2016中考复习课件(二次函数与相似三角形)
（第 26 题图）
1 2 5 m m 2 ． 2 2
1) ．················································· （6 分） ，m2 4 （舍去） 解得 m1 2 ， P(2，
②当
AM OC 1 1 5 时， △ APM ∽△CAO ，即 2(4 m) m 2 m 2 ． PM OA 2 2 2
于点B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH ＋EH 最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是 否存在点F，使得以点B、C、 F为顶点的三角形与△BCE相 似？若存在，求m的值；若不 存在，请说明理由．
二次函数与相似三角形问题
• 例1 2013年上海市中考第24题
• 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y ＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO ＝BO＝2，∠AOB＝120°． • （1）求这条抛物线的表达式； • （2）连结OM，求∠AOM的大小； • （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点 C的坐标．
2) ．···················································· （8 分） 类似地可求出当 m 4 时， P(5，
解得 m1 4 ， m2 5 （均不合题意，舍去）
1) ． 当 1 m 4 时， P(2，
14) ． 当 m 1 时， P( 3， 1) 或 (5， 2) 或 ( 3， 14) ． 综上所述，符合条件的点 P 为 (2，
CE BF
m m2 4
图2
(m 4) m2 4 m 4 ．所以 ． BF m BF
2 由 BC 2 CE BF ，得 (m 2)2 m2 4 (m 4) m 4 ．
m
整理，得 0＝16．此方程无解．
二次函数与相似三角形问题
例2
2012年黄冈市中考模拟第25题
CB BF
△ BCE∽△FBC． 设 点 F 的 坐 标 为 ( x, 1 ( x 2)( x m)) ， 由 FF ' EO ， 得
m
BF '
CO
1 ( x 2)( x m) 2 m ． x2 m
解得 x＝m＋2．所以 F′(m＋2, 0)． 由 CO BF ' ，得
打开动感体验——
二次函数与相似三角形问题
例2
2012年黄冈市中考模拟第25题
m m
解： （1）将 M(2, 2)代入 y 1 ( x 2)( x m) ，得 2 1 4(2 m) ． 解得 m＝4． （2）当 m＝4 时， y 1 ( x 2)( x 4) 1 x2 1 x 2 ．
4 4 2
所以 C(4, 0)，E(0, 2)． 所以 S△ BCE＝ 1 BC OE 1 6 2 6 ．
2 2
（3）如图 1，抛物线的对称轴是直线 x＝1，当 H 落在 线段 EC 上时，BH＋EH 最小． 设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HP EO ．
CP CO
图1
图3
小结
• 找等角（造等角）——列比例（两边之比 不变）——变比例（分类讨论）。
3
（2）存在．······················································································ （4 分） 如图，设 P 点的横坐标为 m ， 则 P 点的纵坐标为 当 1 m 4 时，
图2
3 3 2 2 3 • （2）由y = 3 x ( x - 2) = 3 x - 3 x
• 得抛物线的顶点M的坐标为(1, 3 ) ．所以 3 3 • tan∠BOM＝ 3 • 所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝ 150°．
考点伸展
• 在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似， 求点C的坐标
如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形， ∠ABO＝30°， 因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC， 根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
图5
二次函数与相似三角形问题
例2
2012年黄冈市中考模拟第25题
1 ( x + 2)( x - m) (m＞0)与 x 轴交 m
如图，知抛物线的方程C1：y = -
1 2 5 m m2 ， 2 2
y B O 1
2
1 5 AM 4 m ， PM m 2 m 2 ． 2 2 又 COA PMA 90° ， AM AO 2 ①当 时， PM OC 1 △ APM ∽△ ACO ，
即 4 m 2
D P A M E C 4 x
2
因此 HP 2 ．解得 HP 3 ．所以点 H 的坐标为 (1, 3 ) ．
3 4
2
二次函数与相似三角形问题
例2
2012年黄冈市中考模拟第25题
（4）①如图 2，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′． 由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当 CE BC ，即 BC 2 CE BF 时，
②如图 3，作∠CBF＝45° 交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴 于 F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以 BE BC ，即 BC 2 BE BF 时，
BC BF
△ BCE∽△BFC． 在 Rt△ BFF′中，由 FF′＝BF′，得 1 ( x 2)( x m) x 2 ．
打开动感体验——
图1
