度之比v A∶v B∶v C；(2)三轮的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(3)三轮边缘的点的向心加速度之比a A∶a B∶a C.【解析】(1)由于A、B两轮是通过皮带传动，故v A∶v B＝1∶1，而A、C两轮固定在同一轴上，ωA＝ωC，则v A∶v C＝R A∶R C＝1∶3，所以v A∶v B∶v C＝1∶1∶3.(2)由于ωA∶ωC＝1∶1，而A、B两轮边缘线速度大小相等，故ωA∶ωB＝R B∶R A＝2∶1.所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶2.(3)因为向心加速度a＝vω，所以a A∶a B∶a C＝2∶1∶6.【答案】(1)1∶1∶3(2)2∶1∶2(3)2∶1∶6【反思】(1)皮带连接的两轮不打滑时，轮缘上各点的线速度的大小相等．(2)同一转动物体上各点的角速度相同.考点2.圆周运动中的动力学问题分析1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．3．解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程； (5)求解、讨论． 4．火车转弯问题在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．车速大时，容易出事故．设车轨间距为L ，两轨高度差为h ，车转弯半径为R ，质量为M 的火车运行时应当有多大的速度？根据三角形边角关系知sin θ＝hL ，对火车的受力情况分析得tan θ＝F Mg.因为θ角很小，所以sin θ≈tan θ，故h L ＝F Mg ，所以向心力 F ＝h LMg .又因为F ＝Mv 2/R ，所以车速v ＝ghR L. 由于铁轨建成后h 、L 、R 各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：【特别提醒】(1)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，沿半径指向圆心的合力均为向心力．(2)当采用正交分解法分析向心力的来源时，常常以做圆周运动的物体为坐标原点，一个坐标轴沿半径指向圆心．【例2】 (2009·广东高考单科，17)如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m 的小物块．求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．【思路点拨】 本题第(1)问为斜面上的平衡问题，第(2)问实质为圆锥摆问题，需要准确进行受力分析建立动力学方程．【解析】 (1)当筒不转动时，物块受力如图所示，由平衡条件得F N －mg cos θ＝0 F f －mg sin θ＝0其中sin θ＝HR 2＋H 2联立解得F f ＝mg sin θ＝mgHR 2＋H 2， F N ＝mg cos θ＝mgRR 2＋H 2. (2)当物块在A 点随筒匀速转动且其所受到的摩擦力为零时，物块的受力如图所示，由牛顿第二定律得mg tan θ＝ma ＝m R 2ω2，由几何关系得：tan θ＝HR解得ω＝2g tan θR＝2gHR.【反思】 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动．其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平，也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)，“火车转弯”“飞机在水平面内做匀速圆周飞行”等在水平面内的匀速圆周运动的问题都属于此类问题．变式探究2如图所示，两个相同材料制成的靠摩擦传动的轮A 和B 水平放置，两轮半径R A ＝2R B .当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上．若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为( )A.R B 4B.R B3 C.R B2D ．R B【解析】 A 、B 两轮边缘线速度相同，要使小木块静止的临界条件是最大静摩擦力提供向心力．由题图可知，当主动轮A 匀速转动时，A 、B 两轮边缘上的线速度相同，由ω＝v R得，ωA ωB ＝vR A v R B＝R B R A ＝12.由于小木块恰能在A 轮边缘静止，则静摩擦力提供的向心力达到最大值μmg ，得μmg ＝m ωA 2R A ①.设放在B 轮上能使小木块相对静止时距B 转轴的最大距离为r ，则向心力由最大静摩擦力提供，故μmg ＝m ωB 2r ②.因A 、B 材料相同，故小木块与A 、B 的动摩擦因数相同，故m ωA 2R A ＝m ωB 2r ，所以r ＝⎝⎛⎭⎪⎫ωA ωB 2R A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122R A ＝R A 4＝R B 2.所以C 选项正确．【答案】 C考点3.变速圆周运动的最高点和最低点 竖直面内圆周运动的问题分析对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”，“最小”，“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：【特别提醒】圆周运动的考查，经常是结合牛顿第二定律、机械能守恒及做圆周运动的临界条件．【例3】 如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系着木桶，使它在竖直面内做圆周运动．如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s 和10m/s ，求木桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对木桶的压力．(g 取10m/s 2)【解析】 (1)在最高点时，以木桶和水为研究对象，木桶和水的质量为：m 1＝0.1kg ＋0.4kg ＝0.5kg ，水的质量为m 2＝0.4kg ，则木桶和水受重力mg 和绳的拉力FT 1作用，有：FT 1＋m 1g ＝m 1v 12R ，即FT 1＝m 1v 12R－m 1g把数据代入上式，可得：FT 1＝76N ，则木桶对绳的拉力大小为76N ，方向向上水在最高点受重力m 2g 和木桶对水的支持力F N 1的作用，有：F N 1＋m 2g ＝m 2v 12R ，即F N 1＝m 2v 12R－m 2g 把数据代入上式，可得：F N 1＝60.8N ，则水对木桶的压力大小为60.8N ，方向向上．