第2讲 Leslie矩阵模型
Leslie人口模型及例题详解
Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。
如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。
20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。
假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
建立模型与求解根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b（1） 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。
在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的： 定理1t1+tL 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=，且对应的一个特征向量为*n =[1，s 1/0λ，s 1s 2/20λ，…，s 1s 2 …s m -1/10-m λ]T（3） 定理2若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ≤。
第2讲 Leslie矩阵模型
3.4 Leslie 矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。
假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆年龄属于i t ∆的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为),,2,1(n i x i =，称T n x x x x ),,,(21 =为女性人口年龄分布向量，考虑x 随k t 的变化情况，每隔ns年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。
设初始时间为0t ，nkst t k +=0时间的年龄分布向量为T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( =，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。
设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在ns年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在ns 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤<i b ），死亡率i b -=1，假设i a ，i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。
k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( =-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：)1()1(22)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a xk t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经ns年存活下来的人数，可以由下式表示：1,,2,1,1)(1-==-+n i x b x k ii k i 用矩阵将上两式表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1131211121121321000000000k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a x x x x记：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000000121121n n n b b b a a a a L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()(x L x k k =称L 为Leslie 矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。
Leslie矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型预测人口4.1 Leslie 矩阵模型的基本概念4.1.1 参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数：1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2 Leslie 矩阵1.转移过程在一个时间周期内x k−1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k k x i x i d i i n --+=-=L L(4-1)下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为1()2k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下： 1111()()()2nk k k i x i b i x i --==∑g(4-2)2. 人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭L LL M M M L M L(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M (4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭L LL M M M L M L(4-5)则有简写：1k k x L x -=g(4-6)则有递推公式:10k k k x L x L x -==g(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
leslie人口增长模型
人口增长预测模型摘要本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。
最后提出了有关人口控制与管理的措施。
模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。
运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。
模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的Leslie模型。
首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。
其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。
得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。
再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。
Leslie矩阵
1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。
矩阵P= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000000001101210n n n P P P F F F F F，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。
注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。
2. 基本概念和性质基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。
Leslie 矩阵P 的几个基本性质：（1）特征多项式为：)...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。
(2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则T n n P P P P P P )...,...,,,1(1102100λλλαλ-= 为与λ对应的一个特征向量。
(3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。
(4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。
3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。
种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。
基于Leslie矩阵模型的人口数量的预测
基于Leslie矩阵模型的人口数量的预测摘要：本文主要研究了“全面二孩”政策下我国未来人口数量的变化，通过Leslie 矩阵预测模型，预测我国未来30年的人口数量的变化。
得到2015-2050年我国人口总数呈现先上升后缓慢下降的结果。
关键词：Leslie矩阵预测模型；中国人口预测对于人口预测问题，人口的变化除了与出生率、死亡率密切相关之外,还和性别比例、年龄结构有巨大联系。
下面结合出生率、死亡率、性别比例和年龄结构对接下来30年的人口数量的变化进行分析，并将预测出的中国未来30年的人口数量。
Leslie模型是以人口的年龄与性别为基数的离散型矩阵模型，用于中长期人口预测，其目的是为了提高模型的全面性和可靠性。
本文建立Leslie模型对中国未来30年的人口数量进行预测。
1.参数定义我们约定忽视婴儿死亡率，将中国人口按年龄段分为数段，因此当段数达到一定大小的时候就能包含全部年龄层的人，这里将5岁分为一个年龄段，共分为21段，再将时间序列也分割成数段，此处以一年为一段来研究未来30年每年的人口结构，得到：——在t年的第i个年龄段的人数i=1,2,3,…,21这里的表示的是最低年龄段的人数，即0-5岁的人数，存在整数21使得表示的是年龄最大的人的人数，即“100岁以上的人的数量”。
其他参数：：表示第i年龄段上的个体在一年内的繁殖率，i=1，2， (21)：表示第j年龄段上的个体在一年以内的存活率,j=1，2， (20)假设j＞n-1时，为0，即假设当人超过100岁后全部死亡，则：：表示第t年的时候，反映各年龄段人口分布的列向量；：第t年时，第i年龄段上的个体数量；：第i年龄段上的妇女的年生育率；：i岁人口的女性比例。
2.模型建立建立Leslie矩阵令，得到Leslie人口发展模型：则人口发展模型的矩阵化简式为：与矩阵模型等价的联合方程为：3.参数确定由于中国每年的移民数量过少，对整体的影响可以忽略不计，故假设我国为一个封闭的系统，第t+1年的i+1岁的人口数量是由第t年的i岁的人口减去该年i岁的死亡人口而得。