• 思路点拨 • 1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求 ∠BOM的大小． • 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点 B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． • 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨 论△ABC与△AOM相似．
• • • • • •
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OH＝ ．所以 A （-1, 3） 3 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 3 3 设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，） 可得 a=． 3 所以抛物线的表达式为y = 3 x x - 2 = 3 x 2 - 2 3 x ) ( 3 3 3
m
解得 x＝2m． 所以 F′ (2m,0) ．所以 BF′＝2m＋2， BF 2(2m 2) ． 由 BC 2 BE BF ，得 (m 2)2 2 2 2(2m 2) ． 解得 m 2 2 2 ．因为 m>0，所以 m= 2 2 2 . 综合①、②，符合题意的 m 为 2 2 2 ．
中考专题复习相似三角形课件浙教版
中考专题复习相似三角形课件浙教版一、教学内容本节课我们将学习浙教版初中数学九年级下册第十章“几何图形的相似”中的“相似三角形”。
具体内容包括：相似三角形的判定、性质、应用等方面。
本章共分为三节，我们将重点学习第一节“相似三角形的判定”与第二节“相似三角形的性质”。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的判定方法及其性质。
2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高几何解题能力。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定与性质的理解和应用。
教学重点：掌握相似三角形的判定方法和性质，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的相似图形（如建筑物的立面图、家具设计图等），引出相似三角形的概念。
2. 知识讲解：（1）相似三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS。
（2）相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例、对应面积成比例。
3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，引导学生运用相似三角形的判定与性质解决问题。
4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的难点，组织学生进行小组讨论，共同解决问题。
7. 课后作业布置：布置相关作业，要求学生在课后巩固所学知识。
六、板书设计1. 相似三角形的判定：（1）SSS：三组对应边成比例（2）SAS：两组对应边成比例且夹角相等（3）ASA：两组对应角相等且夹边成比例（4）AAS：两组对应角相等且一组对应边成比例2. 相似三角形的性质：（1）对应角相等（2）对应边成比例（3）对应面积成比例七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，求证：$\angleA=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。
二次函数与相似三角形
分析： （ 1） 第一步是基础知识，可由学生自己解决，只对个别不会的学生加以
辅导，可以由 B 号学生帮助解决 （ 2） 第二步要判断两个直角三角形相似， 可以证明夹着直角的四条边成
0）、B（0，3）两点，其顶点为 D. (1) 求该抛物线的解析式； (2) △ AOB 与△ BDE 是否相似？如果相似， 请予以证明； 如果不相似， 请 说明理由 .
分析： （1） 加强准确度练习 （2）此题与例题十分相似，尽量让学生自己解决，只对个别不会的
学生加以辅导，可以由 A 号学生帮助解决
六、小结
类似本节这类综合应用题，我们应注意什么问题？要怎样解决问题？
（ 1.认真读题，写出所有可得的基本信息； 2.再次确认细节问题，比如点
的位置，字母的取值范围等； 3.划分成几个小的基本问题逐步解决 ;4.仔细
观察结论，想一想有无其它方法或更为简单的方法，为以后解题总结经
验。）
已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为 (4,-1)，与 y 轴交于点 C(0,3)，O 是原
点.
（1）求这条抛物线的解析式；
作业布置
（2）设此抛物线与 x 轴的交点为 A ，B（ A 在 B 的左边），问在 y 轴上是否
存在点 P，使以 O，B，P 为顶点的三角形与△ AOC 相似？若存在，请求出点 P
的坐标：若不存在，请说明理由 .
一般形式
例1
与坐标轴交点
顶点坐标 板书设计
相似判定方法
中考数学二次函数复习类型六相似三角形问题课件
62 ∴OM＝23， ∴点 M 的坐标为(0，23)或(0，－23)；
M1 M2 例题图①
类型六 类似三角形问题 (2)点 N 是 y 轴上一点，若△AON∽△CAN，求点 N 的坐标；
例题图②
【思维教练】要证△AON∽△CAN，已知∠ANO＝∠CNA，∴点 N 在 y 轴负半轴，此时∠NAO＝∠ACO，根据相似三角形的对应边成比例即可 求解；
相似，则分∠QCG＝∠ACO 和∠QCG＝∠CAO 两种情况讨论． (5)存在．如解图，过点 Q 作 QH⊥x 轴交 BC 于点 H，
则△QGH 是等腰直角三角形，
由 B(6，0)，C(0，6)易知直线 BC 的解析式为 y＝－x＋6，
Q
设 Q(n，－1n2＋2n＋6)，则 H(n，－n＋6)(0＜n＜6)， 2
例题图③
类型六 类似三角形问题
(3)存在，
由点 A、B、C 的坐标知，AB＝8，BC＝6 2.
