山东省潍坊市寿光市现代中学2020-2021学年高二(上)期中数学试题
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A ．11a b< B ．a b <C ．0ab <D ．2ab b >2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=3．在等差数列{}n a 中，5799a a a ++=，212a a +=（ ） A ．3 B ．6 C ．9D ．94．“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知方程221612x y m m+=--表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．()6,9B ．()9,12C ．()6,12D ．()()6,99,126．网上购鞋常常看到下面的表格：脚长与鞋号对应表如果一个篮球运动员的脚长为290mm ，根据上表，他应该穿的鞋号为（ ） A ．46B ．47C ．48D ．497．“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()123,n n n a a n n a --++≥=∈N ，记其前n 项和为n S ，则6543S S S S +--=（ ）A ．8B ．13C ．21D ．348．若不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-，则不等式20bx ax c ++<的解集是（ ） A ．()3,2- B ．()2,3-C ．()(),23,-∞-+∞ D ．()(),32,-∞-+∞9．数列1，13+，2133++，，211333n -++++，的前n 项和n S =（ ）A ．312n -B ．3122n n --C ．1334n +-D ．13342n n +--10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 111．已知0,0a b >>，若不等式212na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．2012．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．①③④二、填空题13．已知命题“x ∀∈R ，220x x a ++≥” 是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 14．在等比数列{}n a 中，22a =，3516a a ⋅=，则6a =__________．15．设1F ，2F 分别是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 为椭圆上任意-一点，点M 的坐标为()1 ,3-，则1PM PF 的最大值为__________．16．下列四个命题:①若0a b >>，0a m >>，则b m b b ma m a a m-+<<-+ ②函数4()1f x x x =++，的最小值是3 ③用长为2l 的铁丝围成--个平行四边形，则该平行四边形能够被直径为l 的圆形纸片完全覆盖④已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为3. 其中所有正确命题的序号是__________．三、解答题17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点()5,0A -为椭圆的左顶点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点()()000,0P x y x >在椭圆C 上， 且12F PF ∆的面积为3，求点P 的坐标. 18．(1)求不等式2111x x -≥+的解集. (2)求关于x 的不等式2(1)0x a x a +--> (其中a ∈R )的解集.19．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，525S = ，且2a ，5a ，14a 依次成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．如图，已知圆22:(1)16E x y ++=，点()1,0F 是圆E 内一个定点，P 是圆E 上任意-一点，线段PF 的垂直平分线l 和半径PE 相交于点Q ，连接QF ，记动点Q 的轨迹为曲线T .(1)求曲线T 的方程;(2)若A 、B 是曲线T 上关于原点对称的两个点，点D 是曲线T .上任意-一点(不同于点A 、B )，当直线DA 、DB 的斜率都存在时，记它们的斜率分别为1k 、2k ，求证:12k k ⋅的为定值.21．为了提高职工的工作积极性，在工资不变的情况下，某企业给职工两种追加奖励性绩效奖金的方案:第一种方案 是每年年末(12月底)追加绩效奖金一次，第一年末追加的绩效奖金为1万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多1万元;第二种方案是每半年(6月底和12月底)各追加绩效奖金一次，第一年的6月底追加的绩效奖金为0.3万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多0.3万元. 假设你准备在该企业工作()n n +∈N 年，根据上述方案，试问:(1)如果你在该公司只工作2年，你将选择哪一种追加绩效奖金的方案?请说明理由. (2)如果选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多，你至少在该企业工作几年?(3)如果把第二种方案中的每半年追加0.3万元改成每半年追加x 万元，那么x 在什么范围内取值时，选择第二种方案的绩效奖金总额总是比选择第一种方案多? 22．已知数列{}n a 的前n 项和()22n n S a n +=-∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n B ; (3)设11(1)n n c a n n =-+，n T 为数列{}n c 的前n 项和，是否存在正整数k ，使得对任意的()n n +∈N ，均有k n T T ≥若存在，求出k 值;若不存在，请说明理由.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案． 【详解】 解：0a b <<， 0ab ∴>，故C 错误；两边同除ab 得：11a b>，故A 错误； a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确； 故选D ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档． 2．C 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 3．B 【分析】根据等差数列的下标和性质解答，即在等差数列中，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 【详解】解：由等差数列下标和公式知，5799a a a ++=，5972a a a +=73a ∴=212726a a a ∴+==故选B本题考查等比数列的下标和性质，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，属于基础题． 4．A 【分析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解． 【详解】解：m 是两个正数2和8的等比中项，4m ∴==±．故4m =是4m =±的充分不必要条件，即“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的充分不必要条件， 故选A ． 【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个． 5．B 【分析】方程221x ym n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是00m n m n>⎧⎪>⎨⎪>⎩，列出不等式组，解得.【详解】解：因为方程221612x y m m+=--表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以60120612m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得912m <<即()9,12m ∈故选B 【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质． 6．C 【分析】根据表中数据分析可知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，求出函数解析式，解得．解：由表所给数据知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，满足()220534y x -=-，即550y x =+当290y =时解得48x =故脚长为290mm ，他应该穿的鞋号为48， 故选C 【点睛】本题考查一次函数的应用问题，属于基础题． 7．C 【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值． 【详解】 解：11a =，21a =，()123,n n n a a n n a --++≥=∈N 3122a a a =+= 4233a a a =+=5345a a a =+= 6458a a a =+=6543S S S S ∴+-- 6453S S S S =-+- 5546a a a a =+++855321=+++=故选C ． 【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于基础题． 8．D根据不等式20ax bx c -+>的解集求出a 、b 和c 的关系， 代入不等式20bx ax c ++<中化简，即可求出该不等式的解集． 【详解】解：不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-， 所以方程20ax bx c -+=的解是-2和3，且0a <；即2323b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得b a =，6c a =-；所以不等式20bx ax c ++<化为260ax ax a +-<， 即260x x +->， 解得3x <-或2x >，所以所求不等式的解集是()(),32,-∞-+∞．故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题． 9．D 【分析】首先求出数列的通项公式，再用分组求和法求解． 【详解】解：依题意设题中数列为{}n a ，11a = 当()*2n n N≥∈时，21133********nn n n a-+-===+-+-+令1n =，113112a -==成立，3122n n a =-所以12111111333222222n n S =⨯-+⨯-++⨯- 12111111333222222n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()131312132n n⨯-=-- 13342n n +-=-故选D 【点睛】本题考查等比数列求和及分组求和，属于基础题． 10．