2019年高考数学压轴题专题16数列中项数问题(原卷版)
1
1. 公差 d≠0 的等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝ 2＋ 2， S3＝ 12＋ 3 2．
（ 1）求数列 { an} 的通项公式 an 及其前 n 项和 Sn；
Sn （ 2）记 cn＝ n，试问：在数列 { cn} 中是否存在三项
cr ，cs ，ct ( r ＜ s＜t ， r , s, t ∈ N*) 恰好成等比数列？
若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由
.
2. 已知各项均为正数的等比数列
1
{ an} 的公比为 q ，且 0
q
. 在数列 2
{ an}
中是否存在三项，使其成
等差数列？说明理由；
3. 设 cn 2 n ，试问数列 cn 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存
在，说明理由．
4. 已知数列 { an} 满足： a1
2, n ∈ N*，都有 pn＝ ＋ Ancn，设 {p n} 的前 n 项和为 Sn，求证： Sn＜ 4＋ 4lnn ．
13．已知数列
满足
（ 1）求数列
的通项公式；
（ 2）若 ， ， 成等差数列，
，
， 是数列 的前 项的和 .
， 18， 成等比数列，求正整数
的值；
3
（ห้องสมุดไป่ตู้3）是否存在
，使得
为数列 中的项？若存在，求出所有满足条件的
7. 设 an 是公差不为零的等差数列，
a2 2 a32
a
2 4
a
2 5
,
S7
7．
Sn 为其前 n 项和，且
（ 1）求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
（ 2）试求所有的正整数 m ，使得 am am 1 为数列 an 中的项． am 2
8. 若
或
，则称 为 和 的一个 位排列，对于
记为
18．设数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ， Sn nan 3n n 1 n N * .
（ 1）求数列 an 的通项公式 an ；
（ 2）是否存在正整数 n ，使得 S1 S2 S3 123
存在，说明理由 .
19．记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn .
Sn
3
2
n1
2016 ？若存在，求出 n 值；若不
，
（
）．
（ 1）求证：数列
为等比数列；
叫做 ，若
（ 2）若数列
满足：
，
．
① 求数列
的通项公式；
② 是否存在正整数 n，使得
成立？若存在，求出所有 n 的值；若不存在，请说明理由．
10．已知数列
的前 项和为
.
（ 1）求数列 （ 2）令
的通项公式 ，求数列
； 的前 项和 ；
（ 3）令
，问是否存在正整数
使得
① 1,1,1,2,2,2 ； （ II ）记
② 1,1,1,1,2,2,2,2 ； ．若 m=3，求 S 的最小值；
③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（ III ）若 m=2018，求 n 的最小值．
12．已知等差数列 {a n} 和等比数列 {b n} 均不是常数列， 若 a1＝b1＝ 1，且 a1，2a2，4a4 成等比数列， 4b 2，
a3 q 3 p . （ 1）求 p、 q 的值；
（ 2）求数列 an 的通项公式；
（ 3）是否存在正整数 m、n，使 Sn m Sn 1 m
2m
成立？若存在， 求出所有符合条件的有序实数对
2m 1
m, n ；
若不存在，说明理由 . 16．已知数列 { an} 的各项均为正数，记数列 Sn2＋ 2Sn， n∈ N*．
bn
a
2 n
1
a
2 n
(
n
1) ．
1 , 3(1 an 1 ) 2 1 an
2(1 an ) ， an an 1 0( n 1) ，数列 { bn} 满足： 1 an 1
（ 1）求数列 { a n} ， { bn} 的通项公式； （ 2）证明：数列 { bn } 中的任意三项不可能成等差数列． 5. 已知等比数列 { an} 的首项是 1，公比为 2，等差数列 { bn} 的首项是 1，公差为 1，把 {bn} 中的各项按 照如下规则依次插入到 { an } 的每相邻两项之间，构成新数列 { cn } ： a1 ,b1, a2 ,b2 ,b3, a3,b4, b5,b6, a4 ，……，即在 an 和 an 1 两项之间依次插入 {bn} 中 n 个项，则 c2013 ____________.
（ 3）设 lg bn
an 1 3n
，试问是否存在正整数
p， q( 其中 1<p<q) ，使 b1， bp ，bq 成等比数列？若存在，求
出所有满足条件的数组 ( p， q) ；若不存在，说明理由．
类型三 否定性问题
典例 3 等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，a1 1 2，S3 9 3 2 ． （ 1）求数列 { a n} 的通项 an 与前 n 项和 Sn ； （ 2）设 bn Sn ( n N ) ，求证：数列 { bn} 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
n2
4
（ 1）求证：数列
Sn 是等差数列； n
（ 2）若 a1
1，对任意 n
*
N ,n
2 ，均有
Sn 1 ,
Sn ,
Sn 1
是公差为
1的等差数列，
求使
Sk
1Sk
2
2
Sk
为整数的正整数 k 的取值集合；
（ 3）记 bn a an a 0 ，求证： b1 b2 ... bn n
b1 bn . 2
20．已知数列 an 中， a1 2 ，前 n 项和 Sn 满足 an 1 3Sn 2 0 （ n
的值；
若不存在，请说明理由 .