∵∠CBA＝∠DCB，
要使以 B，C，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，
∴分∠BAC＝∠CDB 和∠BAC＝∠CBD 两种情况：
①当∠BAC＝∠CDB
时， A B ＝B C，即 CD CB
CD＝AB＝8，
第 1 题图
类型六 类似三角形问题
(3)存在，符合条件的点 P 的坐标为(68，34)或(6＋2 41，3＋ 41)．
99
5
5
理由：在△ABC 中，AB＝5，AC＝ 5，BC＝2 5，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC 为直角三角形．
∵△PQB∽△CAB，
∴PPQB ＝CCAB＝12.
第 1 题图
P E
第2题图
二次函数与相似三角形的结合PPT课件
33
B
N
5
解得：m1= ，m2=0(舍)
P
A2Leabharlann 0M7•
8
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，
求点M的坐方标；法二、
B
N
P
A
0
M
5
解得：m1= ，m2=0(舍)
2
9
即综上所述：M(5 ,0) 2
11
或M( 8 ,0 )
10
二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：
热点、二次函数与相似三角形的 存在性问题
主讲老师：徐老师
1
中考展望与热点透视
二次函数是每年中考的重点知识，同时也是每年 必考的主要内容（分值11-16分），主要与三角形 四边形、圆以及相似三角形的性质与判定结合， 主要考查数形结合综合分析的解题能力；但是 对于压轴综合题每一类题型都是有一定解题 技巧的，接下来我们一起学习二次函数与相似 三角形的存在性问题；
提问：二次函数解析式 三种表达式
3
分类讨论 (2)M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线 分别交于点P，N. ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似， 求点M的坐标；
4
方法一、
N
B P A
0
M
解（2）：当∠NBP=90°时
由题意可知： tan∠NBC=tan∠BAO=
由．
13
14
•
15
y
OA
B
x
C
12
课后作业
1. 如图，已知抛物线y=x 2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过 点A作AP∥CB交抛物线于点P．
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题》PPT典型例 题讲解
本课结束
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似（位似） 有关的问题》PPT典型例 题讲解
1、如图 1，已知二次函数 y ax2 bx ca 0 的图像与 x 轴交于点 A1,0 、 B2,0 ，与
y 轴交于点 C，且 tanOAC 2 ．
(1)求二次函数的解析式； (2)如图 2，过点 C 作 CD∥x 轴交二次函数图像于点 D，P 是二次函数图像上异于点 D 的一
示出△PBC 的面积，根据 S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当 P 在第一象限，同
样的方法求得结果；
（3）作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，根据 P（t， t2 t 2 ），M（t， t 2 ），表示出 PM 的长，
根据 PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 PQ PM ，从而得出 PQ 的函数表达式，进一
2
∵抛物线的对称轴为 y= 1 ，CD∥x 轴，C（0，-2）， 2
∴点 D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD= 1 CD·OC， 2
∴ 1 PE·OC= 1 CD·OC，
2
2
∴a2-2a=1，
解得 a1=1+ 2 （舍去），a2=1- 2 ；
当 x=1- 2 时，y= a2 a 2 =a-1=- 2 ，
当 a=1+ 2 时，y= a2 a 2 = 2 ， ∴P（1+ 2 ， 2 ），
综上所述，P 点坐标为（1+ 2，2 ）或（1- 2， 2 ）；
(3) 如图，作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，
由题意可知，P（t， t2 t 2 ），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（ t2 t 2 ）=- t2 2t ，
二次函数和相似三角形复习课
教案学生姓名年级九年级授课时段课题二次函数和相似三角形复习课重点难点二次函数和反比例函数的概念、图像和性质；相似三角形的判定与性质利用二次函数和反比例函数解决实际问题；相似三角形的证明与计算教学活动设计体系目的：复习九年级上册第22章和第23章的相关内容，并进行一些习题的练习，加强学生的实际应用能力。
课程引入：首先温习课本基础知识，然后做习题测试学生对知识的掌握程度，最后针对学生对内容的掌握程度进行例题分析及习题讲解。
知识框架：第22章二次函数与反比例函数22.1 二次函数了解基本概念22.2 二次函数2y ax=的图像和性质会用描点法二次函数2y ax=的图像且理解其性质22.3 二次函数2y ax bx c=++的图像和性质会用描点法二次函数2y ax=的图像且理解其性质22.4 二次函数与一元一次方程研究二次函数与一元二次方程的关系22.5 二次函数的应用利用二次函数解决实际问题22.6 反比例函数学习反比例函数的图像、性质并加以应用第23章相似性23.1比例线段1.基本概念（了解）相似多边形、相似比（相似系数）、比例线段、黄金分割点。
23.2相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
（特殊情况）：对于直角三角形若一个直角三角形斜边和一条直角边与另一直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
23.3 相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
定理3：三角形面积的比等于相似比的平方。
23.4 相似多边形的性质一般的，两个相似多边形可以被分成个数相同且对应相似的三角形。
定理1：相似多边形周长的比等于相似比。
定理2：相似多边形面积的彼等于相似比的平方。
23.5位似图进门考1.如图，已知△ABC中，DE//BC，分别交BA、CA的延长线于点D、E，F是BC的中点，FA的延长线交DE于点G。
中考数学总复习课件：相似三角形(共27张PPT)
•
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
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中考数学二次函数与相似三角形有关的问题知识解读
二次函数与相似三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。
