高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题4_第1讲_等差数列和等比数列(含答案)
- 1 - 第1讲 等差数列和等比数列
考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．
1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋„＋an，an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
2．等差数列和等比数列
等差数列 等比数列
定义 an－an－1＝常数(n≥2) anan－1＝常数(n≥2)
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0)
判定方法 (1)定义法
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋
an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列
(5){an}为等比数列，an>0⇔{logaan}为等差数列 (1)定义法
(2)中项公式法：a2n＋1＝an·
an＋2(n≥1)(an≠0)⇔ {an}为等比数列
(3)通项公式法：
an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列
(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a≠1)
性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
(2)an＝am＋(n－m)d
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„，仍成等差数列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
(2)an＝amqn－m
(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列
前n项和 Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d (1)q≠1，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q
(2)q＝1，Sn＝na1
热点一
等差数列
例1 （1）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝12，则S7的值是( )
2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题2数列突破点4等差数列等比数列学案文
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1word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 突破点4 等差数列、等比数列
[核心知识提炼]
提炼1 等差数列、等比数列的运算
(1)通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d；
等比数列：an＝a1·qn－1.
(2)求和公式
等差数列：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d；
等比数列：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．
(3)性质
若m＋n＝p＋q，
在等差数列中am＋an＝ap＋aq；
在等比数列中am·an＝ap·aq.
提炼2 等差数列、等比数列的判定与证明
数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法：
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为同一常数；
②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法
①利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为同一常数；
②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2).
提炼3 数列中项的最值的求法
(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)＝an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数．
(2)利用数列的单调性求解，利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．
(3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列{an}的最大项，则可解不等式组 an≥an－1，an≥an＋1；若求数列{an}的最小项，则可解不等式组 an≤an－1，an≤an＋1，求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项．
[高考真题回访] 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版)
1 2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用
题型一 数列求和
【题型要点】
(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1nnaac(其中{an}是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．
(3)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
(6)归纳猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明．
【例1】已知各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式bn＝ n，n为偶数，n＋1，n为奇数(n∈N*)，若S3＝b5＋1，b4是a2和a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【解析】 (1)∵数列{bn}的通项公式bn＝ n，n为偶数，n＋1，n为奇数(n∈N*)，∴b5＝6，b4＝4，
设各项为正数的等比数列{an}的公比为q，q>0，
∵S3＝b5＋1＝7，∴a1＋a1q＋a1q2＝7，①
∵b4是a2和a4的等比中项， 2 ∴a2·a4＝a23＝16，解得a3＝a1q2＝4，②
由①②得3q2－4q－4＝0，解得q＝2，或q＝－23(舍)，
∴a1＝1，an＝2n－1.
(2)当n为偶数时，Tn＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n－1)＋1]·2n－2＋n·2n－1
高考数学二轮复习 专题10 数列求和及其应用教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题10 数列求和及其应用
高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测2018高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．
1．数列求和的方法技巧
(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．
(2)错位相减法
这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
(5)分组转化求和法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．
2．数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列的综合．
(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．
(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．
数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.
【误区警示】
1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．
2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．
考点一．数列求和
例1、25.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k,若数列{}na满足1111nknknnnknkaaaaaa
2nka对任意正整数()nnk总成立，则称数列{}na是“()Pk数列”.
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解27---数列求和及其综合应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解
第27讲 数列求和及其综合应用
[考情分析] 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，
一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.
主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
考点一 数列求和 核心提炼
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，
有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：1
nn＋k＝1k
1n－1
n＋k；
1
4n2－1＝12
1
2n－1－1
2n＋1.
2．错位相减法求和，主要用于求{a
nb
n}的前n项和，其中{a
n}，{b
n}分别为等差数列和等比数列．
考向1 分组转化法
例1(2022·德州联考)已知数列
2na是公比为4的等比数列，且满足a
2，a
4，a
7成等比数列，S
n为数
列{b
n}的前n项和，且b
n是1和S
n的等差中项，若c
n＝
a
n，n为奇数，
b
n，n为偶数，求数列{c
n}的前2n－1项和．
解 因为数列
2na是公比为4的等比数列， 所以12
2n
na
a
＝4，
所以a
n＋1－a
n＝2，
所以数列{a
n}是公差为2的等差数列，
因为a
2，a
4，a
7成等比数列，
所以a2
4＝a
2a
7， 所以(a
1＋6)2＝(a
1＋2)(a
1＋12)，
解得a
1＝6，
所以a
n＝6＋2(n－1)＝2n＋4，
因为S
n为数列{b
n}的前n项和，且b
n是1和S
n的等差中项，所以S
n＋1＝2b
n，
当n≥2时，有S
n－1＋1＝2b
n－1，
两式相减得b
n＝2b
n－2b
n－1，
即b
n＝2b
n－1，
当n＝1时，有S
1＋1＝b
1＋1＝2b
1，
所以b
1＝1，
所以数列{b
n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以b
n＝2n－1，
因为c
n＝
a
n，n＝2k－1，
b
n，n＝2k，k∈N*.