D 【分析】可解得点A 、B 坐标，由AFBF ⊥，得0AF BF =，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】解：由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =y =，A ∴，(B ，，∴AF c =+，(BF c =-，AF BF ⊥∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++，2222243a b c a b∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 11．A 【分析】因为0,0a b >>，所以利用不等式的性质，把不等式212na b a b+≥+中的变量n 分离出来，变为221())(n a a b b ++≥，利用基本不等式求出2)(21()a ba b ++的最小值，确定n 的取值范围，最后求出n 的最大值.【详解】 因为0,0a b >>，所以20a b +>，22121((2))a b n n a b a b a b+≥⇒++≥+，2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时，取等号），要想不等式212n a b a b+≥+恒成立，只需9n ≤，即n 的最大值为9，故本题选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量n 分离出来，利用基本不等式是解题的关键. 12．B 【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么； ②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论； ③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小． 【详解】 解：如图所示，对于①，卫星向径的最小值为11||A F a c =-，最大值为21||A F a c =+，∴①正确；对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22111a c c a a c a c c-=-=-+++， a c 越小，21a e+就越大，211a c -+就越小，椭圆轨道越扁，∴②错误； 对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，∴③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③，共2个． 故选B ．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题． 13．[)1,+∞ 【分析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为x ∈R ，函数22y x x a =++的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可． 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，220x x a ++≥”是真命题， 所以不等式220x x a ++≥在x ∈R 上恒成立．由函数22y x x a =++的图象是一条开口向上的抛物线可知， 判别式0∆即2240a -解得1a ≥ 所以实数a 的取值范围是[)1,+∞．故答案为：[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意x 的范围，如果x R ∉，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出a 的范围．本题是一道基础题． 14．8 【分析】根据等比数列的下标和公式可得，即若数列{}n a 是等比数列，且m n p q +=+则m n p q a a a a =．【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列， 所以3526a a a a = 又22a =，3516a a ⋅= 所以68a = 故答案为：8 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题． 15．15 【分析】由椭圆的定义可得，122||||2||||2||PM PF a PM PF a MF +=+-+，由此可得结论． 【详解】解：由题意2(3,0)F ，2||5MF =，由椭圆的定义可得，1222||||2||||10||||10||15PM PF a PM PF PM PF MF +=+-=+-+=， 当且仅当P ，2F ，M 三点共线时取等号， 故答案为：15． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 16．①③④ 【分析】①利用不等式的性质即可得出； ②取特殊值可排除②；③利用余弦定理及基本不等式判断； ④利用基本不等式可证． 【详解】解：对于①，0a b >>，0a m >>．0a b ∴->，0a m +>，0a m ->， ()0a b m ∴->，()()()0a b m a b m b a m ∴-=+-+>，()()()0a b m b a m a b m -=---> ()()a b m b a m ∴+>+同除()a a m +得()()b m ba m a+∴>+()()b a m a b m ∴->-同除()a a m -得()()b m b a a m -∴>-综上得b m b b m a m a a m-+<<-+，故①正确； 对于②，4()1f x x x =++则4(2)2621f -=-+=--+，故②错误； 对于③，设平行四边形的一组邻边分别为,x y 夹角为θ，0,0,x l y l x y l <<<<+=，()0,θπ∈=x y l +=≥24l xy ∴≤l <所以平行四边形的任何一边及对角线都小于l ，该平行四边形能够被直径为l 的圆形纸片完全覆盖，故③正确；对于④，正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则421xy x -=+，()0,2x ∈所以426621333111x x y x x x x x x -+=+=+-=++-≥=+++当且仅当611x x +=+即1x =取等号，故④正确； 故答案为:①③④ 【点睛】本题考查不等式的性质，及基本不等式的应用，属于中档题．17．（1）2212516x y +=；（2）,14⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由已知a 的值及离心率，可得c ，再由222b a c =-求出b 即可求得椭圆方程； （2）由1212012PF F S F F y ∆=⋅，可求得0y ，代入方程，即可求得P 坐标． 【详解】解:(1)由已知得，5a =， 又35c e a ==，3c ∴=， 则22216b a c =-=，所以椭圆标准方程为2212516x y +=. （2）)由(1)知，1226F F c ==12F PF ∆的面积为1212012PF F S F F y ∆=⋅01632y =⨯⨯=， 解得01y =±，代入椭圆的方程解得0x =所以点P 的坐标为,14⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，及三角形的面积计算，属于基础题． 18．（1）{2x x ≥或1}x <-；（2）分类讨论，详见解析. 【分析】（1）通分，将分式不等式转化为整式不等式，解整式不等式即可，需注意分母不能为零． （2）先利用十字相乘法因式分解，然后对a 分类讨论． 【详解】解:(1)原不等式化为21101x x --≥+，即201x x -≥+， 所以(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，解得2x ≥或1x <-，∴不等式解集为{}21x x x ≥<-或.(2)原不等式可化为()(1)0x a x +->， 当1a ->，即1a <-时，解得x a >-或1x < 当1a -=，即1a =-时，解得1x ≠， 当<1a -，即1a >-时，解得1x >或x a <-.综上所述，当1a <-时，不等式的解集为{}1x x a x >-<或； 当1a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠;当1a >-时，不等式的解集为{}1x x x a ><-或 【点睛】本题考查分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，属于基础题． 19．（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）利用前n 项和公式及等比中项的性质构造关于1a 和d 的方程组，解得. （2）利用裂项相消法求和．【详解】解:(1)设数列{}n a 的首项为1a ，公差为()d d ≠0，由题意52521425S a a a =⎧⎨=⋅⎩，即()()()1211154525,2413,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩1125,2a d d a +=⎧∴⎨=⎩，解得112,a d =⎧⎨=⎩21n a n ∴=-，(2)由题意知，111(21)(21)n n n b a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭12n n T b b b ∴=+++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，等差数列前n 项和公式的应用，以及裂项相消法求和，属于基础题．20．（1）22143x y +=；（2）详见解析. 【分析】（1）根据中垂线的性质可得QP QF =，可得4QE QF +=，由椭圆的定义知，Q 点的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出轨迹方程．（2）设D 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，则点B 的坐标为()00,x y --，表示出1k 、2k ，由D 、A 、B 在椭圆上，则满足椭圆方程，消去00,x y 即可得12k k ⋅为一个定值．【详解】(1)解:Q 在线段PF 的中垂线l 上，QP QF ∴=，4QE QF QE QP PE ∴+=+==，又24EF =<Q ∴点的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，24a ∴=，22c =，即2a =，1c =，23b ∴=，∴曲线T 的方程为22143x y +=.(2)设曲线T 上点D 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，则点B 的坐标为()00,x y --，故22143x y +=，2200143x y +=， 由斜率公式得010y y k x x -=-，020y y k x x +=+2212220y y k k x x -∴⋅=-又22334y x =-，2200334y x =-，22012220333344x x k k x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴⋅=-()2202203344x x x x -==-- 因此，斜率之积12k k ⋅为定值34-. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是设而不求的整体思想，属于中档题．