数字信号处理实验报告

实验一 信号、系统及系统响应一、实验目的1、熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解。

2、熟悉离散信号和系统的时域特性。

3、熟悉线性卷积的计算编程方法：利用卷积的方法，观察、分析系统响应的时域特性。

4、掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号、系统及其系统响应进行频域分析。

二、 实验原理1.理想采样序列：对信号x a (t)=A e −αt sin(Ω0t )u(t)进行理想采样，可以得到一个理想的采样信号序列x a (t)=A e −αt sin(Ω0nT ),0≤n ≤50，其中A 为幅度因子，α是衰减因子，Ω0是频率，T 是采样周期。

2.对一个连续时间信号x a (t)进行理想采样可以表示为该信号与一个周期冲激脉冲的乘积，即x ̂a (t)= x a (t)M(t),其中x ̂a (t)是连续信号x a (t)的理想采样；M(t)是周期冲激M(t)=∑δ+∞−∞(t-nT)=1T ∑e jm Ωs t +∞−∞,其中T 为采样周期，Ωs =2π/T 是采样角频率。

信号理想采样的傅里叶变换为X ̂a (j Ω)=1T ∑X a +∞−∞[j(Ω−k Ωs )],由此式可知：信号理想采样后的频谱是原信号频谱的周期延拓，其延拓周期为Ωs =2π/T 。

根据时域采样定理，如果原信号是带限信号，且采样频率高于原信号最高频率分量的2倍，则采样以后不会发生频率混叠现象。

三、简明步骤产生理想采样信号序列x a (n),使A=444.128，α=50√2π，Ω0=50√2π。

（1） 首先选用采样频率为1000HZ ，T=1/1000，观察所得理想采样信号的幅频特性，在折叠频率以内和给定的理想幅频特性无明显差异，并做记录；（2） 改变采样频率为300HZ ，T=1/300，观察所得到的频谱特性曲线的变化，并做记录；（3） 进一步减小采样频率为200HZ ，T=1/200，观察频谱混淆现象是否明显存在，说明原因，并记录这时候的幅频特性曲线。

四、 程序clc; close all; clear alln=0:50; %定义序列长度A=444.128;a=50*sqrt(2.0)*pi;T=1/1000; %采样频率定位1000Hz 当频率为% 300Hz 和200Hz 时将T 分别改为% T=1/300和T=1/200即可w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*n*T).*sin(w0*n*T); %构造离散信号函数subplot(3,1,1);stem(x); %输出离散信号波形title('理想采样信号序列');k=-25:25;W=(pi/12.5)*k;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,1,2);stem(magX);title('离散信号的幅度谱');angX=angle(X);subplot(3,1,3);stem(angX);title('离散信号的相位谱'); %绘制离散信号的相位谱五、结果图形（1）f=1000Hz（2）f=300Hz（3）f=200Hz六、 思考题1、在分析理想采样信号序列的特性实验中，利用不同采样频率所得到的采样信号序列的傅里叶变换频谱，数字频率度量是否相同？他们所对应的模拟频率是否都相同？答: (1)由数字频率ω和模拟频率Ω的关系ω=ΩT 可知，对于不同的采用频率其采用间隔T 不同，因此对应的数字频率度量ω不同。

(2)对于同一个信号，它们的模拟频率是相同的。

2、实验中，当频域有频谱混淆时，在实验结果中是如何体现的？答：由图可以看出，当采样频率为1000Hz 时，在20—30之间幅频比较明显，在10—20之间不明显；而当采样频率分别为200Hz 和300Hz 时，幅频整体上都有增加，显然在20和40附近有明显的频谱混淆叠加。

实验二 应用FFT 对信号进行频谱分析一、实验目的1、 在理论学习基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT 算法及编程的编写。

2、 熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。

3、 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。

二、实验原理一个连续信号x a (t)的频谱可以用它的傅里叶变换表示为X a (j Ω)= ∫x a +∞−∞(t)e −j Ωt dt如果对信号进行理想采样，可以的到采样序列x a (n )= x a (n Τ)同样可以对该序列进行z 变换，其中T 为采样周期X a (z )=∑x (n )z −n +∞−∞当z=e i ω的时候，我们就得到了序列的傅里叶变换X （e j ω）=∑x (n )z−j ωn +∞−∞ 其中ω成为数字频率，它和模拟频率的关系为ω=ΩΤ=Ω/f s式子中的f s 是采样频率。