14．由 ， ， ， 排列而成的 项数列 项．
满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有
（ ）满足条件的数列中，写出所有的单调数列．
（ ）当
时，写出所有满足条件的数列．
（ ）满足条件的数列
的个数是多少？并证明你的结论．
15．设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn 1 pSn q（ p、q 为常数， n N * ），又 a1 2 ， a2 1 ，
，将排列
记为
，依此类推，直至
，将排列 ，对于
2
排列 和
，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，
和
的相关值，记作
，例如
，则
，
，则称 为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列
．
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列
．
（Ⅲ）若某个
（ 是正整数）为最佳排列，求排列
中 的个数．
9．设数列
的前 n 项和为 ，已知
， ，有
，存在 ，存在
，使 ，有
, ．记 为数列
．对于数列
，
的前 项和 .
，求数列 . 求使得
的通项公式； 成立的 的最
类型二 存在性问题
典例 2 已知数列 { an} 中， a2=1，前 n 项和为 Sn，且 Sn （ 1）求 a1；
n(an a1 ) ． 2
（ 2）证明数列 { an} 为等差数列，并写出其通项公式；
专题 16 数列中项数问题
数列中项数问题， 不仅是存在性问题， 而且是整数解问题 . 会利用整除性质、 奇偶分析法、“范围” 控制解决，常用到分类讨论思想．
类型一 整数解问题
典例 1. 已知集合
，且对于任意
，
( Ⅰ ) 写出 ， 的值；
( Ⅱ ) 数列 中，对于任意
( Ⅲ ) 数列 小值．
中，对于任意
6. 设等差数列 { an } 的前 n 项和为 Sn，且 a5 a13 34， S3 9 ．
（ 1）求数列 { an} 的通项公式及前 n 项和公式；
（ 2）设数列 { bn } 的通项公式为 bn
an an t ，问：是否存在正整数
t ，使得 b1，b2， bm
( m 3， m N ) 成等差数列？若存在，求出 t 和 m的值；若不存在，请说明理由．
2b3， b4 成等差数列． （ 1）求 {a n} 和 {b n} 的通项公式；
（ 2）设 m， n 是正整数，若存在正整数 ＋ n 的最小值；
i ， j ， k（i ＜ j ＜ k），使得 ambj ，amanbi ， anbk 成等差数列，求 m
（ 3）令 cn＝ ，记 {c n} 的前 n 项和为 Tn， { } 的前 n 项和为 An．若数列 {pn} 满足 p1＝ c1，且对 n≥
{ an} 的前 n 项和为 Sn，数列 { an2} 的前 n 项和为 Tn，且 3Tn＝
（Ⅰ）求 a1 的值；
（Ⅱ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅲ）若 k， t ∈ N* ，且 S1， Sk－ S1， St －Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
17．数列 an 定义为 a1 0 ， a11 a ， an 1 an 1 an2 ， n N * 2
（ 1）若 a1
a a
1 2a
0 ，求 1 2 a1
1 2 a2
1 的值； 2 a10
（ 2）当 a 0 时，定义数列 bn ， b1 ak k 12 ， bn 1 1 1 2bn ，是否存在正整数 i , j i j ，
使得 bi b j a 1 a 2 2
1 2a 1. 如果存在，求出一组 i , j ，如果不存在，说明理由 .
成等差数列？若存在， 求出 的
浙江省2019年高考数学压轴卷(含解析)
18.设函数 ，其中 ，已知 .
(1)求 ；
(2)将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值．
19.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ．
A.4B.-4C.6D.-6
8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是 .现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望 和方差 分别是（ ）.
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得R=2.
故答案为：2;2.
14.【答案】4
【解析】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，
，则：
，
令 ，则 ，
据此可得： ，
即 的最小值是4，最大值是 ．
15.【答案】
【解析】原问题等价于 有三个不同的实根，即 与 有三个不同的交点，当 时， 为增函数，在 处取得最小值为 ，与 只有一个交点.当 时， ，根据复合函数的单调性，其在 上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需 ，解得 .
设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ①.
设 ，则 .
∵
即 ，得： ，
∴ ，即 或 ，
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为： 或 .
∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.
22.【答案】(1) ；(2) .