21．（1）见解析；（2）至少在该公司工作3年；（3）13x >. 【分析】（1）将两种方案可得奖金分别计算出来，比较得出结论；（2）根据规则计算出第n 年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，解得；（3）根据规则计算出第n 年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，参变分离，求出x 的取值范围． 【详解】解:(1)第2年末，依第一方案得到的奖金总额为123+=（万元）.依第二方案得到的奖金总额为0.30.320.330.343+⨯+⨯+⨯=(万元).∴在该公司工作2年，选择第一方案和选择第二方案得到的绩效奖金一样多(2)第n 年末，依第一方案得到的奖金总额为:(1)1232n n n +++++=（万元） 依第二方案得到的奖金总额为:()()0.312320.321n n n ++++=+由题意得:(1)0.3(21)2n n n n ++>， 解得:2n >，因为n +∈N ，所以3n ≥，所以至少在该公司工作3年才能保证选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多.(3)第n 年末，依第一方案，得到的绩效奖金总额为(1)1232n n n +++++=（万元)， 依第二方案，得到的绩效奖金总额为(1232)(21)x n xn n ++++=+由题意(1)(21)2n n xn n ++>对所有正整数恒成立， 即142n x n +>+对所有正整数恒成立，因为1111114244(21)4123n n n +=+≤+=++所以当13x >万元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案的绩效奖金总额多. 【点睛】本题考查等差数列求和的应用，关键是理解题意，属于基础题．22．（1）2n n a =；（2）16(23)2n n B n +=+-⋅；（3）存在，4k =.【分析】（1）根据1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，用作差法求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n B ； （3）将11(1)n n c a n n =-+的通项求出，判断其增减性，即可得到k n T T ≥． 【详解】 解（1）由22n n S a =-得1122n n S a ++=- 1122n n n a a a ++∴=-， 12n n a a +∴=即12n na a +=， 又1122S a =-，得12a =，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，1222n n n a -∴=⋅=.(2)由(1)得(21)2nn b n =-，123n n B b b b b ∴=++++23123252(21)2n n =⋅+⋅+⋅++-，2321232n B =⋅+⋅+1(23)2(21)2n n n n ++-+-相减得23122222n B -=⋅+⋅+⋅122(21)2n n n +++⋅--⋅21228(21)2n n n ++=+--- 1(32)26n n +=--. 16(23)2n n B n +∴=+-⋅∴数列{}n b 的前n 项和为16(23)2n n ++-⋅.（3）由(1)得112(1)n n c n n =-+1(1)1(1)2n n n n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 计算得：1: 0c =，20c >，30c >，40c >，50c <， 当5n ≥时，1(1)(1)(2)22n n n n n n ++++-1(2)(1)02n n n +-+=>， 5n ∴≥时，(1)2nn n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列， 又5n =时，5(1)65122nn n +⨯=<， 5n ∴≥时，(1)12nn n +<， 5n ∴≥时，1(1)10(1)2n nn n c n n +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， 故123445,T T T T T T <<<>>∴当4k =时，使得对任意的n ，均有4n T T ≥.【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题．。
山东省寿光现代中学2019-2020学年高二数学10月月考试题(含解析)
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．
7.正数 a, b 满足 ab a b 3 ，则 ab 的取值范围是（ ）
A. [9, )
B. (9, )
C. [3, )
D. (3, )
【答案】A 【解析】 【分析】
根据均值不等值，把已知条件转化成关于 ab 的不等式，解不等式即可 【详解】解：因为 a,b 是正数，所以 ab a b 3 2 ab 3 ，
所求．
【详解】解：因为等差数列
an
，所以
a1
a11
a3
a9
16 ，
S11
则
11
a1
a11 2
118
88
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式
是解本题的关键，属于基础题．
3.已知等比数列{an}满足 a1 3 ， a1 a3 a5 21 ，则 a3 a5 a7 （ ）
x
x 1 C. 当 x 2 时, x 的 最小值是 2
D.
当0
x 2 时, x
1 x 无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．
1 【详解】解：A．当 1＞x＞0 时，lgx＜0，lgx lgx 2 不成立；
x 1 2
B．当 x 0 时,
x ，正确；
1＞ C．当 x≥2 时，x x 2，不成立；
A. n(2n 1)
B. (n 1)2
C. n2
D. (n 1)2
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 an 为等比数列，所以 a1 a2n1 a2 a2n2 a5 a2n5 22n ,
山东省寿光现代中学高二10月段考数学试题
高二数学质量检测试题一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1. 在等比数列{a n }中，公比q 1,则数列{a n }为（ ）A .递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定单调性2．已知na 是等比数列，16,252==a a ，则公比q 等于A ．2B ．2-C ．21 D ．21-3．在ABC ∆中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且,222bc c b a ++=则A ∠等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°4 在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.5. 等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245B ．12C ．445 D ．66. 已知数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1a n＝n ＋1n ，则a 2 012＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0137、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．118.已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-9.如果一个等差数列中，前三项和为34，后三项和为146，所有项的和为390，则数列的项数是：A 13B 12C 11D 1010.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=（ ） A ．B ．C ．D ．11设等比数列｛a n ｝中,每项均为正数,且a 3·a 8=81,log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于A.5B.10C.20D.4012 在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝ ( )． A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13 ．在数列}{n a 中，==-=+n n n a a a a ，则1,1311_________14. 在△ABC 中,若3a =,3b =,3A π∠=,则C ∠的大小为___________.15.在数列{n a }中，已知其前n 项和32+=nn s ,则通项公式为__________ 16.等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列}21{na ）（为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13； ③前n 项和为可以表示为S n ＝na n －nn －12d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17本小题满分12分在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．18本小题满分12分已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比；(2)设S n ＝a 12＋a 22＋…＋a n 2，求S n .19.本小题满分12分已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13.(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .20.本小题满分12分在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.21.本小题满分12分.三角形ABC 中，AB=34 , AC=32 ,AD 是BC 上的中线，角BAD= 030, 求 BC 的长22.本小题满分14分已知数列{}n a 满足：()2,1221≥∈-+=+-n N n a a n n n 且654=a . （1)求数列{}n a 的前三项；（2）是否存在一个实数λ，使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，求数列{}n a 的前n 项和n S .高二数学质量检测参考答案1．D 2 A 3 D 4A 5 D 6 C 7A 8B 9 A 10 B 11C 12 C13 213.211+=-n n a 14答案】2π 15[答案] ⎩⎨⎧≥==-22151n n a n n16解析 答案 ①②③17 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =，…………2分 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． …………4分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．