Leslie种群年龄结构的差分方程模型
数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.无向图中边的端点地位是平等的、边是无序点对。
而有向图中边的端点的地位不平等，边是有序点对，不可以交换。
参考答案:正确2.人口数量与下列因素都有关，人口基数、出生率、死亡率、年龄结构、性别比例、医疗水平、工农业生产水平、环境、生育政策等等。
参考答案:正确3.一元5次代数方程在复数范围内有多少个根？参考答案:54.任何贪心算法都能求出最优解。
参考答案:错误5.二维插值函数z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)中，method的缺省值是（）参考答案:linear6.在当前文件夹和搜索路径中都有文件ex1.m，在命令行窗口输入ex1时，则执行的文件是当前文件夹中的ex1.m参考答案:正确7.下列关于Dijkstra算法的哪些说法正确参考答案:Dijkstra算法是求加权图G中从某固定起点到其余各点最短路径的有效算法；_Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)，其中n为顶点数；_Dijkstra算法可用于求解无向图、有向图和混合图的最短路径问题；8.如果x=1: 2 : 10,则x(1)和x(5)分别是( )参考答案:1，99.人口是按指数规律无限增长的。
参考答案:错误10.在包汤圆问题的整个建模过程，包括了如下几个步骤（1）找出问题涉及的主要因素（变量），重新梳理问题使之更明确（2）作出简化、合理的假设（3）用数学的语言来描述问题（4）用几何的知识解决问题（5）模型应用参考答案:正确11.下面程序所解的微分方程组，对应的方程和初始条件为：（1）函数M文件weif.m：function xdot=weif(t, x)xdot=[3*x(1)+x(3);2*x(1)+6;-3*x(2)^2+2*x(3)];（2）脚本M文件main.m：x0=[1,2,3] ;[t,x]=ode23(‘weif’,[0,1],x0),plot(t,x’),figure(2),plot3(x( :,1),x( :,2),x( :,3)参考答案:___12.某公司投资2000万元建成一条生产线。
差分方程—种群模型
F1 F2 F3 …. Fs
0 0 0 …. 0 0 0
N0
N1
N2 N3 …. Ns
(s+1) x 1
N1
N2 N3 …. Ns
(s+1) x 1
=
0 0 …. 0
S1 0 0 0
0 ….
S2 0 …. 0 0
Ss-1 0
(s+1) x (s+1)
Leslie Matrix
N0
F0
S0
F1 F2 F3 …. Fs
1
因而
An=
1 s 2 s 1
2 s 2 1 s1 0
n
1 s 2 n s 2 1 0
2 s 2
s1
1
xn y n
1 s 2 s 1
根据以上假设,建立模型如下
x n 1 t1 x n t 2 y n y n 1 s1 x n s 2 y n
n=0,1,
或写成矩阵形式
x n 1 t1 y s n 1 1 t 2 x n s 2 y n
其中x0,y0分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。
xn , yn
的解法
假如A可以对角化,先将A对角化,如不能对角化,则将 其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理,令 A I 0 得到特征方程
2 (t1 s2 ) t1s2 t 2 s1 0
判别式 (t1 s2 ) 2 4t 2 s1 特征方程(8.26)有两个相异的实根,因此A可以对角 化。对应的特征向量分别为
差分方程模型.doc
项目五 差分方程模型一、实训课程名称 数学建模实训二、实训项目名称 差分方程模型三、实训目的和要求掌握差分方程关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程并求解。
四、实训内容和原理内容：1、设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此种群分为3组。
设初始时三组中的动物为T )1000,1000,1000(，相应的Leslie 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=021********L 试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的发展趋势。
2、计算差分方程a （n+1)＝0.85*a （n)＋11，a （1）＝2.33的前10项 原理：利用leslie 矩阵的唯一的正特征值及对应的特征向量分别表示种群的发展趋势及种群的稳定分布，对上述模型做适当推广。
五、 主要仪器及耗材计算机与Windows 2000/XP 系统；Turbo C/Win-TC/VB 等软件。
六、 操作方法与实训步骤步骤：1、（1）10年后各年龄组的动物数：500(1)(0)(1000,1000,1000)(3000,,500)3T T x L x L =⨯=⨯= 20年后各年龄组的动物数：250(2)(1)(500,500,)3T x L x =⨯= 30年后各年龄组的动物数：250(3)(2)(1500,,250)3T x L x =⨯= （2）很容易求出L 矩阵的大于零的特征值为λ=2，其对应的特征向量为T d =所以种群的稳定年龄分布：::x y z =x 表示0-10岁年龄组的动物数，y 表示10-20岁年龄组的动物数，z 表示20-30岁年龄组的动物数。
