平面问题中一点的应力状态
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平面问题中一点的应力状态
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
弹性力学一点应力状态
有限元法
有限差分法
将物体离散化为有限个小的单元，然 后对每个单元进行应力分析，最后将 所有单元的应力结果进行汇总。
将物体离散化为有限个小的差分网格， 然后对每个差分网格进行应力分析， 最后将所有差分网格的应力结果进行 汇总。
边界元法
将物体表面离散化为有限个小的边界 元，然后对每个边界元进行应力分析， 最后将所有边界元的应力结果进行汇 总。
04
一点应力状态的测量和计 算
测量方法
直接测量法
通过在物体表面打孔或钻 孔，将应变片粘贴在孔内， 然后通过测量应变片的电 阻变化来计算应力。
光学干涉法
利用光学干涉原理，通过 测量物体表面的微小变形 量来计算应力。
声学法
利用声波在物体中的传播 特性，通过测量声波的传 播时间和速度来计算应力。
计算方法
我们还发现，在某些条件下， 一点应力状态会出现奇异行为 ，如应力集中、应变局部化等 现象。
对未来研究的展望
通过实验和数值模拟，深入研究不同材料在不 同条件下的应力状态特性，以揭示其与材料性
能和结构稳定性的关系。
此外，还可以将弹性力学一点应力状态的研究成果应 用于其他领域，如生物医学、地质工程等，以促进相
弹性力学一点应力状 态
目录
• 引言 • 弹性力学基础 • 一点应力状态的定义和分类 • 一点应力状态的测量和计算 • 一点应力状态的应用 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学
弹性力学是研究物体在力的作用 下产生的弹性变形的学科。
一点应力状态
一点应力状态是指在弹性力学中 ，选取一个点作为研究对象，分 析该点在各种应力作用下的状态 。
02
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
(精品)一点的应力状态-经典
t 30 0
b
解：x 1 0 M P a, y 3 0 M P a
t t x y 2 0 M P a , y x 2 0 M P a , 30
x
20MPa
x 2 y x 2 yco s2 txysin2
1 0 3 0 1 0 3 0 c o s6 0 2 0 sin 6 0
3 0
2
2
第七章
应力状态分 析
7.1 应力状态的概述 7.2 平面应力状态分析——解析法 7.3 平面应力状态分析——图解法 7.4 三向应力状态 7.5 广义虎克定律
§7-1 应力状态的概述 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
一、什么是应力状态？ 应力的点
应力的面
（一）、应力的点的概念:
tm
a
T
x
tm
a
t
T
Ip
x
（实心截面）
M y
Mz
Iz
FQ
t
F
S
S
* z
bI z
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
（二）应力的面的概念
FP
FP
FP
FP
F
F
A
F
co2s
t
t
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
x y 0
t xy t
(2)求主应力
m mainxx 2y
x
y
2
2
t
2 xy
1
t
1 t
第二章平面问题的基本理论
Displacements) 2.4.1几何方程: 现在考虑几何学方的问题.
在elastic body 中的任一点 P , 沿坐标轴正方向取两个微小长 度的线段 PA=dx and PB=dy (Fig.2.5). 物体变形后, 点 P, A, B 移 动到 P’, A’, B’.
设point P 在x axis 方向的 位移是u, 则point A在x axis 方向的位移是 u u dx
从 Fig.2.1的板中 or Fig.2.2 柱形体中, 取出一个微小正平行六面 体, 它在x direction 和y direction 的 dimensions 分别是 dx and dy (Fig 2.3). 为简便, the dimension in the z direction is 取单位长度.
z 0, zx xz 0, zy yz 0.
只有三个应力分量: σx,σy 和 τxy=τyx
2.1.2 平面应变问题(plane strain problem) 设有很长的柱形体, 它的横截面不沿长度变化, 如图2.2所示.在柱
面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束. 同时, 体力
§ 2.3 The State of Stress at Point. Principal Stresses 2.3.1 一点的应力状态
设任一点 P 在坐标轴上的应力分量(stress components)σx,σy andτxy已知, 见Fig.2.4(a), 试求经过该点, 平行于z axis ,而倾斜于x and y axes 的任意斜面上的应力. 为此, 我们取一个plane AB ,平行于 上述斜面, 并与经过P点而垂直于x and y axes 的的两个平面划出一个 微小的三角板或三棱柱PAB, 见图2.4(b).
在elastic body 中的任一点 P , 沿坐标轴正方向取两个微小长 度的线段 PA=dx and PB=dy (Fig.2.5). 物体变形后, 点 P, A, B 移 动到 P’, A’, B’.
设point P 在x axis 方向的 位移是u, 则point A在x axis 方向的位移是 u u dx
从 Fig.2.1的板中 or Fig.2.2 柱形体中, 取出一个微小正平行六面 体, 它在x direction 和y direction 的 dimensions 分别是 dx and dy (Fig 2.3). 为简便, the dimension in the z direction is 取单位长度.
z 0, zx xz 0, zy yz 0.
只有三个应力分量: σx,σy 和 τxy=τyx
2.1.2 平面应变问题(plane strain problem) 设有很长的柱形体, 它的横截面不沿长度变化, 如图2.2所示.在柱
面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束. 同时, 体力
§ 2.3 The State of Stress at Point. Principal Stresses 2.3.1 一点的应力状态
设任一点 P 在坐标轴上的应力分量(stress components)σx,σy andτxy已知, 见Fig.2.4(a), 试求经过该点, 平行于z axis ,而倾斜于x and y axes 的任意斜面上的应力. 为此, 我们取一个plane AB ,平行于 上述斜面, 并与经过P点而垂直于x and y axes 的的两个平面划出一个 微小的三角板或三棱柱PAB, 见图2.4(b).
