Leslie人口模型及例题详解

Leslie 人口模型

现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。

模型假设

(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;

(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记

)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =

第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;

(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;

(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。

建立模型与求解

根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n =∑=m

i i i t n b 1)(

)()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为

)()1(t Ln t n =+

其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b

（1） 记

)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）

假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则

t

1

+t

()(0),0,1,2,t n t L n t ==

为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：

(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;

(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。

易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的：

定理1

L 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=，且对应的一个特征向量为

*n =[1，s 1/0λ，s 1s 2/20λ，…，s 1s 2 …s m -1/10-m λ]T

（3） 定理2

若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ≤。

定理3

若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ，则

（i ）若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ<。

（ii ）t t t n 0/)(lim λ+∞

>-=*cn ， （4） 其中c 是与n （0）有关的常数。

定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t 充分大时，有

*)(0n c t n t λ≈ (5) 定理4

记12

1i i i b s s s β-=，q （λ）=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ，则λ是L 的非零特征根的充

分必要条件为 q （λ）=1 （6）

所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。由（5）式可得到如下结论：

(i) 当λ>1时，人口数最终是递增的；

(ii) 当λ<1时，人口数最终是递减的；

(iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。

根据（6）式，如果λ=1，则有

b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1

记

R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + b m s1s2…s m-1（7）

R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1时，人口递增；当R<1时，人口递减。

Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。

公园大象管理

南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。

近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。

公园有一些关于大象的资料，供建模参考：

1几乎不再迁入或迁出大象；

2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；

3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%

4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；

5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；

6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；

7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；

8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；

公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；

你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：

1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；