中考数学二次函数与相似三角形
中考二次函数压轴题专题三
二次函数与相似三角形
突破口：寻找比例关系以及特殊角
1 .综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在右侧），与轴交于点，点坐标为，连接，点是直线上方抛物线上一动点，且横坐标为．过点分别作直线的垂线段，垂足分别为和，连接．
（1）求抛物线及直线的函数关系式；
（2）求出四边形是平行四边形时的值；
（3）请直接写出与相似时的值．
2 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为点C的坐标为，
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作轴于点G，交于点H，当线段时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段绕点G顺时针旋转一个角，在旋转过程中，设线段与抛物线交于点N，在射线上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与相似?如果存在，请求出点P的坐标（直接写出结果）；如果不存在，请说明理由．
3 .已知二次函数（为常数，且）的顶点为，图象与轴交点为，，且点在点左侧．
（1）求，两点的坐标．
（2）当时，求的值．
（3）在（2）的情况下，将轴下方的图象沿x轴向上翻折，与轴交于点，连接，记上方（含点，）的抛物线为．
①设点为上一动点，当取最大值时，求点的坐标．
②在上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
4 .如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5 .如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6 .如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.
（1）求点、、的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；
②直接回答这样的点共有几个？
8 .如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．
（1）求，的值；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
9 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
10 .如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11 .如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12 .在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
13 .如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
14 .如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
中考二次函数压轴题题型—构造相似三角形
中考二次函数压轴题题型—构造相似三角形
1、如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、 如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
4、如图，已知抛物线y=x2 - (b+1)x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
二次函数与相似三角形经典教学案
二次函数与相似三角形
一、二次函数的系数问题
【例1】 ⑴ 二次函数2yaxbxc的图象如下左图所示，判断a，b，c，24bac，2ab，abc，
abc的符号.
⑵（福州）如下右图所示，二次函数2(0)yaxbxca的图象经过点12，，且与x轴交点的横坐标分别为1x，2x，其中121x，201x，下列结论：
①420abc；②20ab；③1b；④284baac．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【巩固】 设二次函数20yaxbxca图像如图所示，试判断24abcabcabcbac、、、、、的符号．
【例2】 （甘肃）如图为二次函数2yaxbxc的图象，给出下列说法：
①0ab；②方程20axbxc的其中一根为x=-1；③a+b+c=0； ④当1x时，y随x值的增大而减小；⑤当0y时，13x．
其中，正确的说法有 _______．（请写出所有正确说法的序号）
【巩固】（湖北黄石）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：
①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【例3】 已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，有下列5个结论：① 0abc；②
bac；③ 420abc；④ 23cb；⑤ ()abmamb，（1m的实数）其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 yxO1-121-1-2yxO_ O _x _y
_ - 1 _1
_1 _2
_1 _ - 1 _ - 2 _y
初中数学二次函数,三角函数,相似的总结
二次函数的有关知识：
1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
2axy
当0a时
开口向上
当0a时
开口向下 0x（y轴） （0,0）
kaxy2 0x（y轴） (0, k)
2hxay hx (h,0)
khxay2 hx (h,k)
cbxaxy2 abx2 (abacab4422，)
4.求抛物线的顶点、对称轴的方法
5. （1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、xyxy（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：122xxx
9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线
abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.
