应力状态与应力张量

2 2 σ N 及切向剪应力 τ N ，即 PN2 = σ N +τ N
PN 沿坐标轴方向分量为 x N , yN ， z N ，由平衡条件可得 x N = σ xl +τ xym +τ xzn ⎫ ⎪ y N = τ yxl + σ y m + τ yz n ⎬ z N = τ zx l +τ zy m + σ z n ⎪ ⎭
一点的应变状状态，主应变，应变不变量
在外力的作用下，物体内各点的位置要发生变化，即发生位移。如果物体各点发生位移 后仍保持各点间初始应力状态的相对位置， 则物体实际上只产生了刚体移动和转动， 称这种 位移为刚体位移。 如果物体各点发生位移后改变了各点间初始应力状态的相对位置， 则物体 就同时产生了形状变化，统称为该物体产生了变形。 在外力的作用下，物体内部质点产生相对位置的改变。设 A 点的坐标为（ x 、 y 、 z ）, 其临近点的坐标为（ x + dx 、
' 当略去其中间主应力 σ 2 和 σ 2 时，则可在二向应力平面上绘制有效应力路径和总主应力
路径。如图 2-13 所示。图中 A ' B ' C ' 为有效应力路径，若在 B ' 的孔隙压力位 u 值，则 B 点 代表瞬时总应力，因为有效应力与总应力之间的水平距离与垂直距离均为孔隙压力 u 的值。 由目测可知，瞬时总应力与有效应力的点，必定沿坐标轴倾斜成 45。的线上，由 2u 线段隔 开，如图 2-13 所示。
Hale Waihona Puke PP σ − σ2 P P σ − σ3 P P σ −σ3 1 2 = 1 = τ3 ， 2 3 = 2 = τ1 ， 3 1 = 1 = τ2 2 2 2 2 2 2
τ 1 、 τ 2 、 τ 3 称为主剪应力，半径最大者为最大剪应力 τ max ，如果把图 2-8（a）中坐标原点 O
移到新的位置 O ' ，使 OO ' = 这时
一 一点的应力状态与应力张量 二 主应力与应力不变量
对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如 P 点处应力状态在直角 坐标系可表示为
⎡σ x ⎢ S = σ ij = ⎢τ yx ⎢ ⎣τ zx
τ xy τ xz ⎤ ⎥ σ y τ yz ⎥ τ zy σ z ⎥ ⎦
如图 1-1 所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知， 新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。 通常， 我们称这种具有特定变换关系的一些量为张 量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有 τ xz = τ zx ， τ xy = τ yx ， τ yz = τ zy 。 已知物体内某点 P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在 P 点处取 出一无限小四面体 oabc (图 1-2)
1 MP (σ − σ 3 ) 1 = τ max = 2 1
1 MP2 = (2σ 2 − σ1 − σ 3 ) 2
若考虑到中间应力 σ 2 对屈服函数的影响，可由 MP2 与 MP 1 之比确定 σ 2 的相对位置，其比 值用洛德参数 uσ 表示。 若主应力次序为 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ，则
五 应力路径
1 应力路径的基本概念 岩土的性质与本构关系， 与应力或应变状态的变化过程有关， 因此需要描述一个单元在它 加载过程中的应力或应变的变化过程。通常称描述一单元应力状态变化的路线为应力路径， 而称描述应变状态变化的路线为应变路径，目前过程上应用较多的是应力路径。 对岩土来说，一点的应力状态完全可由总主应力及其方向和孔隙压力所确定。有效主应 力可用计算算出。 我们令三个总主应力或有效主应力为坐标轴， 而建立应力空间或有效应力空间。 如图 2-12
y + dy 、 z + dz ） ，变形后 A 点移到 A ' , 点 B 移到 B ' 。 A 点
的位移向量分量为 u 、 v 、 w ， B 点的位移分量为 u ' 、 v ' 、 w ' 。 u 、 v 、 w 是坐标点 x 、
y 、 z 的函数，当 dx 、 dy 、 dz 很小时，可以利用泰勒公式展开，只需要保留一次项， 得 u'、 v ' 、 w ' 与 u 、 v 、 w 关系如下
由此，应力张量可分解为两个分量
0 ⎤ ⎡σ x -σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡σ m 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ ij = ⎢ 0 σ m 0 ⎥ + ⎢ τ yx σ y −σ m τ yz ⎥ ⎢ 0 σm⎥ τ zy σ z −σ m ⎥ ⎣0 ⎦ ⎢ ⎣ τ zx ⎦
等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。
⎡ Sx ⎢ Sij = σ ij -σ mδ ij = ⎢ S yx ⎢ ⎣ S zx
Sxy Sy S zy
Sxz ⎤ ⎡ Sx τ xy τ xz ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ S yz ⎥ = ⎢τ xz S y τ yz ⎥ Sz ⎥ ⎦ ⎢ ⎣τ zx τ zy S z ⎥ ⎦