2019年高考试题汇编理科数学--数列(2021年整理精品文档)
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（2019全国1理）9。
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。
已知40S =，55a =，则（ ） A 。
25n a n =- B 。
310n a n =- C 。
228n S n n =- D 。
2122n S n n =- 答案： A 解析：依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-,24n S n n =-.（2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = .答案： 5S =1213解答:∵113a =,246a a =设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q = ∴5S =12132019全国2理）19。
已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列; （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式。
答案： （1）见解析（2）21)21(-+=n a n n ，21)21(+-=n b n n 。
解析：(1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ,整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷： 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==， 因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列， 可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立 故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
天津市2019年高考数学压轴卷文含解析
天津市2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B．3CD．7.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8.已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________． 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值 ．13.已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．14.函数()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16(本小题满分13分)某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据()()12,,,,6i i x y i =如下表所示（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测4月6日的产品销售量m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率． 参考公式：ˆˆˆybx a =+， 其中()()1122211(ˆ)n niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离． 18.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20.（本小题满分14分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围． 1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，， 满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4【答案】A【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则1a -<，此时a 的范围为(]1,0-，当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 5【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 6【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等边三角形，所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．7【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ．8.【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或3211131【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =+故答案为1e =+ 14【答案】ln21--【解析】由()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，可令()()ln 2g x x x =-+， ()11122x g x x x +'=-=++，故()()l n 2g x x x =-+在()2,1--上是减函数，()1,-+∞上是增函数，故当1x =-时，()g x 有最小值()11g -=-，而e 4e 4x a a x --≥+，（当且仅当e 4e x a a x --=，即ln2x a =+时成立）， 故()3f x ≥（当且仅当等号同时成立时，等式成立）， 故ln21x a =+=-，即ln21a =--．15(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos29A A ==- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16【答案】（1）41；（2）23．【解析】（1）由题设可得111012113x ++==，322935323y ++==， 则()()()()()31322221ˆ0013133011iii ii x x y y bx x ==--⨯+-⨯-+⨯===++-∑∑．所以32ˆ11ˆ31ay bx =-=-⨯=-， 则回归直线方程为ˆ31yx =-，故314141m =⨯-=．（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共15种，其中相邻两天的结果为{}12,A A ，{}23,A A ，{}34,A A ，{}45,A A ，{}56,A A 共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率()521153P B =-=．17【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ， 由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF18【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由O M O N ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0．19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+ 【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n a = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+ 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2n i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅ 20【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e x f x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m +-，所以21e 11e m +--≤，解得m ≥或m ≤∴实数m 的取值范围是2,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．。
2019届理科数学高考中的数列问题(2021年整理)
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2019届理科数学高考中的数列问题一、选择题(每小题5分，共20分）1.已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和S n满足=9S2,S4=4S2,则a2=(）A。
B。
C。
D。
2。
［数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马。
