第1讲_任一点的应力状态
§2.4 三向应力状态分析简介
章 称为该点的主坐标系。
应力
主坐标系中的三个轴称
应变 为主轴。分别记为 1、2、3
分析 及应
轴。
力应
变关
在主轴坐标系中切取的
系
单元体为主单元体。
讲
在主单元体上，应力的
义 表示最为简单，如图所示。
3 3
z
O y 1
x 1
2 2
3
BRY 静水应力状态
(1) 若三个主应力中，有两个主应力数值相等，即特征
材
x xy
xz
料 力
yx y yz 0 (2.23)
学 B
zx
zy z
第 此式为关于 的三次代数方程，其三个实数根按代数值大小
2 章
排列即为三个主应力 1 2 3 ，对应于每个主应力 i ( i
= 1, 2, 3 )，以下方程组确定了其主方向 [nxi , nyi , nzi ]T ( i = 1,
2
(2.27)
2 一种特殊的三向应力状态
章
工程实际中，构件的某点处于
应力 一种特殊的三向应力状态，即一个
应变 分析
主应力及相应主方向已知的情况，
及应 力应
如图所示。
变关 系
此时，可在与已知主应力方向垂直
的平面内，按平面应力状态的分析
y y y z
x
z
x
x
讲 方法求得该点的另两个主应力及相 义 应主方向。
对应于该点平行于主轴 1 的所有截面；由
S2
1
圆周上各点就
和 3 确定的
2 S3 圆周上各点就对应于该点平行于主轴 2 的所有截面。
章
(c) 该点与任一主轴不平行的斜截面的正应力和切应力
弹性力学讲义
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
§2.3 平面应力状态的图解法
应力 方向截面的代表点在 平面上构成一条曲线，由分析可
应变 分析
知这条曲线是一个封闭的圆，称为该点的应力圆，也称莫尔
及应 圆。
力应
变关
系
讲
义
1
莫尔圆（应力圆）的画法
BRY
(1) 斜截面上应力 ， 的符号规定
材 料
该点任意平行于 z 轴方向截面上的
力
正应力 ，以拉为“+”；
学 B
切应力 ，以使单元体有顺时针转动趋势为“+”。
料 为单位 1 的直角楔体微元。
力 学
Fnp 0：
r r
B
B 第
p dAcos r dAsin
2
( q dA) cos ( q dA)sin 0
q
p
A
p
np
章
p cos r sin q cos q sin r p
应力 应变 分析
p cos p sin q cos q sin
BRY
§2.3 平面应力状态的图解法
—— 应力圆（莫尔圆）
材
料
力 应力圆（莫尔圆）
学
B
建立直角坐标系 O ，水平轴为正应力 轴，铅垂轴为
第 切应力 轴。某点若为 xy 平面内的平面应力状态，以该点某
2 章
一平行于 z 轴方向斜截面上的正应力 和切应力 的数值为 坐标，可在 平面上得到一个代表点。所有平行于 z 轴
C(
x
y
,
0)
2
B E
P2
系
讲
D A P1 x
义
4
莫尔圆（应力圆）的作用
BRY
莫尔圆（应力圆）图直观地给出了平面应力状态下单元
大连理工大学 工程力学 19应力状态8-1
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方位面？
过一点不同方向面上应力的集合，
称为这一点的应力状态 State of the
Stresses of a Given Point
三、一点应力状态的描述
1. 微 元体
Element
dz
（又称应力单元体）
特点： （1）正六面体；
yx dAsin sin
y dAsin cos
yx t
y
0
整理后得到
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
y
有界、周期函数
x
xy
一定存在极值
求主应力的极值
d—— = 0 d
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
即在=0的平面，记为0平面
x
2
y
sin
20
xy
x
n
x
yx t
y
Fn 0
dA
dA x d Acos cos xy
n
xy d Acos sin
x
α
α
x
yx dAsin cos
y dAsin sin
yx t
y
0
Ft 0
dA
n
dA x d Acos sin xy d Acos cos
xy
x
α
α
x
Principal planes
讲05 应力和应变
第十八章
第一节
应力和应变
受力与变形
如果作用力与作用面不垂直，则作用力可分解为垂直断面的分力Pа、与断面 平行的分力Pt。相应的合应力σA 、正应力σ和剪应力 （特尔科），见下图 （它们之间的关系见P52页图18—2)。从图18—3中可以看出，当作用力与作用面 不垂直时，正应力σ=1/2 σ1（1+cos2a） 剪应力 =1/2 σ1 sin2a 从上式可以看出：当a = 0 时，正应力最大。a = 90° 时，剪应力最大。 3 σ σ2 （二）一点的应力状态 σ1 σ1 设地下岩石中有一个单位立方体，该单元体可受到三个 σ2 相互垂直方向的应力作用，称之为主应力，分别用σ1、σ2、 σ3 σ3表示最大、中间和最小应力。见右图。 一点的应力状态通常有以下几种： 单轴应力状态 一个主应力不为零，另两个为零。 双轴应力状态 一个为零，另两个不为零 。 三轴应力状态 三个主应力都不为零。当三个主应力相等时，称均压。
3
第十八章 （二）变形程度的量度
第一节 应力和应变
变形前
受力与变形
变形后
地质体的变形程度是以变形量来表示，即变形前后 形态的改变量。这种改变可用两种方式表示： 1.线应变 地质体变形前后长度发生变化（拉伸或压缩）。 线应变 线应变e 可用以下参数表示： e = （L ı — L 0）/ L 0 式中L 0 、 L ı为变形前后同一线 段的长度。 平方长度比λ（同一线段在变形前后长度之比的平方： λ=（ L ı / L 0 ）² = （1+ e）² 2.剪切应变 两条相互垂直的直线在变形后其夹角偏离直角的量称之为角剪切应 剪切应变 变ϕ，其正切称为剪应变r， r = tg ϕ, 见右图 （三）均匀变形与非均匀变形 1.均匀变形 变形前后各质点的应变特征相同。 均匀变形 2.非均匀变形 变形前后各质点的变形特征不同。非均匀变形分连续变形与不连 非均匀变形 续变形两种。见P56页图18—6。
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态
应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。
在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。
本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。
一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。
在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。
而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。
1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。
