一点的应力状态-经典
平面问题中一点的应力状态
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
弹性力学_第二章__应力状态分析
弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
描述空间一点的应力状态需要的应力分量
描述空间一点的应力状态需要的应力分量应力是描述物体内部力状态的物理量，是单位面积上作用的力，是力对单位面积的作用力。
在空间中，一个点的应力状态可以用应力张量来描述。
应力张量是一个三维矩阵，包含了物体在三个坐标轴上的应力分量。
在三维空间中，一个点的应力状态可以用6个应力分量来描述，分别是xx分量（σxx）、yy分量（σyy）、zz分量（σzz）、xy分量（τxy）、xz分量（τxz）和yz分量（τyz）。
在应力张量中，对角线上的分量（σxx、σyy和σzz）是正应力分量，表示物体沿着各坐标轴方向的内部拉伸或压缩情况。
xz分量（τxz）和yx分量（τyx）是剪应力分量，表示物体在xz和yx平面上的内部剪切力情况。
yz分量（τyz）和xy分量（τxy）也是剪应力分量，表示物体在yz和xy平面上的内部剪切力情况。
应力分量的正负号表示该点的应力状态是拉伸还是压缩，正号表示拉伸，负号表示压缩。
如果某个应力分量为0，则表示该方向上不存在内部拉伸或压缩力。
应力分量的大小表示该方向上的内部力大小。
在实际应用中，应力分量可以通过力分析、力学实验或数值模拟等方法来确定。
不同材料和结构在不同应力状态下会有不同的应力分量，因此我们需要根据具体情况来确定应力分量。
在工程中，应力分量的大小和方向对材料的强度、稳定性和变形等性能有影响。
因此，了解和掌握应力分量的性质和变化规律对设计和优化结构非常重要。
总之，描述空间一点的应力状态需要的应力分量包括正应力分量和剪应力分量，正应力分量描述物体沿各坐标轴方向的内部拉伸或压缩情况，剪应力分量描述物体在不同平面上的内部剪切力情况。
应力分量的大小和方向对材料的性能有重要影响，因此需要根据具体情况来确定应力分量。
点的应力状态
点的应力状态
(3)二向应力状态。 三个主应力中，有两个不为零，称为二向应力状态。 单向和二向应力状态统称为平面应力状态。 （4）三向应力状态。 间
应力状态。 二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。
工程力学
点的应力状态
1. 应力状态的概念
应力是相对点、截面而言的。就是说，一般 情况下，不同点其应力不同；同一点在过这点不 同方位的截面上，其应力也不相同。把受力物体 内一点处在所有截面上应力状况的全体称为该点 的应力状态。由一点处某些已知截面上的应力确 定其他截面上的应力及其变化规律的过程，称为 该点的应力状态分析。
点的应力状态
2. 应力状态的研究方法
点的应力状态是通过单元体来研究的。通常是假想围绕 该点取出一个边长无限小的正六面单元体，并认为各面上及 其任何斜截面上的应力都是均匀分布的。在单元体两个相对 平行面上的应力等值反向；在两个相互垂直的面上，切应力 满足切应力互等定理。
单元体通常取法是以一对横截面和两对相互垂直的纵 截面截取，因为横截面上的应力是确定的。单元体各面上的 应力一旦确定，其任意斜截面上的应力可用截面法和平衡条 件来确定。可见，一点的应力状态完全可用该点的单元体各 面上的应力来描述。
点的应力状态
应力状态分析是强度计算的基础。前面研究的 是基本变形情况下的横截面上的应力及横截面的强度 条件。例如，前面曾研究过拉(压)杆斜截面上的应力， 这就回答了低碳钢为什么在拉至屈服时，表面出现与 轴线成45°的滑移线；圆轴铸铁杆在扭转时，为什么 会沿45°螺旋线面破坏，以及复杂应力状态下如何判 断其破坏形式和建立相应的强度条件等，就需要通过 应力状态分析来解决。
描述空间一点的应力状态需要的应力分量