由于1λ<，所以该种群动物数会逐渐减少。
设医疗保健水平已达到相当高水准，可以假设i P 已几乎无法在增大。
在此假设下，讨论Leslie 模型给出的结果。
试根据Leslie 模型设计一个理想的人口增长模式。
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。
不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。
基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。
由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。
将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。
将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。
记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。
实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。
pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。
jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。
莱斯利Leslie种群模型
2 A1 A2 0 , 3 A 2 A 0 ,
3
()
t A t 1 At 0 .
4
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发 — 展水平.下面作进一步地讨论：
水平与经济发展水平， 则经济发展与环境污染 的增长 模型为 xt 3xt 1 yt 1 yt 2 xt 1 2 yt 1
(t 1,2,, k )
3
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 令 — xt t y t 则上述关系的矩阵形式为
1
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 设x0 , y0分别为改地区目前的环 水 — 境污染水平与经济发展
平, x1 , y1分别为改地区若干年后 的环境污染水平与经济 发展水平, 且有如下关系： x1 3 x0 y 0 y1 2 x0 2 y 0
0不是特征值， 不能类似分析 . 但是 0可以由 1，2唯一线性表出为
0 31 22
由（*）及特征值与特征向量的性质
8
§4.5 应 用（一） ———————————————————— t t t At 0 At (31 2— ) 3 A 2 A 2 2 1
10
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 4.5.2莱斯利（— Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分 布与数量增长之间的关系.
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位： 年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组
leslie模型matlab程序
leslie模型matlab程序Leslie 模型是一种用于描述种群动态变化的数学模型，特别被广泛应用于生态学和人口学领域。
本文将介绍如何使用 MATLAB 编程实现 Leslie 模型，并提供一个完整的 MATLAB 程序。
Leslie 模型是由生物学家 Patrick Leslie 在 1945 年提出的，它利用年龄结构矩阵来描述一个种群中不同年龄段的个体数量。
该模型假设种群的年龄结构在各个时间段内保持不变，并且个体之间的交互仅通过生育和死亡来实现。
在 Leslie 模型中，种群的每个年龄段都有一个特定的存活率和生育率。
假设一个种群的年龄段从 0 到 k，种群的存活率可以用一个长度为 k+1 的向量 s 表示，其中 s(i) 表示年龄段 i 的存活率。
种群的生育率可以用一个长度为 k 的向量 b 表示，其中 b(i) 表示年龄段 i 的生育率。
为了计算种群在下一个时间段的年龄结构，我们需要将当前时间段的年龄结构向量乘以一个称为 Leslie 矩阵的矩阵 A。
Leslie 矩阵的第一行是生育率向量 b，其余行是存活率向量 s，只是向上移动了一格。
因此，Leslie 矩阵的维度为(k+1)×k。
现在我们将以 MATLAB 编程实现 Leslie 模型。
首先，我们需要确定种群的年龄段数目和初始年龄结构向量。
这里假设种群的年龄段从 0 到 9，初始年龄结构向量为一个10×1 的列向量，每个元素都为 100。
```matlabk = 9; % 年龄段数目x0 = zeros(k+1, 1); % 初始年龄结构向量x0(1) = 100; % 年龄 0 的个体数量为 100```接下来，我们需要定义存活率向量和生育率向量。
对于这里的示例，我们假设存活率向量是一个长度为 10 的向量，并且每个年龄段的存活率都为 0.8。
生育率向量是一个长度为 9 的向量，并且每个年龄段的生育率都为 2。
差分方程模型习题+答案#(精选.)