……6分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．…………9分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．……12分18[解析] (1)由a 3·a 5·a 7＝a 53＝512，∴a 5＝8.设公比为q ，则a 3＝8q 2，a 7＝8q 2， 由题设(8q 2－1)＋(8q 2－9)＝10 解得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，∴q 2＝2，∴q ＝ 2. ∵a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，∴a 1＝2. (2)a n 2＝[2×(2)n －1]2＝2n ＋1 ， ∴S n ＝42n －12－1＝2n ＋2－4.19解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋nn －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝4a 2n －1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.20(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c acB ac ac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C 21 略课本第十页 22.解：（1）3,9,25123===a a a（2）1221-+=-n n n a an n n n n a a 2112211-+=∴--，1212111+-=-∴--n n n n a a 1-=∴λ时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ成等差数列(3) n n a nn =-+-=-)1(2132112+⋅=∴n n n an n S n n +⋅++⋅+⋅+⋅=∴223222132令 n n n T 223222132⋅++⋅+⋅+⋅= 则13222)1(22212+⋅+-++⋅+⋅=n n n n n T13222222+⋅-++++=-∴n n n n T 11222n n n ++=--⋅1(1)22n n +=--22)1(1+-=∴+n n n T 22)1(1++-=+n n S n n。
山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案
y = 300 + 400 + 400 + 400 + 500 = 400 ， 5
( )( ) 5
所以 xi − x yi − y = (−3)(−100) + (−1) 0 + 0 0 +1 0 + 3100 = 600 ， i =1
21．（12 分）
设函数 f ( x) = x2 ，过点 B1 (4, 0) 作 x 轴的垂线交函数 f ( x) 图像于点 A1 ，以 A1 为切点作函数 f ( x) 图像的切
( ) 线交 x 轴于点 B2 ，再过 B2 作 x 轴的垂线交函数 f x 图像于点 A2 ，以此类推得点 An ， An+1 ，…，记点 A1 ，
f ( x1 ) = f ( x2 ) = f (1) = 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． n = 0
B． f (2) − 5
2
C． x1 − x2 的最小值为 4
D．当 x 1时 f ( x) + x − ln ( x +1) +1 0恒成立，则 3 m 2
2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ，且 f ( x) =1，则 lim f (1+ x) − f (1) = ______．
x→0
x
14．已知数列an 的前 n 项和 Sn = n2 ，则 an = ______．
15．已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，其导函数为 f ( x) ，若 f ( x) + f ( x) 0 ， f (3) = 2021，则不等式
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
（1）试用向量a,6,c表示向量反；
（2）若Q4 =OC = 3,O8=2,乙4OC=ABOC=4/4。6=60。, 求方•元的值.
18.（本小题满分12分）
已知圆C：£ +/ +奴=0过点（
（1）求圆C的标准方程及其圆心、半径；
（2）若直线与+y+J2=0分别与%轴轴交于M、N两点，点P为圆C上任意一点, 求△MVP面积的取值范围.
19.(本小题满分12分)
从①说=2反，②G是PB的中点，③。是aPBC的内心 三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PD_L底面ASC"且叩:1,AB=百,40=2,&F分别为PC,BD的中点.
(2)若用？=2,4。= 1,乙48后=30。,且直线CA与平面ABF所成角的正弦值为喈, 求平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值.
22.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，点4在直线/ ：y=7% + 4上,3 ),以线段转 为直径的 圆C(C为圆心)与直线/相交于另一个点D.ABYCD.
C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线/的距离为1，则"2的取值范围加＜3ED.若直线I上存在一点P,圆C上存在两点4方,使匕47格二90。，则血的取值范围是[-4,4]
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13.点（1,1）到直线x+y + \=0的距离为.
14 .一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两 部分的高都为十米,公共的底面是边长为1米的正方形,那么这 个漏斗的容积为 米3.
山东省潍坊市2021-2022学年高二上学期期中数学试题及答案
山东省潍坊市2021-2022学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．直线 10x y ++= 的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 2．已知直线l 不在平面α内， 则“//l α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在平面直角坐标系中，直线30y -+= 绕它与 x 轴的交点A 按顺时针方向旋转 30 所得的直线方程是（ ）A ．0x =B ．x =C ．0x =D ．0x +=4．若直线220++=ax y 与直线320x y --=垂直， 则=a （ ） A ．23-B ．6-C ．32D ．235．半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为（ ）A B C D 6．圆 C 上的点 ()1,2 关于直线 0x y += 的对称点仍在圆 C 上， 且该圆的半径为则圆 C 的方程为（ ）A ．225x y +=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．225x y += 或 22(1)(1)5x y -++=D ．225x y += 或 22(1)(1)5x y ++-=7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式， 宋代称为撮尖， 清代称攒尖． 依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角 攒尖等， 也有单檐和重檐之分， 多见于亭阁式建筑． 如图所示， 某园林建筑的屋顶为六角攒尖， 它的主要部分的轮廓可近似看 作一个正六棱锥， 若此正六棱锥的侧棱长为 2 ， 且与底面所成的 角为6π， 则此正六棱锥的体积为（ ）A B ．C ．D8．若直线 ()1y k x =+ 与曲线 1y = 仅有一个公共点， 则 k 的取值范围是（ ）A ．{}1,103⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．1(,1)3{}0⋃ C ．14,133⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．14,133⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭二、多选题9．直线y ax b =+ 与圆 22()()1x a y b -+-= 的大致图像可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(多选题)下列说法中，正确的结论有（ ）A ．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B ．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C ．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D ．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行11．已知直线 ()():10,1,2,3,4l mx y m A B +-+=， 则下列结论正确的是（ ） A ．存在实数 m ， 使得直线 l 与直线 AB 垂直B ．存在实数 m ， 使得直线 l 与直线 AB 平行C ．存在实数 m ， 使得点 A 到直线 l 的距离为 4D ．存在实数 m ， 使得以线段 AB 为直径的圆上的点到直线 l 的最大距离为12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体， 是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面 体， 它体现了数学的对称美． 如图， 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥， 共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 12+ 则关于该半正多面 体的下列说法中正确的是（ ）A ．AB =B ．该半正多面体的外接球的表面积为 6πC ．AB 与平面 BCD 所成的角为 4π D ．与 AB 所成的角是 3π的棱共有 16 条 三、填空题13．过 ()()1,2,2,1P Q - 两点的直线 l 的斜率为________．14．已知空间向量()()1,,2,1,3,m x n y =-=， 若//m n ， 则 ________.x y += 15．过点 ()()1,3,0,P Q a 的光线 经 y 轴反射后与圆 221x y +=相切， 则 a________.=四、双空题16．已知点 ()1,2,3P 是空间直角坐标系 O xyz - 内一点， 则点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的 坐标为 ________． 若点 P 在平面 xOy 上的射影为 M ， 则四面体 O PQM - 的体积为________．