描述空间一点的应力状态需要的应力分量应力是描述物体内部受力状态的物理量，空间一点的应力状态包括三个主要应力分量：正应力、剪应力和法向应力。
正应力是指作用于物体某一截面上的垂直于该截面的应力。
在空间中的一点，正应力可以沿着三个坐标轴方向产生，分别称为x方向正应力、y方向正应力和z方向正应力。
这三个应力分量分别用σx、σy和σz表示。
正应力由两部分组成：一部分来自于物体外部对其的作用力，称为外应力或受载应力；另一部分来自于物体内部的分子间作用力，称为内应力或静力应力。
正应力可以使物体沿着这个方向产生形变，例如拉伸、压缩等。
剪应力是指作用于物体某一截面上的平行于该截面的应力。
在空间中的一点，剪应力可以沿着三个坐标轴方向产生，分别称为xy方向剪应力、yz方向剪应力和xz方向剪应力。
这三个应力分量分别用τxy、τyz和τxz表示。
剪应力是由物体外部力矩对其产生的，表现为物体的旋转和扭转。
法向应力是指作用于物体某一截面上的垂直于该截面的应力。
在空间中的一点，法向应力可以沿着各个方向产生，由于其方向多变，没有显式的表示方式。
法向应力可以使物体在垂直于该截面上产生形变，例如变形、弯曲等。
在空间一点的应力状态可以用应力张量来描述。
应力张量是一个二阶对称张量，它包含了全部的应力分量信息。
在直角坐标系下，应力张量的表示形式为：σ = [σx τxyτxz][τxy σy τyz][τxz τyz σz]其中，σx、σy和σz分别表示x方向、y方向和z方向的正应力分量；τxy、τyz和τxz分别表示剪应力的分量。
应力张量可以通过力学分析或实验测量得到。
在工程领域中，了解空间一点的应力状态对于设计和分析结构的强度和稳定性至关重要。
通过合理选择材料和结构形式，可以使结构在应力状态下具有足够的强度和抗变形能力。
因此，研究应力分量及其变化规律对于工程实践具有重要意义。
综上所述，空间一点的应力状态需要考虑正应力、剪应力和法向应力三个应力分量。
一点应力状态概念及其表示方法
一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。
因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。
例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。
应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。
由剪应力互等定理，有：，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
弹性力学一点应力状态01
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
由 1 2 x y 得
2 y (1 x )
tan 2
xy 1
x
显然有 tan1 tan2 1
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两 互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
P dx x dy ds
A XN
N lYN mX N
将式（2-3）（2-4）代入，并整理得： y
N l 2 x m2 y 2lm xy （2-5）
xy N
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （2-6）—— 任意斜截面上应力计算公式
说明： （1）运用了剪应力互等定理： xy yx
剪应力互等定理
应力符号的意义：
z
zx
zy
z
y
yx xz
yz x zy
xy
zx
yz yx y
O
y z
x
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的垂线线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向.
