高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析
1. 如图，在扇形OAB中，，C为弧AB上的一个动点．若，则的取值范围是 ． 【答案】. 【解析】如图建立直角坐标系，设此扇形半径为1，，所以,由圆的参数方程可知，因为 ，所以，则有，解得，则，，以下用导数方法求解Y函数的最值情况，因为，当时，则，即Y函数在时是单调递减的，所以当时，，当时，，综上所述，的取值范围是. 【考点】向量的坐标运算，圆的参数方程，导数求最值问题.
2. 若，则与垂直的单位向量的坐标为__________
【答案】或
【解析】设所求的单位向量坐标为，由模长为1可得，与垂直可得，联立成方程组解得，或．
【考点】1．向量的坐标运算；2．单位向量．
3. 已知向量，.若，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量，，则，所以解得.故选A.本小题解题的关键是向量的坐标形式的数量积的计算，通过运算解出相应的未知数的值.
【考点】向量的坐标形式的数量积.
4. 两个向量，的夹角大小为 . 【答案】 【解析】由向量坐标形式的夹角公式为.所以.由于.所以.故填.本小题的关键是向量所成的角的取值范围以出错.
【考点】1.向量的坐标形式.2.向量的夹角的计算公式.3.向量的夹角的取值范围.
5.
已知，，若，且,则实数分别为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.
【考点】空间向量的坐标运算.
6. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.
【答案】2．
【解析】由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．
【考点】空间三点共线．
7. 已知向量则与同方向的单位向量是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，令其同方向的单位向量为，则
，解得，所以所求的向量为。故选A。
【考点】向量的运算；共线向量；单位向量。
点评：在本题中，两向量同方向说明两向量共线。而对于单位向量，它的模等于1.
8. 已知单位向量的夹角为，若，如图，则叫做向量的坐标，记作，有以下命题：
①已知，则；
②若，则；
③若，则；
④若， ，且三点共线，则。
上述命题中正确的有 ．（将你认为正确的都写上） 【答案】②④ 【解析】①中为以两临边为2，1的平行四边形的对角线，由余弦定理解三角形可知，类比直角坐标系下向量的坐标运算可知②正确③错误；④三点共线，所以 即 【考点】向量共线及坐标运算 点评：类比平面直角坐标系下的向量性质推测向量的坐标下的性质，归纳类比题目是近年来常出现的考点 9. 已知向量.若与的夹角为，则实数 . 【答案】-3
【解析】根据.
【考点】空间向量的数量积.
点评：空间向量的数量积的定义.
10.
已知向量=(2,x)，=(3,4)，且、的夹角为锐角，则x的取值范围是_________
【答案】
【解析】解：因为向量=(2,x)，=(3,4)，且、的夹角为锐角，则6+4x>0,且、的夹角不为零，因此8-3x0因此可知x的取值范围是
11. 如果，，而且，那么的值是
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，，而且，选D.
12. 已知，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为，且，利用均值不等式可知，选A
13. 已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.
14. 已知向量 ___________.
【答案】
【解析】,又,.
15. 已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为平面向量，，且，则3x-3=0,x=1,选C
16. 已知向量∥，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为向量∥，故有6x-3=0,得到实数的值为,选A
17. 已知向量与向量平行,则x,y的值分别是 （ ）
A．6和10 B．–6和10 C．–6和-10 D．6和-10
【答案】D
【解析】解：因为向量与向量平行，则说明对应成比例，即，选D
18. 已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设Q（x，y，z）
∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），
则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得 OQ =λ OP =（λ，λ，2λ）
则Q（λ，λ，2λ） QA =（1-λ，2-λ，3-2λ）， QB =（2-λ，1-λ，2-2λ）
∴ QA• QB =（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当λ="4" /3 时，取得最小值-2 /3 此时Q
故答选C
19. 已知，它们的夹角为 【答案】3 【解析】解：因为
20.
已知向量，，若与共线，则等于（
）
A．；
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：因为向量，则说明
21.
若a =" (" m＋1 , 2 , 4 )， b =" (" 5 , m－3 , 9 )且a与b垂直，则m = _______
【答案】.
【解析】，
22. 已知 且//，则锐角的大小为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,
，即，
是锐角，，。
23. 向量若垂直，则实数=
【答案】7
【解析】，依题意可得，，即，解得
24. 已知向量，若，设，则与轴夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与轴夹角为，在x轴上取向量
故选D
25. 已知为平行四边形，且，则顶点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
26. 已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
27. 已知向量，，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
28. (本题满分12分)已知A（2，0），B（0，2），C（），且0<<.