平面应力问题
设斜面AB上的正应力 为 n ，由投影可得：
o
xy
x
y
B P
yx
fy
y
fx
x
A
px
n lpx mpy
l x m y 2lm xy
2 2
n
py
n
N
p
设斜面AB上的切应力为 n ，由投影可得：
n lpy mpx lm( y x ) (l m ) xy
位移与形变间的关系； —— 几何方程
（3）物理学关系： 应力与应变间的关系。 —— 物理方程 （1）应力边界条件； 建立边界条件： （2）位移边界条件； （3）混合边界条件；
平衡微分方程
下面讨论物体处于平衡状态 o 时，各点应力及体力的相互 关系，并由此导出平衡微分 方程。从图所示的薄板中取 出一个微小的单元体PACB ， 它在z方向的尺寸取为一个 y 单位长度，在x方向和y方向 上的长度分别为dx和dy。
x xy xz 共六个应 力分量 yx y yz zx zy z z 0
y
yx
x
xy
zx 0 zy 0
y yx
y
xy
x
x
结论：
平面应力问题只剩 下三个应力分量： 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数， 与 z 无关。
在实际问题中，任何一个弹性体严 格地说都是空间物体，它所受的外力一 般都是空间力系。但是，当所考察的弹 性体的形状和受力情况具有一定特点时， 如果经过适当的简化和抽象处理，可以 简化为弹性力学平面问题，将使计算工 作量大为减少。
平面应力问题
一、平面应力问题
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px
σN
x
PA面积=mds。
n
B
py
p
➢斜面上y应力 y分x 解为：
ppxpy
X p x d s x ld xm s y fx d ld s/s 2 0 mds
由∑Y=0得：
px xlxym py ymxyl
斜面应力
(1)求（ p x , p y）
由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x E1 (x y) y E1(y x) （2-15）
（2）几何方程：
x
u x
y
v y
（2-9）
xy 2(1E)xy
未知量数： x, y, x,yx, y, x,yu,v
Nl21m22 l2(12)2
Nlm(21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 2
x
y
2
x
y
2
2
x2y
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan
2
xy 2
y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y 2x2y
y yx
P
xy
A
y x
x
px
1 2
xy
2
x2y
2x2y
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在
B py
n
两个主应力。二者方向互相垂直。
② σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。
问题
§2－5 平面问题中一点的 应力状态
空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
已知任一点P处坐标面上应力 σx,σy，,xy
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p(px,py)p ,(σn, n).
④最大剪应力所在平面与主
平面相交45°，其值为 max122
x2y 2x2y
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
作用面上正应力一般不为零。而是：
x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力
将x，y放在 σ1 ,σ方2 向，列出任一斜面上
应力公式，可以得出（设 σ ）σ
1
2
σ max
min n
σ1 σ2
,
px lσx mτyx, py mσy lτxy,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态
x
yx
yx
y
y
➢斜面上应力分解为：
PP
xyy xx τNB yAxypσxN
p
x
n
pNN
N lpxy m ypyx ( 23) Nl2xm2y2lm xy （2-4）
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
注意： 1 与 2 的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正）
例：已知平面一点的应力状态为x 1 0 M P a ,y 2 M P a ,
xy 3MPa 。求该点的主应力和主平面方向。
解：12x 2y
(x 2y)2x2y
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 12 ，那么任一
方向的正应力n为
n 为 ;
（b）已知 x a,y b
那么 12 ?
§2-6 边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
（3）物理方程：
x yx X 0 x y x y y Y 0 （2-2） x y
102 2
(102)232 2
1 MPa
11
tg11xyx
1103 3
tg22xyy
3 1 112 3
1 71.57 2 18.43
试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的
数值都等于两个主应力的平均值。
例题
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1
1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）—— 平面问题的应力边界条件
➢主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。
y yx
P
xy
A
y x
B py
x
px l py m
px lxlxlxyxmym
px pym ymymxylxyl
n
x
m lmmlxylm xxy yxxyxmyl
求解：取出一个三角形微分体（包含 x面，
面y， 面n），
边长 A B d,P s B ld ,P s A m.d
平面问题中一点的应力状态
x
PPyx yx
y y
A
➢几何参数：
c o s(n ,x ) l,c o s(n ,y ) m ,
xy
y xx τN
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds，
N lm (yx) (l2 m 2)x y
x
yx yx y y
PP
xy
y xx τN
B py
A
xy
pσxN
p
x
n
y yx
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx （2） N 的正负号规定： 将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为 正N ；反之为负。 （3）若AB面为物体的边界S，则 p x X p y Y
max
min n
σ 1
σ 2
2
,发生在与主
(d)
应力成45的斜面上.
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力
由 Nlm (21)
l2m2 1 m(1l2)
Nl 1l2(21) Nl2l4(21)
N 1412l22(21)
O
2
1
P
dy
dx ds
N
y
B
显然，当
1l2 0(l 1)
2
2
时，τN为最大、最小值：
N lpy mpx( 23) Nlm (yx)(l2m 2)x（y2-5）
已知P点应力σxσyτxy
可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN）
利用（2-4）（2-5）
•应力在x，y轴上的投影（px，py）
利用（2-3）
px lσx mτyx, py mσy lτxy,
Nl2xm 2y2lm xy
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
小结：
（1）斜面上的应力
px lxmyx py mylxy
（2-3） （2-4）
Nl2 xm 2 y2lmxy （2-5）
N lm (yx) (l2 m 2)x y（2-6）