2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第2讲第2讲 数列通项与求和
第2讲 数列通项与求和
[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019 等比数列的求和·T14 递推公式的应用·T19 等差数列的前n项和·T14
2018 an与Sn关系的应用·T14 等差数列前n项和的最值问题·T17
2017 等差数列的基本运算、数列求和·T17 等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17
等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点．若以解答题的形式考查，常与解三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．
考点一 an与Sn关系的应用
[例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________．
(2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．
[解析] (1)法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，则Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以数列{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＝4·2n－1＝2n＋1，则a5＝S5－S4＝26－25＝32.
法二：当n≥2时，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，两式相减，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以数列{an}是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.
(2)法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，①
知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3，②
②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．
高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题三第2讲 数列求和及其综合应用 Word版含答案
第2讲数列求和及其综合应用
错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法
错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)·bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．
(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n.求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d，
由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，得11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，
可解得b1＝4，d＝3.
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
所以Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋4（1－2n）1－2－（n＋1）×2n＋2＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
应用错位相减法求和需注意的问题
(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．
2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题二数列第2讲数列求和及综合问题含解析
高考数学二轮复习专题练：
第2讲 数列求和及综合问题
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
真 题 感 悟
1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________.
解析 法一 因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1，
所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1，
所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，
所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.
因为数列{an}的前16项和为540，
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①
因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1，
所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，
所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②
由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.
又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7. 法二 同法一得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝448.
当n为奇数时，有an＋2－an＝3n－1，
由累加法得an＋2－a1＝3(1＋3＋5＋…＋n)－n＋12
＝32(1＋n)·n＋12－n＋12＝34n2＋n＋14，
所以an＋2＝34n2＋n＋14＋a1.
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15
＝a1＋34×12＋1＋14＋a1＋34×32＋3＋14＋a1＋34×52＋5＋14＋a1＋
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 跟踪检测： 专题3 数列 第1部分 专题3 第2讲
第一部分 专题3 第2讲题型对应题号
1.分组转化法求和1,2,3,5
2.错位相减法求和6,10,14
3.裂项相消法求和8,9,11,15
4.数列的综合应用4,7,12,13
基础热身(建议用时：40分钟)
1．已知数列{a
n}满足a
n＋1＝a
n－a
n－1(n≥2，n∈N*)，a
1＝1，a
2＝2，S
n为数列{a
n}的前
n项和，则S
2 024＝( )
A．3 B．2
C．1 D．0
A 解析 因为a
n＋1＝a
n－a
n－1，a
1＝1，a
2＝2，所以
a
3＝1，a
4＝－1，a
5＝－2，a
6＝－1，a
7＝1，a
8＝2，…，故数列{a
n}是周期为6的周期数列，
且每连续6项的和为0，故S
2 024＝337×0＋a
2 023＋a
2 024＝a
1＋a
2＝3.故选A项．
2．数列1，
3，5
，7，
…，(2
n－1)＋
，…的前n项和S
n的值等于( )1
21
41
81161
2n
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－1
2n1
2n
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－1
2n－11
2n
A 解析 由已知得S
n
＝[1＋3
＋5＋…＋(2n
－1)]＋＝n
2＋1－.故选A(1
2＋1
22＋…＋1
2n)1
2n
项．
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝( )
A． B．－nn＋1
2nn＋1
2
C．(－1)n＋1 D．以上均不正确nn＋1
2
C 解析 当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－
＝－；当n
为奇数时，1－4＋9－16
＋…＋(－1)n
23＋2n－1
2nn＋1
2n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－＋n2＝.综上可得，原n－12[3＋2n－1－1]2nn＋12
式＝(－1)n＋1.故选C项．nn＋12
4．已知数列{a
n}的前n项和S
n＝an－1(a≠0)，则{a
n}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
第04讲 数列求和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
第04讲 数列求和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：裂项相消求和法
题型二：错位相减求和法
题型三：分组求和法
题型四：倒序相加求和法
第四部分：高考真题感悟
1.公式法
(1)等差数列前n项和公式11()(1)22nnnaanndSna;
(2)等比数列前n项和公式111(1)11nnnaqSaqqq
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n项和.
①21111(1)1nnnnnn
②1111()()nnkknnk 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
③211111()41(21)(21)22121nnnnn
④1111()(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn
⑤11()nknknkn
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列nc的通项公式nnncab，其中na、nb中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成nnncab的形式，而数列na，nb是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）若数列na满足11nann，则na的前2022项和为（ ）