应力状态-材料力学 经典
将0值代入，得：
一点的应力状态
x y x - y 2 2 ( ) xy 2 2 x y x - y 2 2 - ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
主应力排序：
12 3
a
o 2
d
c
2qp
1
3 o
应力状态/应力圆
利用应力圆确定主应力
y
D
xy
A
x
a
yx
o B1 d
c
2q p
A 1
x y x - y 2 2 0c cA ( ) xy oA 1 1 2 2 x y x - y 2 2 oB1 0c - cB1 - ( ) xy 2 2 一点的应力状态
x
-
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
一点的应力状态
应力状态/应力圆
三、应 力 圆
（Mohr’s Circle for Stresses）
1、应力圆方程
x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2
5 4
FP 2
S平面
5 4 3 2
1
3
2 1
Mz x1 Wz
FP l Mz 4
2
3
x2
2
1
2
3
一点的应力状态
应力状态/应力状态的概念及其描述
主平面：单元体上剪应力为零的平面
主应力：主平面上的正应力
通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个
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铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
目的： 研究过一点的各个面上的应力 情况，找到过该点的最大应力（正 应力，切应力），以及其平面方位。
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三、如何描述一点的应力状态
单元体
dz
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主单元体：在单元体各侧面只有正应力而无剪应力
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3
主应力：主平面上的正应力。 主方向：主平面的法线方向。
约定：
2
1 1 2 3
应力状态的分类
2
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3
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。 二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。
F
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F
L
F
TSINGHUA UNIVERSITY
L
TSINGHUA UNIVERSITY
ｐ
''
'
'
pD 4
'
''
''
pD 2
pD 4
M
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主应力、主平面
P
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x 10MPa, y 30MPa 解：
a
xy 20MPa, yx 20MPa, 30
30
10MPa
30
0
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
b
30
0
20MPa
x
30
10 30 10 30 cos 60 20sin 60 2 2
y
pD y 2
2 l
y
x
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y
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态: 二向不等值拉伸应力状态
y x
二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态
（壁厚为 ，内直径为D， <<D，内压为p）
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ｐ
My Iz
Fs S * z bI z
平面应力状态
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提取 点的应力状态
P
P
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L/4
L/4
提取圆截面梁上危险点的应力状态
①判断危险面 ←内力图 ②危险点 ←应力分布规律→应力状态
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本章难点
提取危险点处应力状态；
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应力状态是一切应力分析的基础；
1 、拉压变形杆件
①判断危险面 ←内力图 ②危险点 ←应力分布规律→应力状态
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F
F
F x A
单向应力状态
1 提取拉压变形杆件一点的应力状态
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tan 2α0＝－
2τ xy σx σ y
用解析法确定结构中主应力方向的一种简便方法 吴国政
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二向应力状态主平面、主剪应力平面位置浅析 董天立 平面应力状态最大主应力方向的剪应力判别法 张黎明
例题２
P
x
70
y
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50
（1）垂直方向等于零的应力是代数值较大的应力， 解： 故取轴的方向垂直向上
二、单元体的局部平衡
y yx
x
y
xy x x
y
x
xy
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yx
y
二、单元体的局部平衡
Fn 0
+ 0
x
xy
t
n
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yx
dA
y
dA
x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
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x
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
yx
xy
纯剪切应力状态
3 提取扭转变形杆件一点的应力状态
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T IP
T Wt
纯剪切应力状态
4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
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M Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
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4
0
pD x 4
3、三向应力状态实例
滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
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σ
Z
σx σy
火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？
1、已知薄壁容器的内压为ｐ，内径为D，壁 厚为ｔ，画出下列各种受力状态下危险点的 应力状态。
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（二）应力的面的概念
FP
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FP
FP
FP
F
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F A
F
cos2
sin 2 2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？
哪一点？
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哪一点？
哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态；
二、为什么要研究应力状态？
两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸 低碳钢拉伸
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塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
yx
x
y
xy
一般单向应力状态或纯剪切应力状态
y
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y
yx
x
xy
x x
单向应力状态
纯剪应力状态
一点的应力状态
三 向 应 力 状 态
特例
平 面 应 力 状 态
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单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
l
判定变形
铅锤面内弯曲
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S
FP
a
M=FPL T=FPa
4
y
1
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z
2
3
S平面
x
4
Mz
1
4
Mx
z
FQy
1
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2
3
y
3
x
8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式. S平面
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F
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0 n
dA x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
F 0
t
dA (dA cos ) sin xy (dA cos ) cos x
单元体的性质：
dy
dx
a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等，等于通过该点的 平行面上的应力
一般三向（空间）应力状态
z
zx
x
x
z
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xz
zy yz
xy yx
y
y
一般平面应力状态
σy
τyx τ xy σx
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7.1 应力状态的概述 7.2 平面应力状态分析——解析法 7.3 平面应力状态分析——图解法
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7.4 三向应力状态
7.5 广义虎克定律
§7-1
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应力状态的概述
一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
x 0 、 y 70MPa 、 xy 50MPa 、 yx 50MPa
(2)求主应力
y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x
xy
t
n
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