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。
(2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得：01k k k a A A a b r-=-若0n A =，01nn A ra b a =-(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，24002401A ra b a =-利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b; end(2)用MA TLAB 计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。
2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。
建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。
【数学建模】人口增长Leslie模型
【数学建模】⼈⼝增长Leslie模型问题分析· ⽤数学建模预测⼈⼝增长的⽅法：差分⽅程、微分⽅程、回归分析、时间序列等.· 结合所给数据以差分⽅程组的Leslie模型为基础.· 考虑不同地区、不同性别⼈⼝参数的差别及农村⼈⼝向城市迁移等因素.· 按照地区和性别建⽴以时间和年龄为基本变量的中国⼈⼝增长模型.· 利⽤历史数据估计⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数，代⼊模型求解并作预测.模型假设·中国⼈⼝是封闭系统, 将数据中的市、镇合并为城市, 与农村(乡)作为两个地区; 只考虑农村向城市⼈⼝的单向迁移, 不考虑与境外的相互移民.· 对中短期⼈⼝预测, ⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数⽤历史数据估计; 长期预测考虑总和⽣育率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素.· ⼥性每胎⽣育⼀个⼦⼥.模型建⽴按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的⼈⼝发展模型，为4n阶差分⽅程组.参数估计存活率的估计死亡率与年龄关系⼤, 与地区、性别和时间的关系⼩.中国⼏⼗年来死亡率降低较快, 未来趋势仍持续下降.中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的死亡率简单地取平均值.长期预测：⽤统计⽅法对历史数据加以处理，并参考发达国家⼈⼝死亡率的演变过程给出估计值.⽣育率的估计中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的⽣育率简单地取平均值.长期预测：设定⼏个不同⽔平的总和⽣育率.⼈⼝迁移的估计模型求解选定初始年份⽤⼈⼝发展模型递推计算MATLAB实现clc;%初始化，设置各种参数和初始⼈数矩阵x = [206.46422.50478.72229.9253.44]';%x0⼥性各阶段⼈数%x0 = x .*0.4988x0 = [102.9822210.7430238.7855114.684126.6559]';%H为状态转移矩阵，其实是存活矩阵H = zeros(5,5);H(2)=0.88; H(8)=0.97; H(14)=0.86; H(20)=0.22;%B是⽣育矩阵，即各个年龄段妇⼥的⽣育率B = [020.300];for n =1:1:5%y是x之下⼀年的⼈⼝数⽬，尚不包括迁移⼈数和1岁的⼈数y = H*x;%y(1)是下⼀年1岁的⼈⼝数⽬，即今年刚出⽣的⼈y(1)= B*x0;%g是迁移⼈数，也得按照年龄⽐例来存储数据g = [301201202010]';%迁移⼈数加到y上y = y + g;%求与y对应的年份的各个年龄段妇⼥⼈数%包括x0中存活下来的，迁移的⼀部分，第⼀时间段为刚出⽣的⼥性⼈数 y0 = zeros(5,1);y0(1)= y(1)/2;%或y(1)乘以⼥婴占总男⼥婴的⽐例for i=1:1:4y0(i+1)= x0(i)*H(i+1+5*(i-1));endg0 = g ./2;y0 = y0 + g0;%g0为迁移过来的各个年龄段的⼥性⼈数disp(2008+n*20)zong = y'nv = y0'x = y;x0 = y0;end%⾃此，则完成了⼀轮的计算%要预测更多，只需要循环计算以上步骤即可。
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Leslie种群年龄结构的差分方程模型
摘要
本文对带年龄结构的单个生物种群的增长状况的问题建立了差分方程模型进行分析，用MATLAB做出其图像讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目在不同条件下的演变趋势。
针对问题一，用k时段2周后幼虫数量、2到4周虫的数量、4到6周虫数量之间的关系建立了差分方程模型一，利用MATLAB计算得出结果。