五、解答题17．已知 ABC 的三个顶点 ()()()4,0,8,10,0,A B C a ， 边 AC 的中线所在直线方程为 4320x y --=， (1)求实数 a ；(2)试判断点 C 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系， 并说明理由． 18．如图， 三棱柱 111ABC A B C - ，D 为 11B C 的中点， 1A E ED =， 设 1,,AA a AB b AC c ===(1)试用 ,,a b c 表示向量 AE ；(2)若 11160,90,2A AB A AC CAB A A AC AB ∠∠∠======，异面直线 AE 与 1BB 所成角的余弦值．19．如图，在五面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是矩形， //,2,90AB EF AB EF EAB ∠==， 平面 ABFE ⊥ 平面 ABCD ．(1)若点 G 是 AC 的中点，求证： //FG 平面 AED ； (2)若 1,2AE AD AB ===， 求点 D 到平面 AFC 的距离． 20．已知圆C 的圆心在直线21y x =-上， 且过点()()1,3,2,2A B ． (1)求圆C 的方程；(2)已知圆C 上存在点M ，使得MAB △的面积为12，求点M 的坐标．21．如图， 已知矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，M 为DC 的中点， 将ADM △沿AM 折起， 使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(1)求证：平面ADM ⊥平面BDM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，且()01DE tDB t =<<，当二面角 E AM D --的余求t 的值． 22．已知圆M 的圆心与点()1,4N -关于直线 10x y -+= 对称，且圆M 与y 轴相切于原点O ．(1)求圆M 的方程；(2)过原点O 的两条直线与圆M 分别交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率之积为 12-，,OD AB D ⊥为垂足，是否存在定点P ，使得DP 为定值，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．参考答案：1．B 【解析】 【分析】根据直线的斜率1k =-，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角． 【详解】解：直线10x y ++=的斜率1k =-，∴设直线的倾斜角为α，则tan 1α=-，结合[0α∈，)π，可得34πα= 故选：B ． 2．A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案. 【详解】若//l α，则l 上任意点到平面α的距离都相等，即存在两个点到平面α的距离相等，充分性成立，若直线l 上存在两个点到平面α的距离相等，则l 与平面α可相交，且面上、下各有一点到平面的距离相等，故必要性不成立，所以“//l α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的充分不必要条件. 故选：A 3．C 【解析】 【分析】由题意，先求出直线与x 轴的交点A 的坐标，再求出把它按顺时针方向旋转30所得的直线的斜率，用点斜式求出旋转后直线的方程． 【详解】30y -+=60︒，绕它与x 轴的交点(A 0)，把它按顺时针方向旋转30所得的直线的倾斜角为603030︒-︒=︒，故旋转后，直线的斜率为tan 30k =︒=，故旋转后，直线的方程为0y x -330y -+=，即0x ， 故选：C ． 4．D 【解析】 【分析】根据两直线垂直系数间的关系，计算即可得答案. 【详解】 因为两直线垂直，所以32(1)0a ⨯+⨯-=，解得23a =. 故选：D 5．C 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，结合半圆与圆锥展开图的关系进行求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，高为h ， 因为圆锥是由半径为 4 的半圆卷成， 所以4l，由2144822rl r r ππππ=⋅⋅⇒=⇒=，由勾股定理可得：h =，所以圆锥的体积为：2211233r h ππ⋅=⨯⨯⨯，故选：C 6．D 【解析】 【分析】先判断圆心在直线0x y +=上，设圆心的坐标为(,)a a -，由半径，列出方程，求出a 的值，即可得到答案． 【详解】解：因为圆C 上的点(1,2)关于直线0x y +=的对称点仍在圆C 上， 所以圆心在直线0x y +=上， 设圆心的坐标为(,)C a a -，解得0a =或1a =-， 所以圆心C 为(0,0)或(1,1)-，则圆C 的方程为225x y +=或22(1)(1)5x y ++-=． 故选：D ． 7．A 【解析】 【分析】由题意分别求得锥体的底面积和高度，然后计算其体积即可． 【详解】解：将原问题抽象为如图所示的正六棱锥P ABCDEF -，设底面的中心为O ，连结OP ，OC ，由题意可得2,6PC PCO π=∠=，则1,PO OC ==即六棱锥的高1h PO ==，六棱锥的底面是由6从而其体积21[6]13V =⨯⨯ 故选：A ．8．D 【解析】 【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数k 的取值范围． 【详解】解：曲线1y =22(1)20(1)x y x y +--=， 即22(1)(1)1(1)x y y -+-=，表示(1,1)M 为圆心，1r =为半径的圆的上半部分， 直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)-， 考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k =，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点(2,1)时，直线的斜率13k =，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M 到直线0kx y k -+=的距离为1，且0k >，1=，解得：43k =，(0k =舍去）． 据此可得，实数k 的取值范围是14[,1)33⎧⎫⎨⎬⎩⎭．故选：D ．9．AC 【解析】 【分析】根据每个选项的直线的斜截式方程可以判断出,a b 的正负性，再判断圆心的位置即可. 【详解】A ：直线不经过第四象限，所以0,0a b >>，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；B ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；C ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =， 得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <， 所以2b b <，因此本选项可能正确；D ：直线不经过第二象限，所以0,0a b ><，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =， 得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <， 所以2b b <，因此本选项不可能正确， 故选：AC 10．BD【解析】【分析】由等角定理可判断A 的真假；根据直线夹角的定义可判断B 的真假；举反例可判断C 的真假；由平行公理可判断D 的真假.【详解】对于选项A ：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A 错误；对于选项B ：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B 正确；对于选项C ：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，111A D C ∠与11A BC ∠满足111A D B A ⊥，111C D C B ⊥，但是1112A D C π∠=，113A BC π∠=，二者不相等也不互补.故选项C 错误；对于选项D ：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D 正确. 故选：BD.11．ABD【解析】【分析】先求出直线经过定点P 的坐标，再根据两直线平行、垂直的性质，直线和圆的位置关系，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】 解：直线:10l mx y m +-+=，(1,2)A ，(3,4)B ，∴直线l 的斜率为m -，直线AB 的斜率为1，故当1m =时，直线l 与直线AB 垂直；当1m =-时，直线l 与直线AB 平行，故AB 正确；直线:10l mx y m +-+=，即(1)10m x y -++=，令1010x y -=⎧⎨+=⎩，求得11x y =⎧⎨=-⎩，可得直线经过定点(1,1)P -，由于3AP =，故点A 到直线l 的最大距离为3，故C 错误；由于(1,2)A ，(3,4)B ，AB AB 为直径的圆的圆心(2,3)Q ，且PQ ，圆心Q 到直线l故以线段AB 为直径的圆上的点到直线l ，故D 正确，故选：ABD ．12．ACD【解析】【分析】补全该半正多面体得到一正方体，根据全面积计算可得正方体的棱长，进而计算得到AB 的长，判定A;利用几何体的对称性可以知道半正方体的外接球的球心为正方体的中心，由此计算求得外接球的半径，得到外接球的表面积,判定B ；根据线面角的定义在扩展的正方体中可以找到所求的线面角，进而求得线面角,判定C ；在扩展的正方体中，由正三角形，结合利用平行关系，可得与 AB 所成的角是3π 的棱的条数，判定D. 【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a ，由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.则由半正多面体的表面积为12+得228612⎫⎫+⨯=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2a =， ∵2a =，∵AB =A 正确；由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 的投影点为1O ，则有11OO =，11AO =，所以AO，面积为24π×=8π，故B 错误；因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成的角为π4ABE ∠=，故C 正确； 在与AB 相交的6条棱中，与AB 所成的角是3π的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是3π的棱共有16条，故D 正确；故选：ACD.13．13【解析】【分析】利用两点式求直线斜率即可.【详解】 由题设，121213l k -==--. 故答案为：13. 14．