”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟。
羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半。
”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿(）A。
斗粟 B。
斗粟 C。
斗粟 D。
斗粟3.已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和，S4=5S2,则的值为(）A。
—2或-1 B。
1或2C.±2或—1 D。
±1或±24.已知数列｛a n｝是公比为2的等比数列，满足a6=a2·a10,设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b 9=2a7，则S17=（)A。
34 B.39 C。
51 D.68二、填空题(每小题5分,共10分）5.已知数列｛a n}满足2a n·a n+1+a n+1—a n=0，且a1=1，则数列｛a n}的通项公式为. 6。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
专题16 数列中项数问题(原卷版)
专题16 数列中项数问题数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．类型一 整数解问题典例1. 已知集合 ， , ．对于数列 ， ，且对于任意 ， ，有 ．记 为数列 的前 项和. (Ⅰ)写出 ， 的值；(Ⅱ)数列 中，对于任意 ，存在 ，使 ，求数列 的通项公式；(Ⅲ)数列 中，对于任意 ，存在 ，有 .求使得 成立的 的最小值．类型二 存在性问题典例2已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．类型三 否定性问题典例3等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，． （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1.公差d≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋32． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ；（2）记c n ＝S nn ，试问：在数列{c n }中是否存在三项c r ，c s ，c t (r ＜s ＜t ，r ,s ,t ∈N *)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.2.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；3.设nn c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．4.已知数列{}n a 满足：1113(1)2(1)1,211n n n n a a a a a ++++==--，10(1)n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：221(1)n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．5.已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为2，等差数列{}n b 的首项是1，公差为1，把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列}{n c ：1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ，……，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2013c =____________.6.设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t ，使得 成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．7. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前项和，且222223457,7a a a a S +=+=．{}n a q 102q <<{}n a {}n a n n S ，5133349a a S +==，{}n a n {}n b nn n a b a t=+12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，n（1）求数列{}n a 的通项公式及前项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．8. 若 或 ，则称 为 和 的一个 位排列，对于 ，将排列记为 ，将排列 记为 ，依此类推，直至 ，对于排列 和 ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做 和 的相关值，记作 ，例如 ，则 ， ，若 ，则称 为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列 ． （Ⅱ）证明：不存在最佳排列 ．（Ⅲ）若某个 （ 是正整数）为最佳排列，求排列 中 的个数． 9．设数列 的前n 项和为 ，已知 ， （ ）． （1）求证：数列 为等比数列； （2）若数列 满足： ，．① 求数列 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得 成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由． 10．已知数列 的前 项和为. （1）求数列 的通项公式 ；（2）令，求数列 的前 项和 ；（3）令，问是否存在正整数 使得 成等差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由. 11．数列满足： 或1（k=1,2,…,n －1）．对任意i ，j ，都存在s ，t ，使得 ，其中i ，j ，s ，t ∈{1,2，…，n}且两两不相等． （I ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2 （II ）记 ．若m=3，求S 的最小值； （III ）若m=2018，求n 的最小值．n12．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列， 4b 2，2b 3，b 4成等差数列．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设m ，n 是正整数，若存在正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，求m ＋n 的最小值；（3）令c n ＝，记{c n }的前n 项和为Tn ，{}的前n 项和为An ．若数列{pn}满足p1＝c1，且对∀n≥2, n∈N*，都有pn ＝＋A n c n ，设{p n }的前n 项和为S n ，求证：Sn ＜4＋4lnn ．13．已知数列 满足， ， 是数列 的前 项的和.（1）求数列 的通项公式；（2）若 ， ， 成等差数列， ，18， 成等比数列，求正整数 的值；（3）是否存在 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由.14．由 ， ， ， 排列而成的 项数列 满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项． （ ）满足条件的数列中，写出所有的单调数列． （ ）当 时，写出所有满足条件的数列．（ ）满足条件的数列 的个数是多少？并证明你的结论．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p 、q 为常数， *n N ∈），又12a =， 21a =，33a q p =-.（1）求p 、q 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m 、n ，使1221m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ；若不存在，说明理由.16．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N *． （Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．17．数列{}n a 定义为10a >， 11a a =， 2112n n n a a a +=+， *n N ∈ （1）若()1012aa a a=>+，求1210111222a a a ++++++的值；（2）当0a >时，定义数列{}n b ， ()112k b a k =≥， 11n b +=-，是否存在正整数(),i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++.如果存在，求出一组(),i j ，如果不存在，说明理由. 