针对问题二，用MATLAB做出差分方程模型一在0-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势，分析年份足够长时的情况。
得出的结论：各周龄的昆虫比例没有一个稳定值，整个昆虫的数量在无限增长。
针对问题三，把差分方程模型一中的成活率改成原来的一半得到了差分方程模型二，用MATLAB做出图像进行分析。
得出结论：这种除虫剂的效果不明显。
关键词：Leslie矩阵，差分方程，MATLAB，除虫剂
一 、问题重述
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。
孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。
假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
（1） 假设开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6
周后各种周龄的昆虫数目；
（2） 讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有
一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？
（3） 假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除
虫剂是否有效？
二、 问题分析
本问题是要解决带年龄结构的单个生物种群的增长状况的问题，我们考虑用Leslie 矩阵模型进行分析。
问题一建立0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目之间的关系的模型，从而计算出结果；问题二用问题一的模型画出图像来分析各种周龄的昆虫数目的演变趋势；问题三只要把问题一的模型的成活率改成原来的一半建立新的模型，画出图像来分析昆虫数量的变化趋势，从而分析除虫剂的效果。
三 、模型假设
1. 假设开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同，且都为100。
2. 假设这地区没有这类昆虫的天敌出现。
3. 昆虫产的卵不会遭到破坏。
四 、符号说明
五、 模型的建立与求解
1.问题一：
将两周分成一个时段，设k 时段2周后幼虫数量为：)(1k x , 2到4周虫的数量为：)(2k x , 4到6周虫数量为：)(3k x 。
又开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同,我们将其数目设为100.即
100
)1()1()1(321===x x x
根据题意我们建立差分方程模型一：
⎪⎩⎪
⎨⎧⨯=+⨯=+⨯+⨯=+2
.0)()1(09.0)()1(150)(100)()1(23
12321k x k x k x k x k x k x k x
用MATLAB 求解得出：
2.问题二：
我们用模型一来分析各种周龄的昆虫数目的演变趋势，用MATLAB 画出第1-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势图形：
51015202530354045
50
28
由图可见当年份足够长时，0-2周龄的昆虫在无限制的增长，2-4周龄的昆虫也在增长，4-6周龄的昆虫相对很少。
各周龄的昆虫比例没有一个稳定值，整个昆虫的数量在无限增长。
3.问题三：
我们定义除虫剂有效是能有效的控制昆虫数量的增加，使其慢慢的趋于灭亡。
由各周龄的成活率减半可建立差分方程模型二：
⎪⎩⎪
⎨⎧⨯=+⨯=+⨯+⨯=+1
.0)()1(045.0)()1(150)(100)()1(23
12321k x k x k x k x k x k x k x
用MATLAB 画出使用除虫剂后第1-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势图
形：
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1
2
3
4
5
6
7
20
由图可分析得出当年份足够长时，整个昆虫的数量相比未使用除虫剂时有了一定的减少，但还在无限增长。
我们的结论是：这种除虫剂的效果不明显。
六 、模型的评价
Leslie 矩阵模型是种群生态学中的一个基础模型.它描述了带年龄结构的单个生物种群的增长状况.由于该模型是一种离散形式的确定模型,计算简单,易于理解和掌握。
故与其它模型相比,更加容易为大家接受和使用。
参考文献
[1] 戴明强，李卫军，杨鹏飞. 数学模型及其应用[M]. 北京：科学出版社，2007年2月第一版
[2] 吴礼斌，李柏年. 数学实验与建模[M]. 北京：国防工业出版社2007.9
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9日
[4] 百度文库，用MATLAB求解差分方程问题[EB/OL], /view/8cdf030fbb68a98271fefa2c.html，2013年5月9日
[5] 韩中庚. 数学建模方法及其应用(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社，2009.6
附录
见附件。