基于Leslie矩阵模型的中国人口总量与年龄结构预测
摘要：选用ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型能够较全面地考虑到影响人口总量与年龄结构的各种主要因 素，预测得到：在现行计划生育政策不变的情况下，中国人口总量将在２０２４年前后达到峰值１４．２亿 左右，这与国家人口发展战略研究课题组预测的在２０３３年前后达到人口峰值１５．２亿左右有较大差 别；中国人口老龄化有加速发展的趋势。
用适合性ｘ２测验，对数据进行拟合优度测验， 得到ｘ２＝ｏ．０６７，又妊．晒＝７．８１５，所以矿＜妊．０５，可 推断ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型可以较好地用于预测我国 人口总量。２００６、２０Ｃｒ７、２００８年预测值（单位：百万） 分别为ｌ ３１３．ｃｒ７、１ ３１７．９６、ｌ ３２５．３４，与实际值 ｌ ３１４．４８、１ ３２１．２９、１ ３２８．０２的误差率仅为０．００ｌ ｌ、 ０．００２ ５和Ｏ．００２ ０，说明预测结果令人满意。
利用ｍａｔｌａｂ数学软件对相关数据作进一步处 理，整理后得到未来各年中各年龄段的城市人口 数预测结果，城市、城镇、乡村总人口数预测值以 及城市、城镇、乡村人口占全国总人口的比重预测 值，具体数据见表２、表３、表４。
（二）结果分析 １．人口总量分析
①国家统计局由１９８２年起，按常住人口对城镇乡人口进行划分。其中，市人口指设区的市的区人口和不设区的市所辖的街道人口：镇人口指不设区的市所 辖镶的居民委员会人口和县辖镇的居民委员会人口；乡人口为除上述两种人口以外的全部人口。 ⑦限于篇幅，有些公式推导过程及详细结果没有列出，有兴趣的读者可以向作者索取。
石ｏ（ｔ＋１）＝∑６ｉ（￡）卯ｉ（￡）筏（￡）＝
‘＝ｉｌ
∑６，（￡）伽如）菇ｉ（ｔ）
三、实证研究 （一）数据选取与ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型的预测
leslie模型
1，模型的建立
我们将人口的年龄按大小分为n 个年龄组，记为1,2,3,,i n =
同时将时间离散为时间段，长度与年龄组区间相等，记为1,2,3,
t
= 定义()i x t 为第t 年第i 年龄组的女性人口数；()i b t 为第t 年第i 年龄组女性生育率；()i d t 为第t 年第i 年龄组的女性人口的死亡率；()i s t 为第t 年第i 年龄组女性的存活率，即()1()i i s t d t =-；()w t 为第t 年出生人口中女性所占比例。
则第1t +年为第1年龄组的女性人数为：
11(1)()()()m
i i i x t b t w t x t =+=∑
第1t +年为第1i +年龄组的女性人口是从第t 年第i 年龄组存活下来的人数：
1(1)()()i i i x t s t x t ++=
构造Leslie 矩阵： []12112121 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0n n i n wb wb wb wb s L s i i i b s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∉=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
其中时， 那么我们可以得到：
(1)()x t Lx t += 进一步可以得到Leslie 矩阵模型的预测公式：
()(0)x t L x '=
所以只要已知L 矩阵及初始女性人口分布向量(0)x ，就可以求出第t 年女性人口分布的数列，再根据男女性别比例即可推算出总人口的各项指标。
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3.4 Leslie 矩阵模型
本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。
假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：
n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-=∆
年龄属于i t ∆的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为
),,2,1(n i x i =，称T n x x x x ),,,(21 =为女性人口年龄分布向量，考虑x 随
k t 的变化情况，每隔
n
s
年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。
设初始时间为0t ，n
ks
t t k +=0时间的年龄分布向量为
T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( =，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口
演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。
设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n
s
年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在
n
s 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤<i b ），死亡率i b -=1，假设i a ，
i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。
k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( =-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：
)
1()1(22)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x
k t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)
(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经
n
s
年存活下来的人数，可以由下式表示：
1,,2,1,1)(1-==-+n i x b x k i
i k i 用矩阵将上两式表示为：
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------113
12111
21
121321000000000k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a x x x x
记：
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000
000
0001
2112
1
n n n b b b a a a a L
，⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()
(x L x
k k =
称L 为Leslie
矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口
增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。
利用Leslie 模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L 的特征值和特征向量有关。
矩阵L 有唯一的单重正特征值1λ，对应的特征向量为：
T
n n b b b b b b x ),,,,
1(1
1
12121211
11--=λλλ
若1λ是矩阵L 的正特征值，则L 的任一个（实的或者复的）特征值
λ都满足：
1λλ≤
若矩阵L 的第一行有两个顺序元素0,1>+i i a a ，则L 的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L 矩阵必有严格优势特征值。
若矩阵L 有严格优势特征值1λ，对应特征向量为1x ，则：
11
)
(lim cx x k k k =∞
→λ
这表明时间k t 充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k i
x 占总数∑=n
i k i x 1
)(的百分比几乎等于特征向量1x 中相应分量占分量
总和的百分比。
同时k t 充分大后，人口增长率
)
()
()1(k i
k i k i x
x x -+趋于11-λ，或说11>λ时，
人口递增；11<λ时，人口递减；11>λ时，人口总数稳定不变。
例1 加拿大人口数量预测问题
为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题）
分析：
由上表得到加拿大人口的Leslie 矩阵L 如下所示，求解特征方程，
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000
000099621.0000000000099694.00000
00000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00
L 可以得到L 矩阵的特征值：0763.1=λ和特征向量：
T x ]2104.0,2294.0,2489.0,2694.0,2910.0,3141.0,3390.0,3656.0,3942.0,4257.0[=
通过上述过程大家可以发现，一旦L 矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab 求解程序如下：
clear all
L=zeros(10,10);
L(1,:)=[0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240]; L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694; L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700; [v,d]=eig(L); a1=d(1,1); a2=v(:,1);
a3=v(:,1)./sum(v(:,1)); pie(a3)
legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)')
结果：
14%
11%10%9%
7%
图1 加拿大人口结构示意图
由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k
i
x占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占分量总和的百分比。
如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增7.662%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。