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =， ()31n n S na n n =-- ()*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n ++++--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由.19．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若 11a =，对任意*,2n N n ∈≥，是公差为1的等差数列，求使122k k kS S S ++为整数的正整数k 的取值集合； （3）记()0na nb aa =>，求证：121 (2)n nb b b b b n ++++≤. 20．已知数列{}n a 中，12a =-，前n 项和n S 满足1320n n a S +++=（n *∈N ）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在整数对(),m n 满足2480n n a ma m ---=？若存在，求出所有的满足题意得整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．专题16 数列中项数问题数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．类型一整数解问题典例1. 已知集合A={x|x=2n+1,n∈N^*}，B={x|x=2^(n-1),n∈N^*},C=A∪B．对于数列{a_n}，a_1=1，且对于任意n≥2，n∈N^*，有a_n=min{x∈C|x>a_(n-1)}．记S_n为数列{a_n}的前n项和.(Ⅰ)写出a_7，a_8的值；(Ⅱ)数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，存在k_n∈N^*，使a_(k_n )=2^(n-1)，求数列{k_n}的通项公式；(Ⅲ)数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，存在k∈N^*，有a_(k+1)=2n+1.求使得S_(k+1)>27a_(k+1)成立的k 的最小值．【答案】(1) a_7=8, a_8=9 (2) k_n=2^(n-2)+n-1(n≥3) (3)57【解析】（I）A={x|x=2n+1,n∈N^*}={3,5,7,9,11,13,⋅⋅⋅,2n+1,⋅⋅⋅},B={x|x=2^(n-1),n∈N^*}={1,2,4,8,16,32,⋅⋅⋅,2^(n-1),⋅⋅⋅}，C=A∪B={1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,⋅⋅⋅}.因为a_1=1，且对于任意n≥2,n∈N^*，a_n=min{x∈C|x>a_(n-1)}，所以a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5,a_6=7,a_7=8,a_8=9.（II）对于任意n≥2，n∈N^*，有a_n=min{x∈C|x>a_(n-1)}，所以对于任意n≥2，n∈N^*，有a_n>a_(n-1)，即数列{a_n}为单调递增数列.因为对于任意n∈N^*，存在k_n∈N^*，使a_(k_n )=2^(n-1)，所以k_1<k_2<k_3<┅<k_n<┅．因为a_(k_n )=2^(n-1)，a_(k_(n+1) )=2^n，所以对于任意n∈N^*，有k_1=1，k_2=2，k_3=4，所以，当n≥2时，有k_(n+1)-k_n=(2^n-2^(n-1))/2+1=2^(n-2)+1，即k_3-k_2=2^0+1，k_4-k_3=2^1+1，k_5-k_4=2^2+1，…………k_n-k_(n-1)=2^(n-3)+1，所以当n≥3时，有k_n-k_2=2^0+2^1+2^2+⋅⋅⋅+2^(n-3)+(n-2)= (1-2^(n-2))/(1-2)+(n-2)=2^(n-2)+n-3(n≥3)，所以k_n=2^(n-2)+n-1(n≥3).又k_1=1，k_2=2，数列{k_n}的通项公式为：k_n={█(1," " n=1,@2^(n-2)+n-1," " n≥2) .（III）若∀" " n∈N^*，∃" " k∈N^*，有a_(k+1)=2n+1，令2^(m-1)≤2n，m∈N^*，解得m-1≤log_2 (2n)，即m≤log_2 n+2，得m_max=[log_2 n+2]=[log_2 n]+2，其中[log_2 n+2]表示不超过log_2 n+2的最大整数，所以k+1=n+m_max=n+([log_2 n]+2),k=n+([log_2 n]+1).S_(k+1)=[3+5+7+⋯+(2n+1)]+[1+2+⋯+2^([log_2 n]+1)]=n(n+2)+(2^([log_2 n]+2)-1)，依题意S_(k+1)>27a_(k+1)，n(n+2)+2^([log_2 n]+2)-1>27(2n+1)，即n^2-52n-28+2^([log_2 n]+2)>0，〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])>704.当[log_2 n]=0时，即n=1时，〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])=629<704，不合题意；当[log_2 n]=1时，即n=2,3时，〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])≤〖24〗^2+8<704，不合题意；当[log_2 n]=2时，即4≤n≤7时，〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])≤〖22〗^2+16<704，不合题意；当[log_2 n]=3时，即8≤n≤15时，〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])≤〖18〗^2+4×8<704，不合题意；当[log_2 n]=4时，即16≤n≤31时，〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])≤〖10〗^2+4×16<704，不合题意；当[log_2 n]=5时，即32≤n≤63时，由〖(n-26)〗^2+4×2^([log_2 n])≤〖37〗^2+4×32=1497,1497>704,此时，〖(n-26)〗^2>576.而n=50时，〖(n-26)〗^2=576.所以n>50.又当n=51时，〖(51-26)〗^2+4×2^([log_2 51])=753>704；所以k=n+[log_2 n]+1≥51+[log_2 51]+1=51+5+1=57.综上所述，符合题意的k的最小值为k=57.类型二存在性问题典例2已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）an=n－1（3），【解析】（1）令n=1，则a1=S1= =0．（2）由，即，①得．②②－①，得．③于是，．④③+④，得，即．又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．（3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．时， <0，故数列{ }( )为递减数列，时， <0，故数列{ }( )为递减数列，，，即时，又当时，，故无正整数q使得成立．解法2：同上有，，且数列{ }( )为递减数列，当时，成立；当时，，因此，由得，，此时类型三否定性问题典例3等差数列的前项和为．（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【答案】（1）．（2）见解析【解析】（1）由已知得，，故．（2）由（1）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．1.公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋2，S3＝12＋32．（1）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；（2）记cn＝Snn，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct(r＜s＜t，r,s,t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）见解析【解析】（1），，所以，（2）易知，假设存在三项成等比数列，则，即 ,整理得且， ,解得 ,这与矛盾.综上所述，不存在满足题意的三项2.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且 .在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；【答案】见解析【解析】由知，数列是递减数列，假设存在成等差数列，不妨设，则，即即而，，故矛盾．因此在数列中不存在三项成等差数列．3.设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：假设数列中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第项，由⑴得，∴，∴，∴又为偶数，为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．4.已知数列满足：，，数列满足：．