Leslie矩阵模型
Leslie矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型预测人口Leslie 矩阵模型的基本概念参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数：1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率Leslie 矩阵1.转移过程在一个时间周期内x k−1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k k x i x i d i i n --+=-=(4-1)下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为1()2k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k k i x i b i x i --==∑ (4-2)2. 人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-5)则有简写：1k k x L x -=(4-6)则有递推公式:10k k k x L x L x -==(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。
不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。
基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。
由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。
将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。
将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。
记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。
实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。
pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。
jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。
莱斯利Leslie种群模型
2 A1 A2 0 , 3 A 2 A 0 ,
3
()
t A t 1 At 0 .
4
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发 — 展水平.下面作进一步地讨论：
水平与经济发展水平， 则经济发展与环境污染 的增长 模型为 xt 3xt 1 yt 1 yt 2 xt 1 2 yt 1
(t 1,2,, k )
3
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 令 — xt t y t 则上述关系的矩阵形式为
1
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 设x0 , y0分别为改地区目前的环 水 — 境污染水平与经济发展
平, x1 , y1分别为改地区若干年后 的环境污染水平与经济 发展水平, 且有如下关系： x1 3 x0 y 0 y1 2 x0 2 y 0
0不是特征值， 不能类似分析 . 但是 0可以由 1，2唯一线性表出为
0 31 22
由（*）及特征值与特征向量的性质
8
§4.5 应 用（一） ———————————————————— t t t At 0 At (31 2— ) 3 A 2 A 2 2 1
10
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 4.5.2莱斯利（— Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分 布与数量增长之间的关系.
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位： 年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组
Leslie矩阵模型预测人口
L e s l i e矩阵模型预测人口4.1Leslie矩阵模型的基本概念4.1.1参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期k第i个年龄段的人数注：这里的；一定存在整数n 使得表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数：1）——在时间周期k第i年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）——在时间周期k第i年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2Leslie矩阵1.转移过程在一个时间周期内里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k kx i x i d i i n--+=-=(4-1)下面来讨论的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k的第个i年龄段的女性人数为1()2kx i，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k kix i b i x i--==∑(4-2) 2.人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)0001(1)0k k k kkk kkkb b b n b ndx xdd n--------⎛⎫-⎪⎪-⎪=⨯⎪-⎪⎪⎪--⎝⎭(4-3) 其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-5)则有简写：1k k x L x -=(4-6)则有递推公式:10k kk x L x L x -==(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
Leslie矩阵
1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。
矩阵P= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000000001101210n n n P P P F F F F F ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。
注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。
2. 基本概念和性质基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。
Leslie 矩阵P 的几个基本性质：（1）特征多项式为： )...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ 它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。
(2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则为与λ对应的一个特征向量。
(3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。
(4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。
3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。
种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。
设时段k 第i 个年龄组的成员数量为 ()i x k ,0,1,2,,i=1,2,,n k =L L ，第 i 年龄组的繁殖率为 i b ，即第i 年龄组每个雌性个体在一个时段内平均繁殖的数量，第 i 年龄组的存活率为i s ，即第 i 年龄组一个时段内非死亡人数与总数之比。
Leslie模型(数学建模)
控制论模型常采取一些评价函数来评判控制 模型的效果，对于人口模型，可类似连续型模型， 引入以下一些人口指数：
(1)人口总量 不妨以N(j)记j时段的人口总量， N(j)= N(i,j).
(2)平均年龄 y(j)=(1/ N(j)) i N(i,j).
(3)平均寿命 Q(j)= exp [- (1-Pi(j))],其中(1Pi(j))为j时段i组人的死亡率。
.
n0
A属于1的特征向量N= .
. nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1) N= 1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
.
当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定 且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于 一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的 存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数， 事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
.
两个重要模型: Keyfitz Leslie
.
一些定义:
n为人类的年龄上限 F(x)=x岁的妇女所生的婴儿数/x岁的总人口数 S(x)=x岁人的存活率 P(x)=初始时x岁的总人口数 Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数
P(0)
P(1)
K=
Nt(0)
Nt(1)
I(t)=
… …
… …
.