上式说明数字频率是模拟频率对采样频率的归一化。

同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换成为序列的频谱。

序列的傅里叶变换和对应的采样信号频谱所具有的对应的关系：X （e j ω）=1Τ∑X a (j ω−j 2πΤ+∞−∞m)即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。

离散傅里叶变换：X (k) =DFT[x(n)]=∑x (n )W N kn N−1n=0其中W N −kn =e −j 2πN ,它的反定义为：x (n) =IDFT[X(n)]=1N ∑X(k)W N −kn N−1k=0 令z=W N −k ,则有X （z ）|z=W N−k =∑x (n )W N kn N−1n=0=DFT[x(n)] 可以的到X(k)=X(z) |z=W N −k =e j 2πN ，W N −k 是z 平面单位圆上幅角ω=2πN k 的点，就是将单位圆进行N 等分以后第k 个点。

相关基本信号：衰减正弦序列：x b (n)= {e −an sin2πfn ,0≤n ≤500,其他三角波序列：x c (n)={n +1,0≤n ≤38−n,4≤n ≤70,其他反三角序列：x d (n)={4−n,0≤n ≤3n −3,4≤n ≤70,其他三、简明步骤2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性绘制a=0.1，f 分别为0.0625，0.4375，0.5625编程绘制其图形及其频谱3 观察三角波序列和反三角序列的时域和幅频特性绘制8点、16点FFT 信号序列形状和频谱曲线，并进行比较说明。

四、程序1、衰减正弦序列的时域和幅频特性程序clc; clear all ; close alla=0.1; %衰减指数n=0:15; %定义序列长度f=0.0625; %信号频率f ，可以改变频f=0.4375%和f=0.5625x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); %生成衰减正弦信号xclose all ;subplot(2,1,1);stem(x); %生成信号x 的序列特性图title('衰减正弦序列特性');subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x)));title('衰减正弦序列幅频特性'); %生成衰减正弦序列的幅频特性2、三角波序列与反三角波序列时域与幅频特性clc ; clear all ; close alln=0:7;for i=1:4xd(i)=i; %三角波序列前四点数值(如果是end %反三角波序列则有xd(i)=5-i )for i=5:8xd(i)=9-i; %三角波序列前四点数值(如果是end %反三角波序列则有xd(i)=i-4)for i=9:16xd(i)=0;end %定义生成(反)三角波序列subplot(3,1,1);stem(xd); %生成(反)三角波序列图形title('绘制(反)三角波序列');subplot(3,1,2);stem(abs(fft(xd,8))); %生成绘制(反)三角波8点FFT图形title('绘制(反)三角波8点FFT图形');subplot(3,1,3);stem(abs(fft(xd,16))); %生成绘制(反)三角波16点FFT图形title('绘制(反)三角波16点FFT图形');五、结果图形2、观察衰减正弦序列的时域和频域特性（1）f=0.0625Hz（2）f=0.4375Hz（3）f=0.5625Hz3、观察三角波序列和反三角波序列的时域和频域特性（1）三角波序列（2）反三角波序列六、 思考题1、实验中的信号序列Xc(n)和Xd(n),在单位圆上的z 变换频谱会相同吗？如果不同，你能说出哪一个低频分量更多一些吗？为什么？答：两者z 变换不同。

其中，Xd(n)的低频分量较多，由图形可以看出，在低频处，Xd(n)的取值较多，呈递减趋势。

实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1. 了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。

2. 掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉用双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。

3. 观察用双线性变换法设计的滤波器的频域特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。

4. 熟悉用双线性变换法设计数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。

5. 了解多项式乘积和多项式乘方的计算机变成方法。

二、实验原理利用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器方法（1）根据所给出的数字滤波器性能指标计算出相应的模拟滤波器的设计指标。

（2）根据得出的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数H(S)。

（3）根据得出的模拟滤波器的系统函数H(S)，经某种变换得到对该模拟滤波器相应的数字仿真系统——数字滤波器。

将模拟滤波器转换成数字滤波器的实质是，用一种从s 平面到z 平面的映射函数将Ha(s)转换成H(z)。

对这种映射函数的要求是：(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s 平面的虚轴映射z 平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

脉冲响应不变法和双线性变换法都满足如上要求。

2．脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t),让h(n)正好等于h a (t)的采样值，即h(n)=h a (nT)，其中T 为采样间隔。

3．双线性变换法s 平面与z 平面之间满足以下映射关系：1111T 2--+-=z z ss 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。