5-【解析】【分析】由//m n ，可得λ=m n ，然后坐标代入化简可求出,x y 的值，从而可求出结果【详解】因为//m n ，所以存在实数λ，使λ=m n ，因为()()1,,2,1,3,m x n y =-=，所以132x y λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，得32x y =-⎧⎨=-⎩， 所以5x y +=-，故答案为：5-15．53【解析】【分析】先找到()1,3P 关于y 轴对称的点，写出直线P Q '的方程，利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，可解得答案.【详解】由题意知()1,3P 关于y 轴对称的点为(1,3)P '- ,故直线P Q ' 的方程为31a y a x --=- ，即(3)0a x y a --+= ， 由题意可知直线P Q '与圆 221x y +=相切，1= ，解得53a = ， 故答案为：53. 16． （1，－2，－3） 2【解析】【分析】由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解【详解】()1,2,3P 是空间直角坐标系 O xyz - 内一点， 则点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的 坐标为（1，－2，－3），因为点 P 在平面 xOy 上的射影为 M ，所以(1,2,0)M ，所以四面体 O PQM - 的体积为112213232⨯⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1，－2，－3），217．(1)4a =(2)点C 在以AB 为直径的圆外，理由见解析【解析】【分析】（1）求出AC 的中点坐标代入中线方程即可得解；（2）求出||AB 及AB 的中点坐标，得到圆的方程，利用点与圆的位置关系判断即可.(1)由题意可得，AC 的中点坐标为D （2,2a ）． 所以423202a ⨯-⨯-=． 所以4a =；(2)由已知可得AB 的中点坐标为（6，5）得||AB ==所以以AB 为直径的圆的方程为()()226529x y -+-=，因为22(06)(45)3729-+-=>，．所以点C 在以AB 为直径的圆外． 18．(1)1()4AE a b c =++【解析】【分析】（1）由向量中线定理和三角形法则可得答案；（2）计算出,⋅⋅a b a c ，b c ⋅，代入()21114⎡⎤=+=++⎢⎥AE AA A E a b c ，1BB ，()114⎡⎤⋅=++⋅⎢⎥⎣⎦AE BB a b c a ， 由异面直线向量夹角公式可得答案. (1)因为D 为11B C 中点，所以()()111111122=+=+A D A B AC b c ， 由1A E ED =．所以()111124==+A E A D b c ， 所以()1114=+=++AE AA A E a b c ． (2) 由题意知22cos 602,22cos 602⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=a b a c ，22cos900b c ⋅=⨯⨯=， 所以()21112642⎡⎤=+=++=⎢⎥AE AA A E a b c 12=BB ，()1154⎡⎤⋅=++⋅=⎢⎥⎣⎦AE BB a b c a ， 所以1116c os 5,2⋅<==>⋅AE BB AE BB AE BB所以异面直线AE 与1BC 19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）通过作辅助线，在平面AED 内找到一条直线，证明其和FG 平行，根据线面平行的判定定理，即可证明//FG 平面 AED ；（2）根据等体积法，利用D AFC F ADC V V --=三棱锥三棱锥，从而可求得答案.(1)证明：取AD 中点H ，连接EH ，GH ，因为H ，G 分别为AD ，AC 的中点，所以//GH DC ，且12GH DC =． 因为四边形ABCD 是矩形，AB EF ∥，AB ＝2EF ，所以EF DC ∥，且12EF DC =， 所以GH ＝EF ，且GH EF ∥，所以四边形EFGH 是平行四边形．所以FG EH ∥，又FG ⊄平面AED ，EH ⊂平面AED ，所以FG //平面AED ；．(2)因为平面ABFE ∵平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，,AE AB AE ⊥⊂平面ABEF ，所以AE ∵平面ABCD ，．因为EF AB ∥，EF ⊄平面ABCD ，AB平面ABCD ，所以EF //平面ABCD ．所以F 到平面ACD 的距离为E 到平面ACD 的距离EA ．所以D AFC F ADC V V --=三棱锥三棱锥，设D 到平面AFC 的距离h ， 所以1111112133323AFC ADC S h S EA ∆∆⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=．因为AF AC FC ==，所以AF FC ⊥，．所以1122AFC S AF FC ∆=⋅==所以1AFC h S ∆===所以点D 到平面AFC ． 20．(1)22(2)(3)1x y -+-=(2)2M ⎛ ⎝⎭或2M ⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件，求得AB 的垂直平分线方程，与21y x =-联立，可求得圆心C ，根据两点间距离公式，可求得半径r ，代入方程，即可得答案.（2）先求得直线AB 的方程及AB 两点间距离，由题意可得M 到直线AB M 所在直线方程为0x y c ++=，根据两平行线间距离公式，可得c 值，与圆联立，即可得M 坐标.(1)由题意知AB 所在直线的斜率为23121AB k -==--， 则AB 的垂直平分线的斜率为1，又A （1，3），B （2，2）的中点为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以线段AB 的垂直平分线为5322y x -=-，即1y x =+， 联立211y x y x =-⎧⎨=+⎩，得圆心C （2，3）半径1r =，所以圆C 方程为22(2)(3)1x y -+-=；．(2)由题意得AB 所在直线方程为2(2)y x -=--，即40x y +-=．可得||AB =，因为三角形MAB 的面积为12，所以点M 到直线AB设点M 所在直线方程为0x y c ++=，所以d ==， 所以3c =-或－5，．当3c =-时，联立22(2)(3)130x y x y ⎧-+-=⎨+-=⎩，无解； 当5c =-时，联立22(2)(3)150x y x y ⎧-+-=⎨+-=⎩，得23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2M ⎛ ⎝⎭或2M ⎛+ ⎝⎭21．(1)证明见解析； (2)12t =. 【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面ADM ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取AM 中点O ，连接DO ，证明出DO ⊥平面ABCM ，过点O 在平面ABCM 内作AM 的垂线，交AB 于点F ，以O 为原点，OA 、OF 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于t 的等式，结合t 的取值范围可求得实数t 的值.(1)证明：因为在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，M 为DC 的中点，所以AM BM ==因为222AM BM AB +=，所以AM BM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM 平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM ，所以BM ⊥平面ADM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以，平面ADM ⊥平面BDM .(2)解：取AM 中点O ，连接DO ，AD DM =，O 为AM 的中点，则DO AM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，DO ⊂平面ADM ，所以，DO ⊥平面ABCM ， 过点O 在平面ABCM 内作AM 的垂线，交AB 于点F ， 以O 为原点，OA 、OF 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示空间直角坐标系，则)A、()B、()M、(D ， 易知平面ADM 的一个法向量为()0,1,0m =，因为DE tDB =且01t <<，所以(),D E tD B=-=，()2,ME MD DE MD tDB =+=+=，()AM =-． 设平面AME 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AMn ME ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即))00x z ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，取1y t =-，得()0,1,2n t t =-．所以(cos ,1t m n t m n m n ⋅<==⋅>-01t <<，解得12t =. 22．(1)()2239x y -+=(2)存在；P （2，0）【解析】【分析】（1）设M （a ，b ）．则由题意可得411141022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解方程组求出,a b ，从而可求出圆M 的方程，（2）设OA 所在直线方程为()0y kx k =≠，与圆M 的方程联立，可求出点A 的坐标，同理可求出点B 的坐标，则可表示出直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点C （4，0），由于OC 为定值，且∵ODC 为直角三角形，OC 为斜边，从而可得DP 为定值，进而可求出点P 的坐标(1)（1）设M （a ，b ）． 则411141022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩． 解得30a b =⎧⎨=⎩． 所以该圆的半径为3，．所以圆M 的方程为()2239x y -+=；(2)设OA 所在直线方程为()0y kx k =≠，联立()2239x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 得226611A A k x y k k =⋅=++， 同理把k 换做－12k ，可得222412,1414B B k k x y k k-==++ 所以AB 所在直线方程为222636(1121k k y x k k k -=-+-+）． 当0y =时，可得4x =，故直线AB 过定点C （4，0）．由于OC 为定值，且∵ODC 为直角三角形，OC 为斜边，所以OC 中点P 满足22OCDP ==为定值，由于O （0，0），C （4，0），故由中点坐标公式可得P （2，0）， 故存在点P （2，0），使得|DP |为定值．。
山东省寿光现代中学2021-2022高二数学10月月考试题(含解析).doc