正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。
而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。
另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。
二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。
应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。
2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。
特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。
通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。
三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。
在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。
3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。
通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。
3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。
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2 2 S 2 Sx Sy S z2 Si Si ( Si2 )
将全应力分量Sx,Sy,Sz投影到法线N上，得σ
S xl S y m S z n Sili
xl 2 y m 2 z n 2
2( xy lm yz mn zx nl) ij li l j
S cos 0 cos 2
1 S sin 0 sin 2 2
应力的概念
5、应力分析
0 cos
2
1 2 0 sin 2
（1）受力物体内部不同的点，应力不同； （2）受力物体内部同一的点，不同方向应力不同；
（3）单向拉伸时，各个方向面上的应力不同，但是 可以由垂直面上的应力来表示。
结论：要描述受力物体的应力状态必须清楚其内部任意点的 应力状态；要描述一点的应力状态必须知道其任意截面上的 应力; 对于单向拉伸，其应力状态可由垂直面上的应力来表 示。
三维空间一点的应力状态
1、思想方法
表示任意截面的应力；（无限） 特殊截面应力分量。（有限）
三维空间一点的应力状态
2、应力分量 特殊截面：过变体内 任意点Q切取矩形单 元体，且置于x,y,z坐 标中,棱边分别平行 于x,y,z轴，取矩形单 元体中三个相互垂直 的面为特殊截面。
三维空间一点的应力状态
2、应力分量
应力分量：三个面上 的应力表示，分解为 （σ、τ），τ分解为 两个沿坐标轴的分量。
则Q点的应力状态可 用三个面上的应力表 示（一正应力、二切 应力），共9个应力 分量。
三维空间一点的应力状态
3、分量的表示
坐标面的法线与x,y,z轴一致的面分别叫做x面、y 面、z面。 第一下角标——应力分量作用面 第二下角标——应力分量作用方向 角标相同的——正应力
三维空间一点的应力状态
7、问题
斜微分面上应力
1、已知条件
x xy xz ij yx y yz zx zy z
任意截面法线N的方向余弦为：
l cos(N , x ) m cos(N , y ) n cos(N , z )
斜微分面上应力
2、预备知识
设斜面的面积为dF，截面在 三个坐标轴上的投影分别为： x面、y面、z面。
x面——ldF
y面——mdF z面——ndF
D
m
斜微分面上应力
3、求解 斜面全应力S及沿三轴分量Sx,Sy,Sz，由ΣFx=0
S x dF xldF yx mdF zx ndF 0
τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz
三维空间一点的应力状态
6、分量的简化
τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz
x xy xz ij yx y yz zx zy z
x xy xz ij y yz z
斜微分面上应力
5、例题
1 0 2 已知一点的应力 ij 0 3 0 2 0 4
1 1 1 , , 3 3 3
，求法方向余弦为（
）的微分面上的应力。
S x x l yx m zx n
1 32 3 Nhomakorabea2 2 2 2 S S S S x y z 18 3
某微分面上的正应力为
4，切应力为
2
求该微分面的法线方向。
小结
1. 2. 3. 4. 正确理解应力的概念 一点应力状态的描述 斜截面应力状态的求解 应力张量的理解
S y xy l y m zy n 3
S 3 2
S z xz l yz m z n 2 3
S xl S y m S z n 4
S 2
2 2 2
讨论
1 0 2 已知一点的应力 ij 0 3 0 2 0 4
2 S 2 2
斜微分面上应力
4、延伸
若斜面ABC就是物体的表面，则斜面应 力就是外力Tj(j=x,y,z)
T j ij li
Tx x l yx m zx n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
S x xl yx m zx n
S x xl yx m zx n S y xy l y m zy n S z xz l yz m z n
S j ij li
斜微分面上应力
3、求解
外力
力
内力
惯 性 力
应力的概念
2、应力的概念 应力——单位面积上的内力
P dP S lim dA A0 A
应力的概念
3、应力的特点 1）应力点特性 2）应力面特性
应力的概念
4、单向应力求解
s0 dP P 0 dA A0
0 0
P P S 0 cos A1 A0 cos
三维空间一点的应力状态
5、切应力互等
原理：单元体处于平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩为零。
设棱边长为，x、y、z，则沿z轴的 合力矩为：
Fxy xy * z * y; M xy Fxy * Fyx yx * z * x; M yx M yx M xy ; x 1 xyz xy 2 2 y 1 Fyx * xyz yx 2 2
金属塑性成形原理
第三章 金属塑性变形的力学基础
第一节 应力分析
第一讲 任一点的应力状态
塑性力学基本假设 应力的概念 一点的应力状态 斜微分面上应力
塑性力学基本假设
连续性假设 匀质性假设 各向同性假设 初应力为零 体积力为零 体积不变假设
应力的概念
1、外力和内力 作 用 力 面力 反作用力 摩 擦 力 重 体力 力
三维空间一点的应力状态
4、分量的方向 正应力的符号与材料力学规定相同，即拉应力 为正、压应力为负。切应力不同。 正面：外法线指向坐标轴的正向的面 负面：外法线指向坐标轴的反向的面 正面上：沿轴正向的切应力分量为正， 沿轴反向的切应力分量为负； 负面上：沿轴反向的切应力分量为正，
沿轴正向的切应力分量为负。