三 应力空间
如果我们将 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则 该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。 该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。 我们就把这个空间称为应力空间。 如图 2-6 所 示， P 点的坐标为 （σ 1 σ 2 σ 3 ） ， 这个应力状态可写为三个矢量 OP 1 (σ 1 ) , OP2 (σ 2 ) , OP 3 (σ 3 ) 的矢量和。
设三个正应力的平均值为平均应力，用 σ m 表示
1 1 σ m = (σ x + σ y + σ z ) = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) 3 3
于是 σ x = σ m + (σ x − σm )
σ y = σ m + (σ y − σm )
σ z = σ m + (σ z − σ m )
uσ =
MP2 2σ 2 − σ 1 − σ 3 σ − σ3 = =2 2 − 1 = 2β − 1 MP σ1 − σ 3 σ1 − σ 3 1
1 1 (σ 1 + σ 3 ) + uσ (σ 1 − σ 3 ) 2 2
3-1b
3-1a
或 σ2 = 式中 β =
σ2 − σ3 。 P2 由 P3 变到 P 1 ，因此 uσ 和 θσ 的变化范围为 σ1 − σ 3
四 应力圆和 Lode 参数
在传统塑性理论中， 认为应力张量不影响屈服， 所以对应力偏量特别感兴趣， 而洛德 （Lode ） 参数或洛德角是应力偏量的特征量。此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便， 因而在岩土塑性理论中应用极为广泛。
设横坐标为正应力 σ ，纵坐标为剪应力 τ ，设已知应力 σ1 ， σ 2 ， σ 3 ，令 ， OP2 = σ 2 ， OP OP 1 = σ1 3 = σ3 其半径为 以 PP , 2 P3 , PP 为直径画三个圆，如图 2-8（a） 。 1 2 P 1 3
它的三个面分别与 x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线 N，其方向余弦为 l,m,n。分别以 dF 、 dFx 、 dFy 、 dFz 代表 abc 、obc 、oac、 oab 三角形面积。
dFx = ldF ⎫ ⎪ dFy = mdF ⎬ ⎪ dFz = ndF ⎭
（1.2）
在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面 abc 上有合应力 PN , 它可分解为正应力
∂u ∂u ∂u ⎫ dx + dy + dz ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ∂v ∂v ∂v ⎪ v ' = v + dx + dy + dz ⎬ ∂x ∂y ∂z ⎪ ∂w ∂w ∂w ⎪ w' = w + dx + dy + dz ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎭
2 2 展开行列式得到 σ N − I1σ N − I 2σ N − I 3 = 0
1-11
⎫ ⎪ ⎪ 2 2 2 式中 I 2 = −σ x σ y − σ y σ z −σ z σ x +τ xy +τ yz +τ zx ⎬ 2 2 2 ⎪ I 3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ xτ yz − σ yτ zx − σ zτ yz⎪ I ⎭
0⎤ ⎡σ m 0 ⎢0 σ 0⎥ m ⎢ ⎥ =σ mδ ij ⎢ 0 σm⎥ ⎣0 ⎦
式中 δ ij 定义为
δ ij = { 1 0
当（i=j） 当（i ≠j）
令 S x = σ x -σ m ， S y = σ y -σ m ， S z = σ z -σ m ， S xy = τ xy ， S yx = τ yx ， S yz = τ yz ……，则应 力偏量 Sij 即为
此外，法线 N 的三个方向余弦应满足 l 2 + m 2 + n2 = 1 （1-9） 由上面四个方程可求得 σ N 及方向余弦 l,m,n。 如果将 l,m,n 看作未知量， 则由式 1-9 可见， l,m.n 不能同时为零。因此线性方程组式 1-8 非零解的充要条件为系数行列式等于零。
σx −σN τ yx τ zx τ xy σ y −σ N τ zy = 0 τ xz τ yz σ z −σ N
在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上，
τ N = 0 ， σ N 即为主应力，等于合应力 PN ，而主应力在坐标轴上的分量为 xN = σ Nl ⎫ ⎪ y N = σ N m⎬ 1-7 zN = σ N n ⎪ ⎭
将式 1-7 代入 1-4 整理后得
(σ x − σ N ) l + τ yx m + τ zxn = 0 ⎫ ⎪ τ xy l + (σ y − σ N ) m + τ zy n = 0 ⎬ （1-8） τ xz l + τ yz m + ( σ z − σ N ) n = 0 ⎪ ⎭