山东省寿光现代中学2021-2022高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列命题中，正确的是( ) A. 若a b >，c d >，则a c b d ->- B. 若a b >，c d >，则ac bd > C. 若ac bc >，则a b > D. 若22a b c c <，则a b < 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．【详解】对于A ，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确； 对于B ，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确； 对于C ，c 的符号不定，故不正确； 对于D ，20c >，故正确． 故选D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2.在等差数列{}n a 中，已知3916a a +=，则该数列前11项和11S =（ ） A. 58 B. 88C. 143D. 176【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可知11139a a a a +=+，然后根据等差数列的求和公式求解，即可求出所求．【详解】解：因为等差数列{}n a ，所以1113916a a a a +=+=， 则1111111118882a a S +=⨯=⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于基础题．3.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A. 21 B. 42C. 63D. 84【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.4.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质及解不等式即可得出．【详解】解：因为,,134x y x y R +∈+=，有134x y =+≥，12≤，即1124xy ≤，解得：3xy ≤，（当且仅当,234x yy ==时取等号） 所以xy 的最大值为3. 故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及不等式的解法，属于基础题．5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式为( )A. 12n n a -=-B. 12n n a -=C. 23n a n =-D.122n n a -=-【答案】A 【解析】【分析】由21n n S a =+，可得2n ≥时，1n n n a S S -=-，化为：12.1n n a a n -==时，1121a a =+，解得1a ． 【详解】21n n S a =+，2n ∴≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=+-+，化为：12n n a a -=． 1n =时，1121a a =+，解得11a =-．∴数列{}n a 为等比数列，公比为2．12n n a -∴=-．故选A ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.6.等比数列{}n a 的前n 项和3nn S t =+，则3t a +的值为 ( )A. 1B. 1-C. 17D. 18【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得数列的前3项，可得t 的方程，解t 值可得答案．【详解】由题意可得113a S t ==+，2216a S S =-=，33218a S S =-=， 由等比数列可得()36318t =+⋅，解得1t =-，311817t a ∴+=-+=故选C ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题． 7.正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ） A. [9,)+∞ B. (9,)+∞C. [3,)+∞D. (3,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据均值不等值，把已知条件转化成关于ab 的不等式，解不等式即可【详解】解：因为,a b 是正数，所以33ab a b =++≥，即3ab ≥，当3a bab a b =⎧⎨=++⎩，即3a b ==时取等号，所以30ab -≥，即)130≥，1≤-3≥， 所以9ab ≥，即ab 的取值范围是[9,)+∞. 故选：A.【点睛】本题考查均值不等式及解一元二次不等式，要注意均值不等式的条件（一正、二定、三相等）.8.已知x≥52，则f （x ）＝24524x x x -+-有A. 最小值1B. 最大值54C. 最小值54D. 最大值1【答案】A 【解析】试题分析：()()()2221451111212422222x x x f x x x x x -+-+⎡⎤==⨯=-+≥⨯=⎢⎥---⎣⎦，当且仅当122x x -=-即3x =时等号成立考点：均值不等式求最值9.两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ） A.49B.378C.7914D.14924【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈10.下列结论正确的是（ ） A. 当0x >且1x ≠时,1lg 2lg x x+≥ B. 当0x >时2≥ C. 当2x ≥时,1x x+最小值是2D. 当02x <≤时,1x x-无最大值 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出． 【详解】解：A ．当1＞x ＞0时，lgx ＜0，lgx 1lgx+≥2不成立；B ．当0x >时2≥，正确； C ．当x ≥2时，x 1x+＞2，不成立； D ．当0＜x ≤2时，函数y ＝x 1x -单调递增，当x ＝2时，有最大值21322-=，不正确． 故选B ．考点：基本不等式11.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -【答案】C 【解析】 试题分析：因为{}n a 为等比数列，所以21212225252nn n n a a a a a a ---⋅=⋅==⋅=,()()22222212322121212log log log log log 2log 2n nn n n n a a a a a n --∴+++====.故C 正确.考点：1等比比数列的性质;2对数的运算法则.12.已知正实数,a b 满足1a b +=，则222124a b a b+++的最小值为（ ） A. 10 B. 11C. 13D. 21【答案】B 【解析】 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：正实数,a b 满足1a b +=，则2221241422a b a b a b a b+++=+++，()142a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭4777411b a a b =++≥+=+=， 即：22212411a b a b+++≥，当且仅当4b aa b =且1a b +=，即21,33b a ==时取等号， 所以222124a b a b+++的最小值为11. 故选：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13.不等式112x x ->+的解集是 ． 【答案】{}|2x x <- 【解析】1131100202222x x x x x x x --->⇒->⇒>∴+<⇒<-+++．14.已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于______．【答案】21n n + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和.【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.15.等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =- ，则22212n a a a +++= __________．【答案】1(41)3n- 【解析】数列{}n a 的首项是1，公比2，所以数列{}2n a 的首项是1，公比是4，所以数列{}2na 的前n 项和是()11441143nnnS ⨯--==- . 16.已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________． 【答案】9m ≤ 【解析】 【分析】由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得411x y +=，将代数式x +y 与代数式41x y+相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围． 【详解】由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，411x y+=， 由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y=，即当x ＝2y=6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9． 因此，m ≤9． 故答案为m ≤9．【点睛】本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17.等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =. （1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和公式n S . （2）若数列{}n a 满足()*22log nn b a n N =∈，求出数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =，122n n S +=-（2）(1)n T n n =+【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出q ，代入等比数列前n 项和公式，即可得出答案；（2）求出{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，代入等差数列的前n 项和公式，直接计算即可．【详解】解：（1）数列{}n a 的公比为q ，已知12a =，34162a q ==，2q，所以112n nn a a q -==，()12122212n n n S +-==--；（2）222log 2log 22nn n b a n ===，则()12122n n b b n n +-=+-=，故{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，故数列{}n b 的前n 项和(22)(1)2n n n T n n +==+. 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式，以及等比数列的通项公式，属于对公式的考查．18.已知不等式2(1)460a x x 的解集是{}31x x -<<．（1）求a 的值；（2）解不等式()()0x a x b -+≤.【答案】（1）3（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，利用根与系数的关系即可求得a 的值； （2）将a 的值代入分类讨论即可.