（1）若的夹角；
（2）若的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1），即
…………（6分）
（2）
又由
得………………（12分）
29. 已知向量，则实数的值为
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】因为向量，则，解得
【考点】向量平行的应用
30. 设M（5,-1,2）,A（4,2,-1）,O（0,0,0）,若,则点B的坐标应为（ ）
A．（-1,3,-3） B．（1,-3,3） C．（9,1,1） D．（-9,-1,-1）
【答案】C
【解析】设点B的坐标为（x，y，z）；表示出，由解出B的坐标．
设点B的坐标为（x，y，z）；
则,，
，
故选C．
【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示．
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案
【篇一：平面向量练习题集答案】
>典例精析
题型一 向量的有关概念
【例1】 下列命题： ①向量ab的长度与ba的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.
其中真命题的序号是.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
①|a|＝a?a；
②(a?b) ?c＝a? (b?c)； ③oa－ob＝ba；
④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab＋＝2；
其中正确的个数为( )
a.1 b.2 c.3 d.4
【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba正确；如下图所示，
mn=++且mn=++，
两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；
因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，
即得(a＋b)⊥(a－b).
所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段
do 上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1
313
.
【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o， 111所以＝＝(－)a－b)，
222
＝2＝2(＋)＝2(a＋b).
11又＝， ＝， 33
1所以＝ad＋＝b＋ 3
1115＝b(a－b)＝a， 3266111
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
1. 已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】因为 所以
又向量与垂直，所以，，即，解得：
故选A．
【考点】向量的数量积的应用．
2. 已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )
A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)
【答案】D
【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D
【考点】平面向量坐标运算.
3. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得． 【考点】向量的坐标运算．
4.
已知，,如果∥，则实数的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，即.
【考点】向量平行的充要条件.
5. 若平面向量满足,垂直于轴，，则____
【答案】或
【解析】设，所以，因为垂直于轴；
所以，解得，或.
故答案为或
【考点】向量的坐标表示；向量垂直.
6. 向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．
【答案】
【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．
7. 已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（ ）
A．（12，3） B．（7，3） C．（35，15） D．（6，2）
【答案】C
【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），
∴||=5，
+=（7，3），
∴||•（）=5（7，3）=（35，15）
故选C．
8. 已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【解析】∵|+|=，||=
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
1 全国卷历年高考平面向量真题归类分析
（2015年-2019年共14套）
一、代数运算（3题）
1.(2015全国2卷13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
解：因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:
2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则
.
解解
，所以.
3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
解：因为所以选B.
4.（2019全国1卷7）已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为
A. π6
B. π3 C. 2π3 D. 5π6
解：因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为3，故选B．
【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cosxxyyababxyxy，注意向量夹角范围为[0,]．求模长则利用公式22aaaa转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,kk，1212ab602a1b2ab22222(2)22cos602ababaabb2212222224441221223ab解题思路及步骤 注意事项
确定基底 一般选择已知模长及夹角大小的两个不共线向量作为基底
用基底表示 所有相关向量统一用同一个基底表示
向量运算解题 常用公式22aaaa求模，模长记得开平方 2 二、几何运算（3题）
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
1. 在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（ ）
（1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；（3）平面内点P满足，则点P在边BC的垂线上；
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】对（2），M为的外心，故（2）错.
对（3），，所以点P在的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.
【考点】三角形与向量.
2. 如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于、、三点共线，设，则
，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此
，，所以，选C.
【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示
3. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝( )
A．－1 B．3 C．－ D．
【答案】D
【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.
4. 在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【解析】根据题意可得：，则，化简得：，解得：．
【考点】向量的运算
5.
若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（
）
A．﹣
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），
∴2+=（3，3）
=（0，3）
则（2+）•（）=9
|2|=，||=3
∴cosθ==
∴θ=
故选C
6. 在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x
(完整版)北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析
第5课时 平面向量的坐标表示及其运算
1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.
2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.
足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ. 能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?
问题1:平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个
的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底e1、e2 时的情况.
问题2:平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,
一对实数x,y,使得= ,因此a=xi+yj.我们把实数对 叫作向量a的坐标,记作 .
问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算
(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= .
即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= .
即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R,a=(x,y),则λa= .
即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.
(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= .
即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标. 问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?
由向量的共线定理可知:若a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
1. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设所求的椭圆方程为：
由题意：
所求椭圆方程为：．
（2）若过点的斜率不存在，则．
若过点的直线斜率为，即：时，
直线的方程为
由
因为和椭圆交于不同两点
所以，
所以 ①
设
由已知，则 ②
③
将③代入②得：
整理得：
所以代入①式得
，解得．
所以或．
综上可得，实数的取值范围为：．
2. （2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D． 【答案】A
【解析】，，
则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，
故选A．
3. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量
． 【答案】 【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为， 则 设 .又向量 所以， ∴， ∴， ∴． 由题意得 ∴当时，同时，时，取最小值为.