【解题思路】关于函数与相似三角形的问题一般三个解决途径：(1)求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；(2)利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小；(3)若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解．【典例分析】【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝或﹣，故点Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）或（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．【变式1-1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）①当△AOC∽△DP A时，∵PD⊥x轴，∠DP A＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D 点坐标为（，1）．【变式1-2】（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．【典例2】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．【变式2-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），∴CD＝，CF＝，DF＝2，∵E（﹣2，5），A（3，0），∴AE＝5，设Q（x，y），①当△CDF∽△QAE时，＝＝，∴＝＝，∴AQ＝5，EQ＝5，∴，解得或（舍去），∴Q（﹣7，5）；②当△CDF∽△AQE时，＝＝，∴＝＝，∴AQ＝5，QE＝10，∴，解得（舍去）或，∴Q（﹣12，5）；③当△CDF∽△EQA时，＝＝，∴＝＝，∴EQ＝5，AQ＝10，∴，解得或（舍去），∴Q（3，﹣10）；④当△CDF∽△QEA时，＝＝，∴＝＝，∴EQ＝5，AQ＝5，∴，解得或（舍去），∴Q（3，﹣5）；综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．【变式2-2】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ （点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【变式2-3】（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，∵EN∥y轴，∴△BEN∽△BCO，∴，∴，∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PEH＝45°，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴点P坐标为（﹣2，3），②若△EPQ∽△OCB，如图所示，设P（x，2），代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，（舍），∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）。
九年级数学相似三角形复习优秀课件
C
A
· OP
B
又 ∵CD⊥AB
D
∴∠CPB＝90°
∠PCB＋∠B＝90° 又∠A＝∠CPB ∴△APC∽△CPB
AP PC PC PB
PC 2 AP PB
例3.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一 竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆 顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处在H处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E在同一直线上，那么建筑物的高是________米．
A
· OP
B
D
积化比例 AP PC PC PB
小技巧
复杂图形中，可利用比例式 横行或竖行的3个字母寻找、 构造相似三角形
构造相似三角形 △APC∽△CPB
例2. 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，
求证:PC2＝PA·PB
证明：连结AC，BC ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∠A + ∠B = 90°
1.掌握相似三角形的概念，性质和判定 三角形相似的条件；
2.能利用相似比、相似的性质进行计算， 利用相似解决实际问题。
如果两个三角形的各角对应 相等 ，各边对应成比例， 那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角 相等 ，对应边成比例。 （2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 中线的比都等于 相似比。 （3）相似三角形的周长之比等于 相似比，面积之比
A．4∶21 B．4∶9 C．9∶16 D．2∶3
4．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，
不能判定△ABP∽△ACB的是( B )
2016中考复习课件(二次函数与相似三角形)ppt课件
打开动感体验——
图1
1
• 思路点拨 • 1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求
∠BOM的大小． • 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B
的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． • 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨
论△ABC与△AOM相似．
2
• （1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
• 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
• 所以AH＝1，OH＝ ．3 所以A （-1, 3）
• 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
• 设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，3） 可得 a=．3
•
所以抛物线的表达式为y =
3 3
x(
x
-
2)
=
3
3
x2 -
3
2 3x 3
图2
3
•
（2）由y =
2
2
（3）如图 1，抛物线的对称轴是直线 x＝1，当 H 落在
线段 EC 上时，BH＋EH 最小．
设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HP EO ．
CP CO
图1
因此 HP 2 ．解得 HP 3 ．所以点 H 的坐标为(1, 3) ．
34
2
2
9
二次函数与相似三角形问题
例2 2012年黄冈市中考模拟第25题
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH
＋EH 最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是 否存在点F，使得以点B、C、
F为顶点的三角形与△BCE相
似？若存在，求m的值；若不
存在，请说明理由．