数学期末复习圆锥曲线方程
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
高二-数学-《圆锥曲线方程》知识点总结
F1(c,0), F 2( ─ c,0)
x a sec y b tan (参数 为离心角）
|x| a， y R 原点 O（0， 0）
(a,0), ( ─a,0) x 轴，y 轴 ;实轴长 2a, 虚轴长 2b.
值最小，则点
M
的坐标为
_______ （答：
2 (
6 , 1) ）；
3
10、弦长公式 ：
若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点
A 、 B ，且 x1, x2 分别为 A 、 B 的横坐标，则 AB ＝
1 k 2 x1 x2 ，
1 若 y1 , y2 分别为 A 、 B 的纵坐标，则 AB ＝ 1 k 2 y1 y 2 ， 若弦 AB 所在直线方程设为 x ky b ，则 AB ＝ 1 k 2 y1 y2 。
如 已知动点 P 到定点 F(1,0) 和直线 x 3 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程．（答： y2 12( x 4)(3 x 4) 或 y2 4x(0 x 3) ）；
②待定系数法 ：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条 件确定其待定系数。
如 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M （ m， 0） ( m 0) ，端点 A 、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将
焦点弦转
化为 两条焦半径之和 后，利用第二定义求解。
如（ 1） 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 那么 |AB| 等于 _______（答： 8）；
圆锥曲线与方程知识点总结
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是一种二维的曲线，它的形状类似于圆锥。
圆锥曲线的方程通常用参数方程的形式表示，其中包含两个参数t和k。
t是曲线上的点的横坐标，k是圆锥曲线的焦点到顶点的距离。
圆锥曲线的一般形式方程为：x = k * t * cos(t)y = k * t * sin(t)其中t是参数，k是圆锥曲线的焦点到顶点的距离。
圆锥曲线的特殊形式有：圆锥曲线的标准形式方程：x = ty = k * t^2圆锥曲线的极坐标形式方程：x = k * cos(t)y = k * sin(t)圆锥曲线的泊松形式方程：x = k * cosh(t)y = k * sinh(t)圆锥曲线的双曲线形式方程：x = k * cosh(t)y = k * sinh(t)圆锥曲线的性质：圆锥曲线是闭合的，即曲线的起点和终点重合。
圆锥曲线是对称的，即关于y轴对称。
圆锥曲线的顶点在y轴上。
圆锥曲线的焦点在x轴上。
圆锥曲线的焦点到顶点的距离称为焦距。
圆锥曲线的形状取决于焦距的大小。
当焦距大于0时，圆锥曲线的形状类似于圆锥，称为双曲圆锥曲线。
当焦距等于0时，圆锥曲线的形状类似于椭圆，称为椭圆圆锥曲线。
当焦距小于0时，圆锥曲线的形状类似于倒圆锥，称为凹圆锥曲线。
圆锥曲线的应用：圆锥曲线常用于几何图形的绘制，如圆锥体、圆柱体、圆台体等。
圆锥曲线还可以用于机械设计、建筑设计等领域。
总结：圆锥曲线是一种二维的曲线，其形状类似于圆锥，可以用参数方程、标准形式方程、极坐标形式方程、泊松形式方程和双曲线形式方程来表示。
圆锥曲线有若干性质，如闭合、对称、顶点在y轴上、焦点在x轴上等，并且其形状取决于焦距的大小。
圆锥曲线常用于几何图形的绘制，并在机械设计、建筑设计等领域得到广泛应用。
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圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．41 B ．21 C ．2 D ．42．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2）D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（）A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p 5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ）A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（）A ．28B ．24C ．22D ．8．9．（理）已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>aC ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A ．0B ．23C ．2D ．310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y-=+2)1(2 （B ）2)1(2-=+x y （C ）x y -=-2)1(2 （D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题（每小题4分，共16分）13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法： ①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．三、解答题（共44分）17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程; （2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当ANAM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .（1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥； （3）求AOB ∆的面积的最小值.20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）． （1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．3415．42l 16．①③④17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x ………………….4分 （2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MNMF =2，由双曲线定义可知e MF MF e MNMF =∴=211……5分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分 而a ee e a a x ≥-+∴≥2)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）.(2 ) ∵121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1，∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得 mx x 24162+0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =． 设AMB ∆的面积为S ．∴2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ．圆锥曲线课堂小测时间：45分钟 分数：60分 命题人：郑玉亮一、选择题（每小题4分共24分） 1．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 （ ） A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）A ．))((2R n R m ++B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn4．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．215．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y xB ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x6．已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）． A ．6π[，]2π B ．3π[，]2π C ．2π[，]32π D ．32π[，π] 二、填空题（每小题4分共16分）7．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 8．过抛物线x y 42=的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点，那么线段PQ 中点的轨迹方程是 .9．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S 的最大值是________．10．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ② 双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点;④ 椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题（20分）11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．参考答案1 B2 A3 A4 C5 D6 C 7．（0，7±）8．222-=x y 9．2110.①② 11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x+= 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k ……………………3分 而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k ak ak T --……5分点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴kak a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………10分12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ，解得⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为1322=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k+09122=++kx x ．∴0)31(36)12(22>+-=∆k k ．①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ，②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当C E ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ．③将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．圆锥曲线与方程 单元测试 A 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A. 2 B. 3C. 5D. 72. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（ ）A.116922=+y x B. 1162522=+y x C. 1251622=+y x D. 191622=+y x 3. 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线 4. 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，则椭圆的方程是（ ） A.13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A.25 B. 5 C. 215D. 10 二．填空（每题6分） 6. 抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.8. 若曲线1122=++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 .9.若椭圆221xmy +=，则它的半长轴长为_______________.三．解答题（13+14+14） 10.k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？11. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线的方程.12.椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.B 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1. 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A.1481622=-y x B. 127922=-y xC. 1481622=-y x 或127922=-y x D. 以上都不对 2. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A.12- B. 2 C. 12+ D. 22+3. 1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）A. 7B.47 C. 27D. 2574. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ） A.23x y =或23x y -= B. 23x y = C. x y 92-=或23x y = D. 23x y -=或x y 92=5. 过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A.2pB.p C. p 2 D. 无法确定二．填空：（每题6分） 6．椭圆5522=+ky x的一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________.7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 8.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______.9. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为________________________. 三．解答题（13+14+14）10．已知点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上，求22x y +的最大值.11. 双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程.12. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线.圆锥曲线与方程 A 组题（共100分）一．选择题：1．D2．B 3．D 4．C 5．B二．填空：6．32x =-7．221205x y -=± 8．0>k9． 1,2或三．解答题：10. 解：由222236y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++=22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即k k ><或当272480k ∆=-=，即k k ==或当272480k ∆=-<，即k <<. 11. 解：设抛物线的方程为22y px =，则22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得 21212214(24)10,,24p x p x x x x x ---+=+==12AB x =-===，24120,2,6p p p =--==-或22412y x y x ∴=-=，或12. 解： 焦点为12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==-，所以椭圆方程为2214015y x +=.B 组题（共100分）一．选择题：1．B 2．C 3．C 4．D 5．C二．填空：6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24三．解答题：10. 解：由22214x y b +=得2224(1)y x b=-令22T x y=+代入得22442y T yb=-+即22224()444b b T y b =--++（1）当222max 044444b b b b b x y ≤<≤==+即时（2）2max 424bb b x b y b >>==当时即时22max4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为222219y x a a-=-,点4)在曲线上，代入得22436()a a ==或舍22145y x ∴-=双曲线的方程为 12.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k=时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或；当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆； 当2k=时，曲线224x y +=为一个圆； 当2k>时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆.。