定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相
邻的bi>0则 |i|< |1|且N j/ 1j CN其中C为某一常数，由值bi， Pi及N0决定
本定理的条件通常能够得到满足，故在j充分大 时有N j=C 1j N，即各年龄组的人口比例总会趋 于稳定，且N j+1= 1N j。若1 >1，种群增大， 1 <1时，种群减小。
Leslie素矩阵的一个充要条件
Leslie素矩阵的一个充要条件刘炎;何泽荣;王海涛【摘要】Leslie矩阵模型在带年龄结构的种群动力学中具有重要地位,研究成果表明当Leslie矩阵为素矩阵时,目标种群将趋向一稳定的年龄分布.该文给出了一个无需通.过烦琐的矩阵幂运算来判定Leslie矩阵是素矩阵的充分必要条件,它为Leslie 模型的实际应用提供了很大方便.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)001【总页数】4页(P54-57)【关键词】素矩阵;种群动力学;等同;关联矩阵【作者】刘炎;何泽荣;王海涛【作者单位】杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】O175.10 引言Leslie矩阵模型在具有离散年龄结构的种群动力学中处于基础地位[1]。
将目标种群的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间;同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,然后将这两类子区间分别从小到大依次编号。
用xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n,…);表示在第j个时间段内、年龄位于第i段的种群个体数量。
假设种群规模的变化只决定于时间和年龄,而忽略密度制约因素。
设bi(i=1,…,n-1;0＜bi≤1)是年龄处于第i段的个体能活到第i+1段的概率,ai(i=1,2,…,n;ai≥0)是年龄为i段上的每一个个体在一个时间段内平均生育下一代的数量。
那么可将该目标种群的Leslie矩阵模型表示为,其中向量,A为标准Leslie矩阵。
如果矩阵A为素矩阵,则该种群年龄分布将趋于稳定分布,同时该目标种群的动力学行为具有一系列重要性质[2-4]。
因此给定某目标种群的Leslie矩阵A后,如何来判断矩阵A为素矩阵的问题,对于研究该种群的动力学行为具有重要意义。
Leslie矩阵
1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。
矩阵P= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000000001101210n n n P P P F F F F F，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。
注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。
2. 基本概念和性质基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。
Leslie 矩阵P 的几个基本性质：（1）特征多项式为：)...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。
(2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则T n n P P P P P P )...,...,,,1(1102100λλλαλ-= 为与λ对应的一个特征向量。
(3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。
(4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。
3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。
种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。
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Leslie 矩阵模型
本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。
假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：
年龄属于i t ∆的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为
),,2,1(n i x i Λ=，称T n x x x x ),,,(21Λ=为女性人口年龄分布向量，考虑x 随
k t 的变化情况，每隔
n
s
年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。
设初始时间为0t ，n
ks
t t k +=0时间的年龄分布向量为
T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)(Λ=，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口
演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。
设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n
s
年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在
n
s 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤<i b ），死亡率i b -=1，假设i a ，
i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。
k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1(Λ=-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：
k t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)
(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经
n
s
年存活下来的人数，可以由下式表示：
用矩阵将上两式表示为：
记：
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--00
000
0001
2112
1n n n b b b a a a a L ΛO O M M M O ΛΛ，⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()
(x L x
k k =
称L 为Leslie
矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口
增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。
利用Leslie 模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L 的特征值和特征向量有关。
矩阵L 有唯一的单重正特征值1λ，对应的特征向量为：
若1λ是矩阵L 的正特征值，则L 的任一个（实的或者复的）特征值
λ都满足：
若矩阵L 的第一行有两个顺序元素0,1>+i i a a ，则L 的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L 矩阵必有严格优势特征值。
若矩阵L 有严格优势特征值1λ，对应特征向量为1x ，则： 这表明时间k t 充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)
(k i
x 占总数∑=n
i k i x 1
)(的百分比几乎等于特征向量1x 中相应分量占分量
总和的百分比。
同时k t 充分大后，人口增长率
)
()
()1(k i
k i k i x
x x -+趋于11-λ，或说11>λ时，
人口递增；11<λ时，人口递减；11>λ时，人口总数稳定不变。
例1 加拿大人口数量预测问题
为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题）
表1 加拿大人口统计数据
分析：
由上表得到加拿大人口的Leslie 矩阵L 如下所示，求解特征方程，
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000
000099621.0000000000099694.00000
00000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00
L 可以得到L 矩阵的特征值：0763.1=λ和特征向量：
通过上述过程大家可以发现，一旦L 矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab 求解程序如下：
clear all
L=zeros(10,10);
L(1,:)=[0,,,,,,,,,];
L(2,1)=;L(3,2)=;L(4,3)=;L(5,4)=;L(6,5)=;
L(7,6)=;L(8,7)=;L(9,8)=;L(10,9)=;
[v,d]=eig(L);
a1=d(1,1);
a2=v(:,1);
a3=v(:,1)./sum(v(:,1));
pie(a3)
legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)')
结果：
图1 加拿大人口结构示意图
由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k
x占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占
i
分量总和的百分比。
如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。