【详解】（1）由题意知，10a -<，且3-和1是方程2(1)460a xx 的两根，10421631a a a⎧⎪-<⎪⎪∴=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩，解得3a =.（2）由（1）知3a =，原不等式变为()()30x x b -+≤， 若3b -<，即3b >-时，不等式的解为3b x -≤≤； 若3b -=，即=3b -时，不等式的解为3x =； 若3b ->，即3b <-时，不等式的解为3x b ≤≤-； 综上：当3b >-时，不等式的解集为[],3b -； 当=3b -时，不等式的解集为{}3； 当3b <-时，不等式的解集为[]3,b -.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和根与系数的关系，考查分类讨论思想，属于基础题.19.已知数列{a n }为等比数列，a 1=2，公比q ＞0，且a 2，6，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =log 2a n ，n 122334n n 11111T b b b b b b b b +=+++⋯+，求使n 6T 7＜的n 的值．【答案】（1）nn a 2=； （2）n 的取值为1，2，3，4，5.【解析】 【分析】（1）由a 2，6，a 3成等差数列，知12=a 2+a 3，由{a n }为等比数列，且a 1=2，故12=2q+2q 2，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由b n ＝log 22n ＝n ，知b n b n+1＝()111n n 1n n 1=-++由此利用裂项求和法能够求出由n 6T 7＜的n 的取值．【详解】（1）由a 2，6，a 3成等差数列，得12=a 2+a 3又{a n }为等比数列，且a 1=2，故12=2q+2q 2,解得q=2，或q=-3，又q ＞0,∴q=2，∴n 1n n a 222-=⋅=,（2）∵n n 2b log 2n ==， ∴()n n 1111b b n n 1n n 1+==-++, ∴n 111111T 11223n n 1n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故由n 6T 7＜，得n ＜6，又n∈N *∴n 的取值为1，2，3，4，5．【点睛】本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 20.已知不等式2–10mx mx -<．（1）若对x R ∀∈不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对]13[x ∀∈，不等式恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(–4]0，（2）1(,)6-∞ 【解析】【分析】（1）讨论当0m =时不是二次函数，成立；当0m ≠时为二次函数要使2–10mx mx -<在R上恒成立，则开口只能向下，∆<0代入计算即可。
山东省寿光市现代中学高二(上)12月月考数学试卷(理科)
2015-2016学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆的焦距为2，则m的值为（）A．5 B．3 C．3或5 D．62．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣83．双曲线的焦距为（）A．3B．4C．3D．44．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．285．椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．±B．±C．±D．±6．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题7．焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．8．过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1（x1、y1），P2（x2、y2）两点，若y1+y2=6，则|P1P2|的值为（）A．5 B．6 C．8 D．109．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x B．y2=9x C．y2=x D．y2=x二、填空题（2014秋雅安期末）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”．在原命题以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个．12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为．13．命题“∀x∈，﹣1＜x＜3”的否定是．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P（3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是．15．对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．17．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点p（，），求此椭圆标准方程；（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程．18．已知抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，它的弦PQ所在直线的方程为y=2x﹣1，弦长等于，求抛物线的C方程．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？20．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈，2﹣2，3﹣2，3﹣2，3﹣2，3﹣2，32，4，2，2∪1，+∞）【点评】本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．21．在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．【解答】解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．【点评】考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．。
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山东省潍坊市寿光市现代中学2020-2021学年高二
（上）期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，
，则直线与平面的位置关系是（）
A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．直线在平面内或直线与平面平行
2. 方程表示圆的充要条件是（）
A．B．C．
D．
3. 设直线的倾斜角为，且，则满足（）A．B．
C．D．
4. 若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（）
A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定
5. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，
（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6. 已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（）
A．B．
C．D．
7. 已知圆截直线所得线段的长度是，
则圆与圆的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
8. 将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（）
A．B．C．D．
二、多选题
9. 下列命题正确的是（）
A．若直线与直线是异面直线，则直线与直线一定异面
B．方程表示圆的一般方程
C．若空间向量，，不共面，则，，不共面
D．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
10. 已知直线l：，其中，下列说法正确的是
（）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11. 下列说法正确的有（）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．直线的斜率越大，倾斜角越大
12. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则
（）
A．直线平面B．
D．异面直线与所成的角为
C．三棱锥的体积为
三、填空题
13. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则
xy=___________.
14. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆
的标准方程为_________
15. 已知方程所表示的圆有最大的面积，则直线
的倾斜角_______________．
16. 数学家欧拉在1740年提出定理：三角形外心、垂心、重心依次位于同一直线上，且重心到外心距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形
的欧拉线，的顶点，，，的欧拉线方程
为________.
四、解答题
17. 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的
直线方程.
（2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.
18. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高
所在直线的方程为
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程.
19. 已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上. （1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
20. 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点.
（1）求圆的方程；
（2）试探求圆上是否存在异于原点的点，使到定点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，
，.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
22. 如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，
为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.。