中考专题：二次函数函数的存在性问题(相似三角形)
1 二次函数函数的存在性问题（相似三角形）
1、）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
2、）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，AC、两点的坐标分别为(60)A，，(03)C，，
直线34yx与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标； （2）若抛物线294yaxx经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以POM、、为顶点的三角形与OCD△相似，求符合条件的点P的坐标．
y
O
3 C D B 6 A
x
34yx
2
ABxyOQHPC3、）如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，
且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝ _，c＝_ _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；
若不存在，说明理由．
4、）已知，如图1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、．
（1）求点ABF、、的坐标； （2）求证：CFDF；
（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO⊥交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ△与CDF△相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
专题06 二次函数中三角形存在性问题(原卷版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
1挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编
专题06二次函数中三角形存在性问题
一．相似三角形的存在性
1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y
轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，
x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P
的坐标．
2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交
y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求
出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，
DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，
使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x
2+c与y
轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线
顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与
y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并
说明理由．
（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），
请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC
相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC
最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
3二．直角三角形的存在性
最新九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)
试卷第1页，共10页 2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）
1．已知，二次函数23yaxbx的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为1,0，且OBOC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当04x时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使PCC△与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，抛物线234yxx与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接,ACBC．
(1)求ABC的面积；
(2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作PDAC∥交直线BC于点D，过点P作直线PEx∥轴交直线BC于点E，求PDPE的最大值及此时P的坐标； 试卷第2页，共10页 (3)在（2）的条件下，将原抛物线234yxx沿射线AC方向平移217个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
3．已知抛物线2yxbxc与x轴交于1030AB，、，两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足PBPC，求点P的横坐标；
(3)连接CDBC，，点E为线段BC上一点，过点E作EFCD交CD于点F，若12DFCF，求点E的坐标．
4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线24yaxbx与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线4yx经过B、C两点，4OBOA． 试卷第3页，共10页 (1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作PDx轴交BC于点D，垂足为N，连接PC交x轴于点E，设点P的横坐标为t，PCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
二次函数与相似三角形之间的综合题.doc
二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计
田敏
（一）二次函数综合——二次函数与相似三角形存在问题
适用学科 数学 适用年级 初三
适用区域 人教版 课时时长（分钟） 40
知识点 .二次函数综合与三角形相似的综合
教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2．灵活运用数形结合思想
教学重点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题
教学难点 灵活运用技巧及方法解决综合问题
教材分析：
1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非
常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常
重要的数学模型。也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了 10% 。所以在
初中数学中占着重要的地位。
学情分析：
2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型。 应用信息技术解决
重点难点的地方： 本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题。 重在
思考线路。
3、学习二次函数， 对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下
的作用。同时也是学习物理等其他学科的重要工具。教学过程
一、复习预习
1.二次函数的基础知识
2.勾股定理
3.相似三角形的性质
二、知识梳理
考点 1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果 y=ax 2+bx+c （a，b，c 是常数且 a≠0），那么 y 叫做 x 的二次
函数，它是关于自变量的二次式， 二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，
这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 当 b=c=0 时，二次函数 y=ax 2 是
最简单的二次函数．
2.二次函数 y=ax 2+bx+c （a，b，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：
一般式： y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；
顶点式： y=a （x－h）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；
交点式：y=a （x－x1）（x－x2），通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标 x1，x2
数学中考压轴题分类1——二次函数与相似三角形(供参考)
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——二次函数与相似三角形
1．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F， 试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．
2、如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，52）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.
3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．
(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为
顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说
明理由．
4. 如图，已知抛物线与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.
⑴点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；
⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
二次函数综合题--二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数与三角形全等、相似（位似）有关问题（专题训练）
1.如图1，已知二次函数
20yaxbxca
的图象与x轴交于点
1,0A
、
2,0B
，与y
轴交于点C，且tan2OAC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作CDx∥轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一
个动点，连接PB、PC，若
PBCBCDSS
△△，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设
点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQ
OQ的值，并求PQ
OQ的最大值．
2.如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，
C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线2yxbxc经过A，C两点，与x轴
交于另一个点D．
(1)①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所
示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式
表示n，并求出n的最大值．
3.如图，已知抛物线2yxx2交x
轴于
A、
B两点，将该抛物线位于x
轴下方的部分沿x
轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y
轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线yxb
与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)
P为x
轴正半轴上一动点，过点
P作PMy∥
轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是
否存在这样的点
P，使CMN△与OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点
P的坐标；
若不存在，请说明理由．
4.已知抛物线228yxx
与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于
点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C
与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC△
中考数学专题复习：二次函数压轴题(相似三角形问题)
第1页共10页中考数学专题复习：二次函数压轴题（相似三角形问题）
一、解答题（共16小题）
1．如图抛物线y＝ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且
AB＝3，与y轴交于C，若抛物线过点E（﹣1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的
坐标，不存在说明理由；
（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C
旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．
2．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛
物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC
相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y21
2xbx+c与x轴交于A（﹣2，0）、
B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P第2页共10页为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PQ
OQ的值最大时，求点P的坐标和PQ
OQ的最大值；
（3）把抛物线y21
2xbx+c沿射线AC方向平移
5个单位得新抛物线y'，M
是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的
四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
4．如图，抛物线21
2yxmxn与直线1
3
2yx交于,AB
两点，交x
轴与,DC
两
点，连接,,ACBC
已知
0,3,3,0AC
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ABC是直角三角形；
（3）
P为y
轴右侧抛物线上一动点，连接
PA，过点P作PQPA
交y
轴于点Q
，
问：是否存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ACB△