张量分析与材料应力张量习题解答

练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。

2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明∈ijk ∈ikj =-6。

5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm 。

6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。

7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。

并验证主方向是相互正交的。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= -ax 2+bx 3，u 2=ax 1-cx 3，u 3= -bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。

求这个位移场的应变张量Γ。

11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。

练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。

解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A =当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kj i k j ik j idet 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmk ni nj mj mini mi lidet ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl )解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明∈ijk ∈ikj =-6解：∈ijk ∈ikj =-∈ijk ∈kij =-(δii δjj -δij δji )=-(3⨯3-δii )=-(9-3)=-65. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm解：∈ijk ∈mik =∈ijk ∈kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。

解：如果晶体具有中心对称，则必符合如下的对称变换：)(100010001ij T δ-=---=若此晶体有一物理性质M （张量），根据对称的定义，经对称变换后物质的性质不变。

即按如上的对称变换进行坐标变换后，M 仍然是M 。

即：m ’i 1 i 2⋯in =(-1)in δi 1 j 1δi 2 j 2 ……δin jn m j 1 j 2⋯jn = m i 1 i 2⋯in当M 的阶数是偶次时，即(-1)in =1，上式m ’i 1 i 2⋯in = M i 1 i 2⋯in ，是正确的。

当M 的阶数是奇次时，即(-1)in =-1，上式m ’i 1 i 2⋯in =-m i 1 i 2⋯in 。

根据对称的要求，就有-m i 1 i 2⋯in =m i 1 i 2⋯in 的关系，只有M =0才符合这样的关系，即不存在这种物理性质。

7．B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }解：题给出的式子左端：(div M )⋅B =(∇⋅M )⋅B =(∇i e i ⋅m jk e j e k )⋅b l e l =(m jk,i δij e k )⋅b l e l =m jk,i b l δij e k ⋅e l= m jk,i b l δij δkl =m ik,i b k题给出的式子右端：div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }第一项：div(M ⋅B )=∇⋅ (M ⋅B )= ∇i e i ⋅ (m jk e j e k ⋅b m e m )= ∇i e i ⋅ (m jk b m e j δkm )= ∇i e i ⋅ (m jk b k e j )=(m jk b m ),i e i ⋅e j =(m jk b k ),i δij =(m jk b k ),j =m jk ,j b k + m jk b k ,j第一项：{ (B ∇) M ∶}={ (b i ∇j e i e j )∶m kl e k e l }=b i,j m kl e i e j ∶e k e l = b i,j m kl (e i ⋅e l )(e j ⋅e k )= b i,j m kl δil δjk = b i,j m ji右端两项之和为m jk ,j b k + m jk b k ,j - b i,j m ji = m jk ,j b k 。

故题给出的式子的左右端相等。

8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的应力矢量、正应力、切应力。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ 解：法线方向为]221[的单位矢量n =]221[/3。

① 应力矢量为f (n )=n ⋅σ=n i σij e j =(n 1σ11+ n 2σ21+ n 3σ31)e 1+ (n 1σ12+ n 2σ22+ n 3σ32)e 2+( n 1σ13+ n 2σ23+ n 3σ33)e 3 = [(2⨯2-1⨯1-2⨯1)/3]e 1+[(-2⨯1+1⨯2+2⨯1)/3]e 2+[(2⨯1-1⨯1-2⨯2)/3]e 3=(1e 1+2e 2-3e 3)/3② 在法线方向为]221[的面的正应力是σnn =n ⋅σ⋅ n =n i n j σij= n 1n 1σ11+ n 1n 2σ12+ n 1n 3σ13+ n 2n 1σ21+ n 2n 2σ22+ n 2n 3σ23+ n 3n 1σ31+ n 3n 2σ32+ n 3n 3σ33 = (22⨯2-2⨯1⨯1-2⨯2⨯1-1⨯2⨯1+12⨯2+1⨯2⨯1-2⨯2⨯1+2⨯1⨯1+22⨯2)/9=10/9因为已知该面的应力矢量，也可以简单地作如下运算：σnn =n ⋅f (n )=n i (f (n ))i =(2⨯1)/3⨯3+(1⨯2)/3⨯3+([-2]⨯[-3])3⨯3=10/9③ 在法线方向为]221[的面的切应力σt 数值的平方应该等于应力矢量的模的平方减去正应力的平方：σt =[ (f (n ))2-(σnn )2]1/2=[(1e 1+2e 2-3e 3)⋅ (1e 1+2e 2-3e 3)/9-(10/9)2]1/2=0.5669. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。

并验证主方向是相互正交的。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ解：(1)知应变张量的本征方程是n ⋅σ=λn 。

其主方向n 不为0的充要条件是：0333231232221131211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---σλσσσσλσσσσλ 即 0I I I 32213=-+-σσσλλλ式中 σ1I =σii =σ11+ σ22+ σ33=7+7+7=21σ2I =(σii σjj -σij σji )/2=(σ11σ22+ σ22 σ33 +σ33σ11)/2-( σ12σ21+σ23σ32+ σ31σ13)/2=(7⨯7+7⨯7+7⨯7)/2-[(3)2+(0)2+(4)2]/2=122σ3I =det σ=168得 λ3-21λ2+122λ-168=0解上面λ的三次方程，得三个实根：λ1=2；λ2=7；λ3=12。

这三个实根就是三个主应力，即σ1=2；σ2=7；σ3=12。

(2)把三个根分别代入本征方程，求出主方向。

λ1=2时；求除第一个主方 向n (1)的各分量：)27(404)27(303)27()1(3)1(2)1(3)1(2)1(1)1(2)1(1=-+=+-+=+-n n n n n n n解方程得)1(1n =-3/5；)1(2n =1；)1(3n =-4/5。

即方向为]453[。

λ1=7时；求除第二个主方 向n (2)的各分量：)77(404)77(303)77()1(3)1(2)1(3)1(2)1(1)1(2)1(1=-+=+-+=+-n n n n n n n解方程得)1(1n =4；)1(2n =0；)1(3n =-3。

即方向为]340[。

λ1=12时；求除第三个主方 向n (3)的各分量：)127(404)127(303)127()1(3)1(2)1(3)1(2)1(1)1(2)1(1=-+=+-+=+-n n n n n n n解方程得)1(1n =3/5；)1(2n =1；)1(3n =4/5。