（1）求数列，的通项公式；（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列．【答案】(1) ，．(2)见解析【解析】（1）由题意可知，令，则又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故，．（2）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有成立，即即：由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．因此数列中任意三项不可能成等差数列．5.已知等比数列的首项是，公比为2，等差数列的首项是，公差为，把中的各项按照如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列：，……，即在和两项之间依次插入中个项，则 ____________. 【答案】【解析】对数列分组(a1), (b1,a2),(b2,b3,a3),(b4, )，……，前n组的个数之和靠近2013即可，可能前63组之和为2016，用2013个数剔除an中的项即可6.设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2) 当时，；当时，；当时，．【解析】（1）（2），要使得成等差数列，则即：即：∵，∴只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，．7. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．【答案】(1) , (2) 2．【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得， ,所以的通项公式为，前n项和．(2) = ，若其是中的项，则，令，则 = ,即：所以为8的约数．因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；当，即时，（舍去）．所以满足条件的正整数．8. 若A_n=¯(a_1 a_2⋯a_n )(a_i=0或1,i=1,2,⋯,n)，则称A_n为0和1的一个n位排列，对于A_n，将排列¯(a_n a_1 a_2⋯a_(n-1) )记为R^1 (A_n)，将排列¯(a_(n-1) a_n a_1⋯a_(n-2) )记为R^2 (A_n)，依此类推，直至R^n (A_n)=A_n，对于排列A_n和R^i (A_n)(i=1,2,⋯,n-1)，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做A_n和R^i (A_n)的相关值，记作t(A_n,R^i (A_n))，例如A_3=¯110，则R^1 (A_3)=¯011，t(A_3,R^1 (A_3))=-1，若t(A_n,R^i (A_n))=-1(i=1,2,⋯,n-1)，则称A_n为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列A_3．（Ⅱ）证明：不存在最佳排列A_5．（Ⅲ）若某个A_(2k+1)（k是正整数）为最佳排列，求排列A_(2k+1)中1的个数．【答案】详见解析【解析】（Ⅰ）最佳排列A_3为¯110、¯101、¯100、¯011、¯010、¯011．（Ⅱ）设A_5 "=" ¯(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 )，则R^1 (A_5)=¯(a_5 a_1 a_2 a_3 a_4 )，因为t(A_5,R^1 (A_5))=-1，所以|a_1-a_5 |，|a_2-a_1 |，|a_3-a_2 |，|a_4-a_3 |，|a_5-a_4 |之中有2个0，3个1，按a_5→a_1→a_2→a_3→a_4→a_5的顺序研究数码变化，有上述分析可知由2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变，但是a_5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A_5，使得t(A_5,R(A_5))=-1，从而不存在最佳排列A_5．（Ⅲ）由A_(2k+1)=¯(a_1 a_2 a_3⋯a_(2k+1) )(a_i=0或1，i=1.2，⋯，2k+1)，得R^1 (A_(2k+1))=¯(a_(2k+1) a_1 a_2⋯a_2k )，R^2 (A_(2k+1))=¯(a_2k a_2k _(+1) a_1 a_2⋯a_(2k-1) )，⋯，|a_1-a_3 |+|a_2-a_4 |+⋯+|a_2k-a_1 |+|a_(2k+1)-a_2 |=k_1+1，|a_1-a_2 |+|a_2-a_3 |+⋯+|a_2k-a_(2k+1) |+|a_(2k+1)-a_1 |=k+1，以上各式求和得，S=(k+1)×2k，另一方面，S还可以这样求和：设a_1， a_2⋯a_2k，a_(2k+1)中有x个0，y个1，则S=2xy，所以{█(x+y=2k+1@2xy=2k(k+1)) ，得{█(x=k@y=k+1) 或{█(x=k+1@y=k) ，所以排列A_(2k+1)中1的个数是k或k+1个．9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_1=1，S_(n+1)-2S_n=1（n∈N^*）．（1）求证：数列{a_n}为等比数列；（2）若数列{b_n}满足：b_1=1，b_(n+1)=b_n/2+1/a_(n+1) ．①求数列{b_n}的通项公式；②是否存在正整数n，使得∑_(i=1)^n▒b_i =4-n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为2．（2）b_n=n/2^(n-1) ，n=2【解析】（1）解：由S_(n+1)-2S_n=1，得S_n-2S_(n-1)=1（n≥2），两式相减，得a_(n+1)-2a_n=0，即a_(n+1)/a_n =2（n≥2）．因为a_1=1，由(a_1+a_2)-2a_1=1，得a_2=2，所以a_2/a_1 =2，所以a_(n+1)/a_n =2对任意n∈N^*都成立，所以数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为2．（2）①由（1）知，a_n=2^(n-1)，由b_(n+1)=b_n/2+1/a_(n+1) ，得b_(n+1)=b_n/2+1/2^n ，即2^n b_(n+1)=2^(n-1) b_n+1，即2^n b_(n+1)-2^(n-1) b_n=1，因为b_1=1，所以数列{2^(n-1) b_n }是首项为1，公差为1的等差数列．所以2^(n-1) b_n=1+(n-1)×1=n，所以b_n=n/2^(n-1) ．②设T_n=∑_(i=1)^n▒b_i ，则T_n=1×〖(1/2)〗^0+2×〖(1/2)〗^1+3×〖(1/2)〗^2+⋯+n×〖(1/2)〗^(n-1)，所以1/2 T_n=" " 1×〖(1/2)〗^1+2×〖(1/2)〗^2+3×〖(1/2)〗^3+⋯+n×〖(1/2)〗^n，两式相减，得1/2 T_n=〖(1/2)〗^0+〖(1/2)〗^1+〖(1/2)〗^2+⋯+〖(1/2)〗^(n-1)-n×〖(1/2)〗^n =(1-〖(1/2)〗^n)/(1-1/2)-n×〖(1/2)〗^n =2-(n+2)×〖(1/2)〗^n，所以T_n=4-(2n+4)×〖(1/2)〗^n．由∑_(i=1)^n▒b_i =4-n，得4-(2n+4)×〖(1/2)〗^n=4-n，即(n+2)/n=2^(n-1)．显然当n=2时，上式成立，设f(n)=(n+2)/n-2^(n-1)（n∈N^*），即f(2)=0．因为f(n+1)-f(n)=((n+3)/(n+1)-2^n)-((n+2)/n-2^(n-1))=-[2/(n(n+1))+2^(n-1) ]<0，所以数列{f(n)}单调递减，所以f(n)=0只有唯一解n=2，所以存在唯一正整数n=2，使得∑_(i=1)^n▒b_i =4-n成立．10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=1/2 n^2+1/2 n.（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；（2）令b_n=a_n/2^(n-1) ，求数列{b_n}的前n项和T_n；（3）令c_n=a_n/(a_n+a_(n+1) )，问是否存在正整数m,k(1<m<k)使得c_1,c_m,c_k成等差数列？若存在，求出m,k的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）a_n=n(n∈N^* )；（2）4- (n+2)/2^(n-1) ；（3）存在m=2,k=7.【解析】（1）a_n=S_n-S_(n-1) (n≥2)█(=1/2 n^2+1/2 n-1/2 (n-1)^2-1/2 (n-1)@=1/2 n^2+1/2 n-1/2 n^2+n-1/2-n/2+1/2)=n ,当n=1时a_1=S_1=1满足上式,故a_n=n(n∈N^* ).（2）b_n=n/2^(n-1)T_n=1+2/2+3/2^2 +...+n/2^(n-1) , ①1/2 T_n=1/2+2/2^2 +...+(n-1)/2^(n-1) +n/2^n , ②由①－②得：1/2 T_n=1+1/2+1/2^2 +...+1/2^(n-1) -n/2^n=(1×(1-1/2^n ))/(1-1/2)-n/2^n =2×(1-1/2^n )-n/2^n=2-(n+2)/2^n ,T_n=4-(n+2)/2^(n-1) .