【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.
4. 如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则
因为，所以 所以，
,
所以，
故答案应填.
【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.
5. 如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点．若＝x，＝y，求的值．
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析 2
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
1. 平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，
则 . 【答案】2. 【解析】由题意得：，选D. 法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得 【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.
2.
平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D. 【解析】由题意得：，选D. 法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得
【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.
3. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．
【考点】向量的坐标运算．
4. 已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．
(1)若|a＋b|＝，求x的值；
(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．
【答案】（1）x＝或x＝ （2）(5，＋∞)
【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，
∴|a＋b|＝＝，
由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.
∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.
因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.
(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，
∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，
∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，
∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.
又c>f(x)恒成立，
因此c>[f(x)]max，则c>5.
∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．
5. 向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．
【答案】
【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
1. 三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，, ，则由，得出，，，.于是向量，，所以
，
令，，则.
因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.
又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.
【考点】立体几何与空间向量.
2. 点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得. 【考点】空间直角坐标系中点的对称关系. 3. 已知，，，三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，所以
,故选B． 【考点】1．空间向量夹角公式；2．三角形面积公式．
4. 已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
【答案】D
【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．
【考点】空间向量的平行．
5. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由是上一点，且，可得
又因为是的重心，所以
而，所以，所以，选A.
【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.
6. 已知，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B．－ C．19 D．
【答案】A
【解析】根据空间中两点间的距离公式可得
设，，故，根据二次函数的图像可知，该函数的最小值在对称轴上取到，所以当取最小值时，的值等于，选A.
【考点】1.空间中两点间的距离问题；2.二次函数的图像与性质.
7. 设点关于原点的对称点为，则等于（ ）
A． B． C． D． 【答案】A
(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结
归纳
单选题
1、△ABC
的内角A
，B
，C
的对边分别为a
，b
，c
，已知a
sinA
－b
sinB
=4c
sinC
，cosA
=－1
4，则𝑏
𝑐=
A．6B．5C．4D．3
答案：A
分析：利用余弦定理推论得出a
，b
，c
关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
详解：由已知及正弦定理可得𝑎2
−𝑏2
=4𝑐2
，由余弦定理推论可得
−1
4=cos𝐴=𝑏2
+𝑐2
−𝑎2
2𝑏𝑐 , ∴𝑐2
−4𝑐2
2𝑏𝑐=−1
4 , ∴3𝑐
2𝑏=1
4 , ∴𝑏
𝑐=3
2×4=6，故选A．
小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
2、已知向量𝑎⃑，𝑏⃑⃑
满足|𝑎⃑|=
√3，|𝑏⃑⃑
|=2，且𝑎⃑⊥(𝑎⃑−𝑏⃑⃑
)，则𝑎⃑与𝑏⃑⃑
的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：A
分析：利用数量积的定义，即可求解.
解：𝑎⃑⊥(𝑎⃑−𝑏⃑⃑
),所以𝑎⃑⋅(𝑎⃑−𝑏⃑⃑
)=0,即|𝑎→
|2
−|𝑎→
||𝑏→
|cos<𝑎→
,𝑏→
>=0，
解得cos<𝑎→
,𝑏→
>=√3
2,又因为向量夹角的范围为[
0°
,180°
]
，则𝑎⃑与𝑏⃑⃑
的夹角为30°，
故选：A.
3、向量𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=(𝑘,12)，𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=(4,5)，𝑃𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=(10,𝑘)．若𝐴,𝐵,𝐶三点共线，则𝑘的值为（ ）
A．−2B．1C．−2或11D．2或−11
答案：C
分析：求得𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
，𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
，利用向量共线的充要条件，可得关于𝑘的方程，求解即可.
解：由题可得：𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
−𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=(
𝑘,12)
−(
4,5)
=(
𝑘−4,7)
，
𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
−𝑃𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑
高中数学第6章6.2.3课时33平面向量的坐标及其运算两点间的距离公式与中点坐标公式人教B版必修第二册
- 1 - 课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
知识点一 平面向量的坐标
1.如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
2．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①OA→＝2i＋3j；
②OB→＝3i＋4j；
③AB→＝－5i＋j；
④BA→＝5i－j.
答案 ①③④
解析 i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确．
知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
答案 A
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线 - 2 - 答案 C
解析 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则mn＝________，|na＋mb|＝________.
答案 －12 41
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴ 2m－n＝4，3m＋2n＝－1，解得 m＝1，n＝－2，∴mn＝－12.