中考数学与平行四边形有关的压轴题含答案解析
四边形中线段的数量与位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练08四边形中线段的数量与位置关系
1.在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐸 是 𝐴𝐷 上一点， 𝐴𝐸=𝐴𝐵 ，过点 𝐸 作直线 𝐸𝐹 ，在 𝐸𝐹 上取一点 𝐺 ，使得 ∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐵 ，连接 𝐴𝐺 ．
（1）如图1，当 𝐸𝐹 与 𝐴𝐵 相交时，当 ∠𝐸𝐴𝐵=60° 时，
请直接写出 ∠𝐶 度数为________；
（2）求证： 𝐸𝐺=𝐴𝐺+𝐵𝐺 ；
（3）如图2，当 𝐸𝐹 与 𝐶𝐷 相交时，且 ∠𝐸𝐴𝐵=90° ，请你写出线段 𝐸𝐺 ， 𝐴𝐺 ， 𝐵𝐺 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】 （1）① 60∘
（2）在 𝐺𝐸 上取 𝐻 ，使 𝐺𝐻=𝐺𝐵 ，连接 𝐻𝐵 、 𝐸𝐵
∵ ∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=60∘ ， 𝐴𝐸=𝐴𝐵
∴ △𝐻𝐺𝐵 、 △𝐸𝐴𝐵 是等边三角形
∴ 𝐵𝐸=𝐵𝐴 ， 𝐵𝐻=𝐵𝐺 ， ∠𝐺𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐻=60∘ ， ∠𝐻𝐵𝐸+∠𝐴𝐵𝐻=60∘
∴ ∠𝐻𝐵𝐸=∠𝐺𝐵𝐴
∴ △𝐻𝐵𝐸≌△𝐺𝐵𝐴
∴ 𝐻𝐸=𝐺𝐴
∴ 𝐺𝐸=𝐺𝐻+𝐻𝐸=𝐵𝐺+𝐴𝐺
（3）连接AG，将 △𝐴𝐺𝐸 绕 𝐴 顺时针旋转90°至 △𝐴𝐻𝐵 处
∴ 𝐻𝐵=𝐺𝐸 ， 𝐴𝐻=𝐴𝐺
∵ ∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=90∘
∵在四边形 𝐴𝐵𝐺𝐸 中， ∠𝐴𝐵𝐺+∠𝐴𝐸𝐺=180∘
∴ ∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐴𝐵𝐺=180∘ ，即 𝐻 ， 𝐵 ， 𝐺 三点共线
∵ ∠𝐸𝐴𝐺+∠𝐵𝐴𝐺=90∘
∴ ∠𝐻𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐺=90∘ ，即 ∠𝐻𝐴𝐺=90∘
2020年中考数学 培优专题：四边形压轴专练(含答案)
2020年中考数学 培优专题：
《四边形压轴专练》
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF．
（2）若∠G＝90°．
①求证：四边形DEBF是菱形；
②当AG＝4，BG＝3时，求四边形DEBF的面积．
3．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．
（1）求证：∠BAP＝∠BGN；
（2）若AB＝6，BC＝8，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．
4．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是 ；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
5．在四边形ABCD中，E为BC边中点．
（Ⅰ）已知：如图1，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．
求证：（1）△ABE≌AFE；
（2）AD＝AB+CD；
（Ⅱ）已知：如图2，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，点F，G均为AD上的点，AF＝AB，GD＝CD．
中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)附详细答案
中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)附详细答案
一、平行四边形
1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）存在，理由见解析;
（3）不成立．理由如下见解析.
【解析】
试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；
（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．
试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．
（2）存在，
理由：若∠BMC=90°，
则∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴AMABCDDM，
设AM=x，则xaabx， 整理得：x2﹣bx+a2=0，
∵b＞2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2﹣4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，
（3）不成立．
2020年中考数学压轴题-专题08 动点产生的平行四边形(解析版)
专题08 动点产生的平行四边形
教学重难点
1.理解平行四边形的性质和判定；
2.能应用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明；
3.培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形，继而解决相关问题；
4.培养学生分类讨论的能力，能应用分类讨论思想解决相关问题；
5.体验运动过程，培养学生动态数学思维能力。
【备注】：
1.根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定，为后面的例题讲解做好准备；
2.部分地方引导学生填空，让学生自己回顾。时间大概5分钟。
平行四边形的性质：
平行四边形的判定：
【备注】：
1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；
2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；
3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；
4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；
5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比引导等等；
6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；
7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
1.（2019·辽宁中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得⊥BDE和⊥ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．
2014数学中考压轴题___因动点产生的平行四边形问题_有详细答案
2014数学中考压轴题 因动点产生的平行四边形问题
例1 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1 思路点拨 1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧． 满分解答 （1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 1,1643.cbc 解得92b，c＝1． 所以抛物线的解析式是2912yxx． （2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5． 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H． 在Rt△AOH中，OA＝1，4sinsin5AOHOBC， 所以4sin5AHOAAOH． 图2
所以35OH，225BHOBOH．
在Rt△ABH中，4222tan5511AHABOBH．
（3）直线AB的解析式为112yx．
设点M的坐标为29(,1)2xxx，点N的坐标为1(,1)2xx，
那么2291(1)(1)422MNxxxxx． 当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3． 解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3． 因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为9(1,)2（如图3）．
图3 图4 考点伸展 第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM． 由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得27x（如图5）．
中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)
2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合
1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．
（1）求证：DG＝BC；
（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．
（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，
∵E是DC的中点，即 DE＝CE，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG＝BC．
（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．
理由：由（1）知DG＝BC，
∵AB＝AD+BC，AF＝AD，
∴BF＝BC＝DG，
∴AB＝AG，
∵∠BAG＝90°，
∴∠AFD＝∠ABG＝45°，
∴FD∥BG．
（3）解：结论：FH＝HD．
理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，
∵FD∥BG，
∴AE⊥FD，
∵△AFD为等腰直角三角形，
∴FH＝HD．
2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，
∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，
∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，
在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴ON＝．
3．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
中考数学四边形压轴题+解析
九年级上册四边形压轴题2
一．解答题（共30小题）
1．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
2．（2009?宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
3．（2009?黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明；若不是，则说明理由；
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
第1页（共57页）
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
（1）求证：CF＝BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
第2页（共57页）
2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△
，可推证△CEF是 三角形，从而求得∠DCE＝ ．
[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．
[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．
第3页（共57页）
3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
第4页（共57页）
4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．
人教备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4133．
【解析】
分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
OBEODFOBODBOEDOF
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= 133，
∵BD=22ADAB =213，
∴OB=12BD=13，
∵BD⊥EF， ∴EO=22BEOB=2133，
∴EF=2EO=4133．
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
2．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且86OBOD，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。
（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若7OP，求点F的坐标：
中考数学四边形压轴题+解析 2
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九年级上册四边形压轴题2
一．解答题（共30小题）
1．（2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
2．（2009•宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
3．（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；