（3）假设存在m,k(1<m<k)使得c_1,c_m,c_k为等差数列，则2C_m=C_1+C_k ⇒2m/(2m+1)=1/3+k/(2k+1)⇒(2m+1)/2m=(6k+3)/(5k+1) ⇒1/2m=(k+2)/(5k+1)，2m=(5k+1)/(k+2)=5-9/(k+2) ⇒m=5/2-(9/(k+2))/2－——*由m>1且m∈N^*则9/(k+2)为奇整数，∴k=1（舍去）或k=7，又由k>m>1 则k=7代入*式得m=2,故存在m=2,k=7使得c_1,c_m,c_k为等差数列 .11．数列A_n:a_1,a_2,⋯a_n (n≥4)满足：a_1=1,a_n=m,a_(k+1)-a_k=0或1（k=1,2,…,n－1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a_i+a_j=a_s+a_t，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2；②1,1,1,1,2,2,2,2；③1,1,1,1,1,2,2,2,2（II）记S=a_1+a_2+⋯+a_n．若m=3，求S的最小值；（III）若m=2018，求n的最小值．【答案】（Ⅰ）②③；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）2026．【解析】（I）数列A_n:a_1,a_2,⋯a_n (n≥4)满足：a_1=1,a_n=m,a_(k+1)-a_k=0或1（k=1,2,…,n－1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a_i+a_j=a_s+a_t，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；在③中,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合题目条件．故所有符合题目条件的数列的序号为②③．（II）当m=3时，设数列A_n中1,2,3，出现频数依次为q_1,q_2,q_3，由题意q_i≥1(i=1,2,3)．①假设q_1<4，则有a_1+a_2<a_s+a_t（对任意s>t>2），与已知矛盾，所以q_1≥4．同理可证：q_3≥4．②假设q_2=1，则存在唯一的k∈{1,2,⋯,n}，使得a_k=2．则对∀s,t，有a_1+a_k=1+2≠a_s+a_t（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以q_2≥2．综上q_1≥4，q_3≥4，q_2≥2，所以S=∑_(i=1)^3▒〖iq_i 〗≥20，故S的最小值为20.（III）设1，2，…，2018出现频数依次为q_1,q_2,⋯,q_2018．同（II）的证明，可得q_1≥4,q_2018≥4,q_2≥2,q_2017≥2，所以n≥2026．取q_1=q_2018=4,q_2=q_2017=2，q_i=1,i=3,4,5,⋯,2016，得到的数列为：B_n:1,1,1,1,2,2,3,4,⋯⋯,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018.下面证明B_n满足题目要求．对∀i,j∈{1,2,⋯,2026}，不妨令a_i≤a_j，①如果a_i=a_j=1或a_i=a_j=2018，由于q_1=4,q_2018=4，所以符合条件；②如果a_i=1,a_j=2或a_i=2017,a_j=2018，由于q_1=4,q_2018=4，q_2=2,q_2017=2，所以也成立；③如果a_i=1,a_j>2，则可选取a_s=2,a_i=a_j-1；同样的，如果a_i<2017,a_j=2018，则可选取a_s=a_i+1,a_i=2017，使得a_i+a_j=a_s+a_t，且i，j，s，t两两不相等；④如果1<a_i≤a_j<2018，则可选取a_s=a_i-1,a_i=a_t+1，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上对任意i，j，总存在s，t，使得a_i+a_j=a_s+a_t，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．因此B_n满足题目要求，所以n的最小值为2026．12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m ＋n的最小值；（3）令cn＝a_n/b_n ，记{cn}的前n项和为Tn，{1/a_n }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对≥2, n∈N*，都有pn＝(T_n-1)/n＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）a_n=n,b_n=2^(n-1)（2）{█(m=4@n=2) 或 {█(m=3@n=3) （3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：{█(4〖a_2〗^2=4a_1 a_4，@4b_3=4b_2+b_4 ) ⇒{█(〖(a_1+d)〗^2=a_1 (a_1+3d)，@4b_1 q^2=4b_1 q+b_1 q^3 )解得d＝1，q＝2，所以a_n=n,b_n=2^(n-1).（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有2a_m a_n b_i=a_m b_j+a_n b_k，即2mn⋅2^(i-1)=m⋅2^(j-1)+n⋅2^(k-1) ，由于i<j<k，且为正整数，所以j-i≥1,k-i≥2，所以2mn=m⋅2^(j-i)+n⋅2^(k-i)≥2m+4n，可得 mn≥m+2n，即2/m+1/n≤1，①当1≤m≤2时，不等式2/m+1/n≤1不成立；②当{█(m=4@n=2) 或 {█(m=3@n=3) 时 2mn⋅2^(i-1)=m⋅2^(j-1)+n⋅2^(k-1)成立；③当n≥4时，1/n>0，2/m<1，即m>2，则有m+n>6；所以m+n的最小值为6，当且仅当j-i=1，k-i=2且{█(m=4@n=2) 或 {█(m=3@n=3) 时取得．（3）由题意得：p_2=c_1/2+(1+1/2)c_2p_3=(c_1+c_2)/3+(1+1/2+1/3)c_3⋯█(S_n=p_1+p_2+p_3+⋯+p_n " " @" " =(1+1/2+1/3+⋯+1/n)(c_1+c_2+c_3+⋯+c_n)@" " =(1+1/2+1/3+⋯+1/n)T_n )T_n=c_1+c_2+c_3+⋯+c_n （1）1/2 T_n=" " 1/2 c_1+1/2 c_2+⋯+1/2 c_n （2）（1）—（2）得1/2 T_n=1+1/2+1/4+1/8+⋯+1/2^(n-1) -n/2^n=2-2〖(1/2)〗^n-n〖(1/2)〗^n ，求得 T_n=4-(n+2)〖(1/2)〗^(n-1)<4，所以 S_n<4(1+1/2+1/3+⋯+1/n)，设f(x)=lnx+1/x-1" "(x>1)，则f^' (x)=1/x-1/x^2 =(x-1)/x^2 >0，所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增，有f(x)>f(1)=0，可得 lnx>1-1/x.当k≥2，且k∈N*时，k/(k-1)>1，有ln k/(k-1)>1-(k-1)/k=1/k ，所以1/2<ln 2/1,1/3<ln 3/2,⋯,1/n<ln n/(n-1)，可得1+ 1/2+1/3+⋯+1/n<1+ln 2/1+ln 3/2+⋯+ln n/(n-1)=1+lnn，所以S_n<4(1+1/2+1/3+⋯+1/n)<4(1+lnn).13．已知数列{a_n}满足(1-1/a_1 )(1-1/a_2 )⋯(1-1/a_n )=1/a_n ，n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项的和.（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）若a_p，30，S_q成等差数列，a_p，18，S_q成等比数列，求正整数p,q的值；（3）是否存在k∈N^*，使得√(a_k a_(k+1)+16)为数列{a_n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a_n=n+1.（2）p=5，q=9.（3）k=3或14.【解析】（1）因为(1-1/a_1 )(1-1/a_2 )⋯(1-1/a_n )=1/a_n ，n∈N*，所以当n=1时，1- 1/a_1 =1/a_1 ，a_1=2，当n≥2时，由(1-1/a_1 )(1-1/a_2 )⋯ (1-1/a_n )=1/a_n 和(1-1/a_1 )(1-1/a_2 )⋯(1-1/a_(n-1) )=1/a_(n-1) ，两式相除可得，1- 1/a_n =a_(n-1)/a_n ，即a_n-a_(n-1)=1(n≥2)所以，数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列.于是，a_n=n+1.（2）因为a_p，30，S_q成等差数列，a_p，18，S_q成等比数列，所以{█(a_p+S_q=60@a_p S_q=〖18〗^2 ) ，于是{█(a_p=6@S_q=54) ，或{█(a_p=54@S_q=6) .