(2)在最低点时，木桶和水受绳向上的拉力FT 2和向下的重力m 1g 作用，有FT 2－m 1g ＝m 1v 22R ，即FT 2＝m 1g ＋m 1v 22R把数据代入上式，可得：F T 2＝105N ，则木桶对绳的拉力大小为105N ，方向向下．水在最低点受木桶向上的支持力F N 2和向下的重力m 2g 作用，有：F N 2－m 2g ＝m 2v 22R ，即F N 2＝m 2g ＋m 2v 22R把数据代入上式，可得：F N 2＝84N ，则水对木桶的压力大小为84N ，方向向下．【反思】 求木桶对绳的拉力，必须要以水和木桶整体为研究对象，而求水对木桶的压力，必须以水为研究对象．另外，求出拉力和压力后，还必须根据牛顿第三定律说明力的方向．变式探究3(2010·武汉模拟)如右图所示光滑管形圆轨道半径为R (管径远小于R )，小球a 、b 大小相同，质量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是( )A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mgB ．当v ＝5gR 时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力C ．速度v 至少为5gR ，才能使两球在管内做圆周运动D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力都大6mg【思路点拨】 解答本题应注意以下两点： 关键点：(1)光滑管模型类似于轻杆模型． (2)小球从最高点到最低点的过程中机械能守恒．【解析】 小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b 所受重力充当向心力，mg ＝mv 02R⇒v 0＝gR ，小球从最高点运动到最低点过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12mv 02＝12mv 2，解以上两式可得：v ＝5gR ，B 项正确；小球在最低点时，F 向＝m v2R ＝5mg ，在最高点和最低点所需向心力的差为4mg ，A 项错；小球在最高点，内管对小球的支持力与重力的合力可以提供向心力，所以小球通过最高点的最小速度为零，再由机械能守恒定律可知，2mgR ＝12mv 2，解得v ＝2gR ，C 项错；当v ≥5gR 时，小球在最低点所受轨道压力F 1＝mg ＋mv 2R ，由最低点运动到最高点，2mgR ＋12mv 12＝12mv 2，小球所受轨道压力F 2＝mv 12R －mg ，F 2＝mv 2R－5mg ，F 1－F 2＝6mg ，再根据牛顿第三定律，可见小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg ，D 项正确．【答案】 BD1．下列关于离心现象的说法正确的是( ) A ．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动【解析】 离心力是一种效果力，实际并不存在，A 错；做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，由于惯性，它将沿切线方向飞出，做匀速直线运动，B 、D 错，C 正确． 【答案】 C2．如右图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G 的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g ，估算该女运动员( )A ．受到的拉力为3GB ．受到的拉力为2G巩固训练C ．向心加速度为3gD ．向心加速度为2g【解析】 女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动时受到重力G 和拉力F T 的作用，合力沿水平方向指向圆心，拉力F T ＝Gsin30°＝2G ，由mg cot30°＝ma 得向心加速度为a ＝3g ，故本题正确选项为B 、C.【答案】 BC3．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s 2，g 取10m/s 2，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍【解析】 以游客为研究对象，游客受重力mg 和支持力F N ，由牛顿第二定律得：F N －mg ＝ma ，所以F N ＝mg ＋ma ＝3mg . 【答案】 C4．(2010·龙山模拟)如右图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n【解析】 主动轮顺时针转动，皮带交叉，则从动轮逆时针转动，根据两轮线速度相等，2πn ·r 1＝2πn ′·r 2，解得n ′＝r 1r 2n ，故B 、C 正确． 【答案】 BC1．(2010·包头模拟)如右图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z 1＝24，从动轮的齿数z 2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是( )A ．顺时针转动，周期为2π/3ωB ．逆时针转动，周期为2π/3ωC ．顺时针转动，周期为6π/ωD ．逆时针转动，周期为6π/ω【解析】 主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T 从＝2π3ω，B 正确． 【答案】 B2．如右图所示，水平转盘上放有一铁块A ，随转盘一起绕过O 点的竖直轴转动，在转速逐渐增大的过程中，盘上放置的铁块A 一直未与盘发生相对滑动，下面说法中正确的是( )A ．由于铁块A 所受摩擦力做向心力，所以摩擦力不对铁块A 做功B ．摩擦力对铁块A 一定做功C ．由于铁块A 未做匀速圆周运动，所以向心力一定不指向圆心D ．铁块A 所受的摩擦力是滑动摩擦力【解析】 在转盘转速逐渐增大的过程中，铁块速度增大，因而动能增大，铁块受到的静摩擦力一方面提供铁块做圆周运动的向心力，另一方向对铁块做功，使其动能增大，A 错、B 正确；铁块速度增大，所受合外力不指向圆心，但向心力总是指向圆心的，C 错；铁块未与盘发生相对滑动，受到的是静摩擦力，D 错．【答案】 B3．(新题快递)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动．右图中粗线圆(包括虚线部分)表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h 。