全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类

全国高校生竞赛历年试题名师精讲〔非数学类〕〔2021——2021〕第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、 解答以下各题〔每题6分共24分，要求写出重要步骤〕(lim 1sin nn →∞+.解 因为()sin sin 2n π==……〔2分〕；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦exp ⎛= ⎝0sin xdx x+∞⎰不是肯定收敛的 解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………〔2分〕因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………〔2分〕 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法nn a∞=∑发散。

……………………………………〔2分〕()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………〔1分〕 故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………〔2分〕将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………〔2分〕又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为微小值。

…………………………〔3分〕)0y x ≥上的点A 作切线，使该切线与曲线与x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标。

解 设切点A 的坐标为(t ，曲线过A 点的切线方程为)y x t =-……………………………………………………………………………〔2分〕；令0y =，由切线方程得切线与x 轴交点的横坐标为02x t =-。

从而作图可知，所求平面图形的面积()0332144tS t t t =---==⇒=⎤⎦， 故A 点的坐标为()1,1。

……………………………………………………〔4分〕二、〔总分值12〕计算定积分2sin arctan 1cos xx x e I dx xππ-⋅=+⎰解 022sin arctan sin arctan 1cos 1cos x xx x e x x e I dx dx x x ππ-⋅⋅=+++⎰⎰ 2200sin arctan sin arctan 1cos 1cos x xx x e x x e dx dx x x ππ-⋅⋅=+++⎰⎰…………………………………〔4分〕()2200sin sin arctan arctan 1cos 21cos x xx x x x e e dx dx x x πππ-=⋅+=++⎰⎰ ……………………〔2分〕220sin 21cos xdx x ππ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰……………………………………………………………〔4分〕230arctan cos 28x πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭………………………………………………… 〔2分〕三、〔总分值12分〕设()f x 在0x =处存在二阶导数()0f ''，且()lim0x f x x→=。

证明 ：级数11n f n∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛。

解 由于()f x 在0x =处可导必连续，由()lim0x f x x→=得 ()()()00lim lim 0x x f x f f x x x →→⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦…………………………………………〔2分〕 ()()()()000limlim 00x x f x f f x f x x→→-'===-…………………………………… 〔2分〕由洛必塔法那么与定义 ()()()()()2000011limlim lim 02202x x x f x f x f x f f x x x →→→'''-''===- ………………… 〔3分〕所以 ()211lim 021n f n f n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭''=⎛⎫⎪⎝⎭…………………………… 〔2分〕由于级数211n n ∞=∑收敛，从而由比较判别法的极限形式11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛。

……〔3分〕四、〔总分值12分〕设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明()2sin ba f x dx m≤⎰ 解 因为()()0f x a x b π'≥>≤≤，所以()f x 在[],a b 上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………〔2分〕。

设()(),,A f a B f b ϕ==是f 的反函数，那么()()110y f x mϕ'<=≤'……… 〔3分〕又()f x π≤，那么A B ππ-≤<≤，所以()()()sin sin bBx y a Af x dx y ydy ϕϕ='=⎰⎰…〔3分〕()0112sin sin cos y ydy ydy y m m m ππ≤=-=⎰ ………………… 〔2五、〔总分值14分〕设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外。

给定第二型的曲面积分()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰。

试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值。

解 记∑围成的立体为V ，由高斯公式()()22222236933231VVI x y z dv x y z dxdydz =++-=++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……………〔3分〕 为了使得I 的值最小，就要求V 是使得的最大空间区域2222310x y z ++-≤，即取(){}222,,231V x y z x y z =++≤ ，曲面222:231x y z ∑++= …… 〔3分〕为求最小值，作变换x u y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，那么()()10,,0,,00x y z u v w ∂==∂从而()2221VI u v w dudvdw =++- ……………………………………〔4分〕运用球坐标计算，得()21220001sin I d d r r dr ππϕθϕ=-⎰⎰ ()01122cos 45361515ππϕπ-⎛⎫--=⋅=- ⎪⎝⎭…………………… 〔4六、〔总分值14分〕设()()22a a C ydx xdyIr x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向。

求极限()lim a r I r →+∞解 作变换)()2x u v y u v ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔视察发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方法〕，曲线C 变为uov 平面上的椭圆22231:22u v r Γ+=〔实现了简化积分曲线〕，也是取正向 …〔2分〕而且2222,x y u v ydx xdy vdu udv +=+-=-〔被积表达式没变，同样简洁！〕，()()22a avdu udvI r uvΓ-=+⎰……………………………………………………………… 〔2分〕曲线参数化cos,sin,:02u vθθθπ==→，那么有2vdu udv dθ-=，()()22210022222222cos2sin cos2sin33aa adI rr rππθθθθθ-==⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰…〔3分〕令20222cos2sin3a adJπθθθ=⎛⎫+⎪⎝⎭⎰，那么由于2222cos2sin233θθ<+<，从而aJ<<+∞。

因此当1a>时()lim0arI r→+∞=或1a<时()limarI r→+∞=-∞………〔2分〕而2/212222001,422cos2sin cos2sin33d da Jππθθθθθθ===++⎰⎰/22200tan2220112tan33d dttπθπθ+∞⎫====-=⎪⎭++⎰⎰…〔3分〕()12I rπ==-。

故所求极限为()0,1,12,1aaI r aaπ>⎧⎪=-∞<⎨⎪-=⎩……………〔2分〕七〔总分值14分〕推断级数()()1111212nnn n∞=+++++∑的敛散性，假设收敛，求其和。

解〔1〕记()()111,,1,2,3,212nn naa u nn n n=+++==++因为0,nn=充分大时1111lnnna dx nx<<+=+<⎰…………〔3分〕所以321nun<<<，而3121n n∞=∑收敛，故()()1111212nnn n∞=+++++∑收敛…〔2分〕〔2〕记()111,1,2,3,2ka kk=+++=，那么()()()()1111112121212nn nk k k n k k k a a a k S k k k k k k ===+++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭∑∑∑=1111222334112n n n n a a a a a a a a nn n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………… 〔2分〕=()()()12132111123412n n n a a a a a a a a n n -+-+-++--++ …………………〔2分〕=11111111123243122n n a a n n n n n +⋅+⋅++⋅-=--+++ ………………………〔2分〕因为11011ln nn a dx n x <<+=+⎰，所以1ln 022n a n n n +<<++，从而1ln lim 02n n n →∞+=+，故lim 02n n an →∞=+。

因此lim 1001n n S S →∞==--=。

〔也可由此用定义推知级数的收敛性〕……………〔3分〕第三届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一．计算以下各题〔此题共3小题，每题各5分，共15分，要求写出重要步骤。