当{█(a_p=6@S_q=54) 时，{█(p+1=6@((q+3)q)/2=54) ，解得{█(p=5@q=9) ，当{█(a_p=54@S_q=6) 时，{█(p+1=54@((q+3)q)/2=6) ，无正整数解，所以p=5，q=9.（3）假设存在满足条件的正整数k，使得√(a_k a_(k+1)+16)=a_m (m∈N^*)，则√((k+1)(k+2)+16)=m+1，平方并化简得，〖(2m+2)〗^2-〖(2k+3)〗^2=63，则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63，所以{█(2m+2k+5=63@2m-2k-1=1) ，或{█(2m+2k+5=21@2m-2k-1=3) ，或{█(2m+2k+5=9@2m-2k-1=7) ，解得：m=15，k=14，或m=5，k=3，或m=3，k=-1（舍去），综上所述，k=3或14.14．由1，2，⋯，n排列而成的n项数列{a_n }满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项．（1）满足条件的数列中，写出所有的单调数列．（2）当n=4时，写出所有满足条件的数列．（3）满足条件的数列{a_n }的个数是多少？并证明你的结论．【答案】1）{a_n }=n，{a_n }=n，(n-1)，(n-2)，⋯；（2）见解析；（3）2^(n-1)个．【解析】（1）{a_n }=n，{a_n }=n，(n-1)，(n-2)，⋯；（2）数列为：1，2，3，4；4，3，2，1;2,1,3,4;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1；共8个.（3）设所求个数为A_n，则A_1=1，对n>1，若n排在第i位，则它之后的n-i位数完全确定，只能是n-i，n-i-1，⋯，2，1．而它之前的(i-1)位，n-i+1，n-i+2，⋯，n-1有A_(i-1)种排法，令i=1，2，⋯，n，则A_n=1+A_1+⋯+A_(n-2)+A_(n-1)，=(1+A_1+⋯+A_(n-2))+A_(n-1)，=A_(n-1)+A_(n-1)=2A_(n-1)，∴A_n=2^(n-1)．15．设数列的前n项和为，已知（p、q为常数，），又，， .（1）求p、q的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数m、n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由. 【答案】（1），；（2）；（3）存在符合条件的所有有序实数对：、、、、、 .【解析】（1）由题意，知，解之得（2）由（1）知，Sn+1= Sn+2，①当n≥2时，Sn= Sn﹣1+2，②①﹣②得，an+1= an（n≥2），又a2= a1，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，所以an= ．（3）由（2）得， = ，由，得，即，即，因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①因为m∈N*，所以m=1或2或3。
2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（ ）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（ ）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ． 无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为 ．14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ， 双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足； 满足； 满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点， 当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=， 当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ， 设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-， 即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥， 即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34． 【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ， 则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分） 明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==， 在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分） 【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ， 当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ， 当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ） （2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤． （2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。
专题16 数列(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
中
a1
1，数列
anan1
的前
n
项和为 Tn，若Tn≥10
恒成立，则
的最小值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．20
10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，
若对任意的 n N ，总存在 k N ，使 S2k1 (2k 1)Sn ．则 k 9n 的最小值为（ ）
18．（2022·浙江·高二期末）已知数列an 满足 a1 0 ，对于每一个 n N* ，a4n3 ，a4n2 ，a4n1
构成公差为
2
的等差数列，
a4n1
， a4 n
， a4 n1
构成公比为
1 3
的等比数列，若
n
N*
，不等式
t2 an2 4t 4an 0 恒成立，则正整数 t 的最小值为______.
S n ___________（用含 n 的代数式表示）.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知有穷数列 an 各项均不相等，将 an 的项从大到小重
新排序后相应的项数构成新数列bn，称数列bn 为数列an 的“序数列”.例如数列 a1 ， a2 ，
a3 满足 a1 a3 a2 ，则其序数列bn 为 1，3，2.若有穷数列dn 满足 d1 1 ， dn1 dn
T2022 2022 S2022
0
成立．关于上述两个命题，
以上说法正确的是______．（填写序号） 20．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设正整数 n a0 70 a1 7 a k1 7 k1 a k 7 k ，其中
ak 0,1, 2,3, 4,5, 6 ，记 n a0 a1 ak , S n 1 2 7n ，当 n 6 时，
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学压轴卷(整理含答案)
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷理科数学本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．·已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．·已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．·元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ） A ．34B ．78C ．1516D ．31324．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．5．()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=） A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ． B．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） A．10B．4C ．910D ．41811．·()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线l 过点F且依次交抛物线及圆(222x y-+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。